పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం: భుజాలపై (a మరియు b) ఉన్న రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తం కర్ణంపై (c) ఉన్న చతురస్రం యొక్క వైశాల్యానికి సమానంగా ఉంటుంది.

గణితశాస్త్రంలో, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం (అమెరికా ఆంగ్లంలో) లేదా పైథాగరస్ సిద్ధాంతం (బ్రిటీష్ ఆంగ్లంలో) అనేది లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క మూడు కోణాల మధ్య యూక్లిడియన్ జ్యామితిలోని ఒక సంబంధంగా చెప్పవచ్చు. దీని ప్రకారం:

ఏదైనా లంబకోణ త్రిభుజంలో, కర్ణం వైశాల్యం యొక్క వర్గం (లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉండే కోణం) మిగిలిన రెండు భుజాల (లంబ కోణం వద్ద ఖండించుకునే రెండు కోణాలు) వైశాల్య వర్గాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఈ సిద్ధాంతాన్ని క్రింది విధంగా సమీకరణం రూపంలో వ్రాయవచ్చు:

$a^2 + b^2 = c^2\!\,$

దీనిలో c కర్ణం యొక్క పొడవును సూచించగా మరియు a మరియు b లు ఇతర రెండు భుజాల పొడవులను సూచిస్తాయి.

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతానికి పేరు సాంప్రదాయబద్ధంగా దీని ఆవిష్కరణ మరియు నిరూపణకు ప్రసిద్ధి చెందిన గ్రీక్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు పైథాగరస్ పేరు నుండి తీసుకున్నారు, అయితే ఈ సిద్ధాంతం అతను కంటే ముందే కనుగొనబడిందని తరచూ కొంత మంది వాదిస్తుంటారు. (బాబీలోనియన్ గణితశాస్త్రజ్ఞులు ఈ సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకున్నారని సరైన రుజువు ఉంది, లేకపోతే గణిత శాస్త్ర ప్రాముఖ్యత లేదు.)

సూత్రంలో

మనం c ని కర్ణం యొక్క పొడవుగా మరియు a మరియు b లను ఇతర రెండు భుజాల పొడవులగా అనుకుంటే, సిద్ధాంతాన్ని క్రింది సమీకరణ రూపంలో చెప్పవచ్చు:

$a^2 + b^2 = c^2\,$

లేదా, c కోసం ఈ విధంగా పరిష్కరించబడింది:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,$

c విలువ ఇచ్చినట్లయితే, మిగిలిన రెండు భుజాల్లో ఒకదాని పొడవును కనుగొనడానికి క్రింది సమీకరణలను (ఇవి ముందు దానికి ఉప సిద్ధాంతాలు) ఉపయోగించవచ్చు:

$c^2 - a^2 = b^2\,$

లేదా

$c^2 - b^2 = a^2.\,$

ఈ సమీకరణం ఒక లంబ కోణ త్రిభుజంలోని మూడు భుజాల మధ్య ఒక సాధారణ సంబంధాన్ని తెలుపుతుంది కనుక ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల తెలిస్తే, మూడవ భుజం యొక్క పొడవును కనుగొనవచ్చు. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క సాధారణీకరణం ఏమిటంటే కొసైన్‌ల సూత్రం, ఇది రెండు భుజాల పొడవులు మరియు వాటి మధ్య కోణం పరిమాణాన్ని ఉపయోగించి, ఏదైనా త్రిభుజం యొక్క మూడవ భుజం యొక్క పొడవును గణించడానికి అనుమతిస్తుంది. రెండు భుజాల మధ్య కోణం లంబ కోణం అయితే, ఇది పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ద్వారా గణించవచ్చు.

ప్రమాణాలు

ఈ సిద్ధాంతం మరే ఇతర సిద్ధాంతాలు కలిగి లేని ఎక్కువ ప్రమాణాలను కలిగి ఉంది (ఆ విలక్షణానికి వర్గ అన్యోన్యత సూత్రం కూడా పోటీదారుగా చెప్పవచ్చు); ఈలీషా స్కాట్ లూమిస్ వ్రాసిన పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం పుస్తకంలో 367 ప్రమాణాలు ఉన్నాయి.

సారూప్య త్రిభుజాలను ఉపయోగించి ప్రమాణం

దస్త్రం:Proof-Pythagorean-Theorem.svg పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క పలు ప్రమాణాలు వలె, ఇది రెండు సారూప్య త్రిభుజాల యొక్క భుజాల అనుపాతం ఆధారంగా ఉంటుంది.

చిత్రంలో చూపినట్లు C వద్ద లంబ కోణంతో ABC అనేది ఒక లంబకోణ త్రిభుజంగా భావించండి. మనం C స్థానం నుండి ఎత్తును గీసి, AB భుజంతో దాని విభజనకు H అనే పేరును పెట్టండి. కొత్త త్రిభుజం ACH మన త్రిభుజం ABC కు సారూప్యంగా ఉంటుంది ఎందుకంటే రెండు త్రిభుజాలు లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్నాయి (ఎత్తు వివరణ ప్రకారం) మరియు అవి రెండూ A వద్ద కోణాన్ని పంచుకుంటున్నాయి అంటే రెండు త్రిభుజాల్లో మూడవ కోణం సమానంగా ఉంటుంది. ఇదే వివరణ ప్రకారం, CBH త్రిభుజం కూడా ABC కి సారూప్యంగా ఉంటుంది. ఈ సారూప్యతలు ఈ రెండు నిష్పత్తులకు కారణమవుతాయి:

$\frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{ and } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.\,$

వీటిని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు

$a^2=c\times HB \mbox{ and }b^2=c\times AH. \,$

ఈ రెండు సమానతలను కలపడం ద్వారా, మనం దీనిని పొందవచ్చు

$a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2 .\,\!$

మరో విధంగా చెప్పాలంటే, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం:

$a^2+b^2=c^2.\,\!$

యూక్లిడ్ సిద్ధాంతం

యుక్లిడ్ ఎలిమెంట్‌లో ప్రమాణం

యూక్లిడ్ యొక్క మూలకాలు పుస్తకం 1లోని ఉపపాదన 47లో, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం క్రింది పంక్తులతో సహా ఒక వాదంతో నిరూపించబడింది. A వద్ద లంబకోణంతో A , B , C అనేవి ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలుగా భావించండి. A నుండి కర్ణానికి ఎదురుగా కర్ణంపైన ఉన్న చతురస్రంలోకి ఒక లంబాన్ని గీయండి. ఆ రేఖ కర్ణంపై చతురస్రాన్ని రెండు దీర్ఘచతురస్రాలుగా విభజిస్తుంది, ప్రతి ఒక్కటీ రెండు భుజాలపై ఉన్న ఒక్కొక చతురస్రం వలె సమాన పరిధిని కలిగి ఉంటాయి.

సూత్రం నిరూపణకు, మనకి క్రింది నాలుగు ప్రాథమిక సూత్రాలు అవసరం:

1. రెండు త్రిభుజాల్లో ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాలు మొత్తం మరొక త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల మొత్తానికి, ఒకదానికి ఒకటి సమానంగా ఉంటే మరియు ఆ భుజాలచే ఏర్పడిన కోణాలు సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు ఆ త్రిభుజాలను సమాన త్రిభుజాలుగా చెప్పవచ్చు. (భుజం - కోణం - భుజం సిద్ధాంతం)
2. త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం అదే ఆధారంపై ఉన్న ఏదైనా సమాంతర చతుర్భజం యొక్క వైశాల్యంలో సగం ఉంటుంది మరియు ఒకే ఎత్తును కలిగి ఉంటుంది.
3. ఏదైనా చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం దాని రెండు భుజాల గుణకారలబ్ధానికి సమానంగా ఉంటుంది.
4. ఏదైనా దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం రెండు సమీప భుజాల గుణకారలబ్ధానికి సమానంగా ఉంటుంది (సూత్రం 3 ప్రకారం).

దీనిని అనుసరించడానికి సులభతరం చేసే ఈ ప్రమాణానికి నేపథ్యంలోని అంతర్బుద్ధి ఆలోచన ఏమిటంటే ఎగువ చతురస్రాలను సమాన పరిమాణంతో సమాంతర చతుర్భజం వలె మారుస్తారు, తర్వాత మళ్లీ స్ధిరమైన వైశాల్యంతో దిగువ చతురస్రంలోకి ఎడమ మరియు కుడి దీర్ఘచతురస్రాల్లో మారుస్తారు.

దృష్టాంతంలో కొత్త సరళరేఖలు ఉంచబడ్డాయి

ఈ ప్రమాణం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

1. లంబ కోణం CABతో ACBని ఒక లంబ కోణ త్రిభుజంగా భావించండి.
2. BC, AB మరియు CA భుజాలకు ప్రతి వైపున CBDE, BAGF మరియు ACIH క్రమంలో చతురస్రాలను గీయండి.
3. A నుండి, BD మరియు CEలకు సమాంతరంగా ఒక రేఖను గీయండి. అది BC మరియు DEలను K మరియు Lల వద్ద లంబంగా విభజిస్తుంది.
4. BCF మరియు BDA త్రిభుజాలను రూపొందించడానికి CF మరియు ADలను కలపండి.
5. CAB మరియు BAG కోణాలు రెండూ లంబ కోణాలు; దీనితో C, A మరియు Gలు సహరేఖీయగా ఉంటాయి. అదే విధంగా B, A మరియు H ఉంటాయి.
6. CBD మరియు FBAలు రెండూ లంబ కోణాలు; దీనితో ABD కోణం FBC కోణానికి సమానంగా ఉంటుంది ఎందుకంటే రెండింటి మొత్తం ఒక లంబ కోణం మరియు ABC కోణం.
7. AB మరియు BDలు వరుసగా FB మరియు BCలకు సమానం కాబట్టి, ABD త్రిభుజం తప్పక FBC త్రిభుజానికి సమానంగా ఉంటుంది.
8. K మరియు Lలకు A ఒక సహరేఖీయం కారణంగా, BDLK దీర్ఘచతురస్రం వైశాల్యం ABD త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి రెండు రెట్లు ఉంటుంది.
9. A మరియు Gలతో C సహరేఖీయం కారణంగా, BAGF చతురస్ర వైశాల్యం FBC త్రిభుజ వైశాల్యానికి రెండు రెట్లు ఉంటుంది.
10. దీని వలన BDLK దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం BAGF చతురస్రం = AB² వలె సమానంగా ఉంటుంది.
11. అదే విధంగా, CKLE దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం ACIH చతురస్రం = AC² వలె ఉంటుంది.
12. ఈ రెండు ఫలితాలను కలపడం వలన, AB² + AC² = BD × BK + KL × KC అవుతుంది.
13. కనుక BD = KL, BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
14. దీనితో AB² + AC² = BC², ఎందుకంటే CBDE ఒక చతురస్రం కాబట్టి.

ఈ ప్రమాణం యూక్లిడ్ యొక్క మూలకాల లో ఉపపాదన 1.47 వలె కనిపిస్తుంది.

గార్ఫీల్డ్ యొక్క ప్రమాణం

జేమ్స్ A. గార్ఫీల్డ్ (తర్వాత యునైటెడ్ స్టేట్స్ అధ్యక్షుడు) బీజ గణిత ప్రమాణాల ఒక నవలను వ్రాశాడు:

అర్థ సమాంతర చతుర్భజం వైశాల్యం

$A=\frac{h}{2}(s_1 + s_2)$

దీనిలో $h$ అనేది ఎత్తు మరియు $s_1$ మరియు $s_2$లు సమాంతర భుజాల పొడవులను సూచిస్తాయి.

ఈ చిత్రంలోని అర్థ సమాంతర చతుర్భజం యొక్క వైశాల్యం

$A=\frac{(a+b)}{2}(a + b) = \frac{(a+b)^2}{2}$

త్రిభుజం 1 మరియు త్రిభుజం 2లు ఒక్కొక్కటి $\frac{ab}{2}$ వైశాల్యాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

మరియు త్రిభుజం 3 $\frac{c^2}{2}$ వైశాల్యాన్ని కలిగి ఉంది మరియు ఇది కర్ణం వర్గంలో సగం ఉంటుంది.

అప్పుడు అర్థ సమాంతర చతుర్భజం యొక్క వైశాల్యం

$A = \frac{ab}{2} + \frac{ab}{2} + \frac{c^2}{2} = ab + \frac{c^2}{2}$

ఈ రెండు వైశాల్యాలు సమానంగా ఉండాలి, కనుక

$\frac{(a+b)^2}{2} = ab + \frac{c^2}{2}$

$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{2} = ab + \frac{c^2}{2}$

$a^2 + 2ab + b^2 \mathbf{=} 2ab + c^2$

కనుక కర్ణం వర్గం = ఇతర రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తం:

$\therefore a^2 + b^2 = c^2$

వ్యవకలనం ద్వారా ప్రమాణం

ఈ ప్రమాణంలో, కర్ణంపైన చతురస్రంతో పాటు త్రిభుజాల యొక్క నాలుగు నకళ్లను ఇతర రెండు భుజాలపై ఉన్న చతురస్రాలతో పాటు త్రిభుజాల యొక్క నాలుగు నకళ్లు వలె సమాన ఆకారంలోకి కూర్చవచ్చు. ఈ ప్రమాణం చైనా నుండి రికార్డ్ చేయబడింది.^{[citation needed]}

వైశాల్య వ్యవకలనాన్ని ఉపయోగించి ప్రమాణం

సారూప్యత ప్రమాణం

పైన పేర్కొన్న యుక్లిడ్ ప్రమాణంలో వలె అదే రేఖాచిత్రం నుండి, మనం మూడు సారూప్య చిత్రాలను చూడవచ్చు, ప్రతి ఒకటి "ఎగువన ఒక త్రిభుజంతో ఒక చతురస్రం" వలె ఉంటాయి. రెండు చిన్న త్రిభుజాలతో పెద్ద త్రిభుజాన్ని చేసిన కారణంగా, దీని వైశాల్యం రెండు చిన్న త్రిభుజాల మొత్తం వైశాల్యానికి సమానంగా ఉంటుంది. సారూప్యతచే, మూడు చతురస్రాలు మూడు త్రిభుజాలు వలె ఒకదానికి ఒకటి సాపేక్షంగా సమాన అనుపాతంలో ఉంటాయి మరియు దీనితో భారీ చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం రెండు చిన్న చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

పునర్విన్యాసం ద్వారా ప్రమాణం

4 సారూప్య లంబ కోణ త్రిభుజాలను పునర్విన్యాసం చేయడం ద్వారా పైథాగరియన్ సిద్ధాంత ప్రమాణం: ఇక్కడ మొత్తం వైశాల్యం మరియు త్రిభుజాల వైశాల్యాలు స్థిరం, మొత్తం నలుపు వైశాల్యం స్థిరం. కాని దీనిని [8] = c2 ప్రదర్శిస్తూ a, b, c త్రిభుజ భుజాలతో గీయబడిన చతురస్రాలుగా విభజించవచ్చు.

పునర్విన్యాసానికి ఒక ప్రమాణం లక్ష్య చిత్రం మరియు యానిమేషన్ ద్వారా అందించబడుతుంది. లక్ష్య చిత్రంలో, ప్రతి పెద్ద చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం (a + b)². రెండింటిలోనూ, నాలుగు సమాన త్రిభుజాల వైశాల్యాన్ని తీసివేయబడుతుంది. మిగిలిన వైశాల్యాలు a² + b² మరియు c ²లు సమానంగా ఉంటాయి. Q.E.D.

యానిమేషన్ పునర్విన్యాసం ద్వారా మరొక ప్రమాణాన్ని ప్రదర్శిస్తుంది

పునర్విన్యాసం ద్వారా ప్రమాణం

బీజగణిత ప్రమాణం: నాలుగు లంబకోణ త్రిభుజాలు మరియు ఒక పెద్ద చతురస్రాన్ని సర్దుబాటు చేయడం ద్వారా రూపొందించబడిన ఒక చతురస్రం

ఈ ప్రమాణం చాలా సులభం, కాని ఇది ప్రాథమికం కాదు, అంటే ఇది యుక్లిడీయన్ జ్యామితి యొక్క ప్రాథమిక స్వత సిద్ధాంతాలు మరియు సిద్ధాంతాలపై మాత్రమే ఆధారపడదు. నిర్దిష్టంగా, త్రిభుజాలు మరియు చతురస్రాల వైశాల్యానికి ఒక సూత్రాన్ని అందించడం చాలా సులభం, కాని ఆ చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం, దాని భాగాల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానమని రుజవు చేయడం సులభం కాదు. నిజానికి, పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేయడంతో పోలిస్తే అవసరమైన లక్షణాలను రుజువు చేయడం చాలా కష్టం (లెబెస్గ్యూ కొలమానం మరియు బానాచ్-తర్స్కీ వైరుధ్యాన్ని చూడండి). నిజానికి, ఈ క్లిష్టత అన్ని సాధారణ యుక్లీడియన్ ప్రమాణాల్లో ఉపయోగించే రంగాలను ప్రభావితం చేస్తుంది; ఉదాహరణకు, లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి అది సమాన ఎత్తు మరియు ఆధారంతో ఉన్న ఒక దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యంలో సగం ఉందని భావించాలి. ఈ కారణంగా, జ్యామితికి సిద్ధాంతాలతో కూడిన పరిచయాలు సాధారణంగా త్రిభుజాల సారూప్యతపై ఆధారంగా మరొక రుజువును ఉపయోగిస్తాయి (పైన చూడండి).

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క మూడవ గ్రాఫిక్ లక్ష్య చిత్రం (కుడివైపుకు పసుపు మరియు నీలంలో) చతురస్రం యొక్క భుజాల భాగాలను కర్ణం యొక్క చతురస్రంలోకి పూరిస్తుంది. ఒక సంబంధిత ప్రమాణం ప్రకారం పునఃఅమర్చిన భాగాలు అసలైన వాటితో సమానం ఉంటాయని తెలుస్తుంది మరియు సమానమైన భాగాలు మొత్తం సమానం కాబట్టి అనుబంధిత వైశాల్యాలు సమానంగా ఉంటాయి. ఆ చతురస్రాన్ని ఫలితంగా చూపడానికి కొత్త భుజాల పొడవు c కి సమానమని తప్పక చూపాలి. ఈ ప్రమాణాన్ని వర్తించడానికి అనుబంధిత భుజం మరింత చిన్నది కావడానికి చిన్న చతురస్రాన్ని మరిన్ని భాగాలుగా విభజించడానికి ఒక మార్గాన్ని అందించాలని గమనించండి.

బీజీయ ప్రమాణం

ఈ ప్రమాణానికి క్రింది తర్కంచే ఒక బీజీయ చరరాశి అందించబడుతుంది. మూలలో సమాన లంబ కోణ త్రిభుజాలతో ఉన్న ఒక పెద్ద చతురస్రం యొక్క లక్ష్య చిత్రాన్ని చూస్తే, ఈ నాలుగు త్రిభుజాల్లో ప్రతి ఒక్కదాని వైశాల్యం దాని C భుజం పొడవుతో ఒక కోణంచే అందించబడుతుంది.

$\frac{1}{2} AB.$

ఈ త్రిభుజాల్లో ప్రతి దాని యొక్క A -వైపు కోణం మరియు B -వైపు కోణాలను పరిపూరకమైన కోణాలుగా చెప్పవచ్చు, మధ్యలోని నీలం పరిధిలో ఉన్న ప్రతి దాని కోణం ఒక లంబ కోణం, ఈ ప్రాంతాన్ని భుజం పొడవు C తో ఒక చతురస్రం చేస్తుంది. ఈ చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం C ² అవుతుంది. ప్రతి దాని యొక్క వైశాల్యాన్ని కలిపి ఈ విధంగా పేర్కొంటారు:

$4\left(\frac{1}{2}AB\right)+C^2.$

అయితే పెద్ద చతురస్రం భుజాల పొడవు A + B అయితే, మనం దాని వైశాల్యాన్ని (A + B)² వలె కూడా గణించవచ్చు, ఇది A² + 2AB + B²కు విస్తరిస్తుంది.

$A^2+2AB+B^2=4\left(\frac{1}{2}AB\right)+C^2.\,\!$

(4 యొక్క వ్యాప్తి) $A^2+2AB+B^2=2AB+C^2\,\!$

(2AB యొక్క వ్యవకలనం) $A^2+B^2=C^2\,\!$

అవకలన సమీకరణాల ద్వారా ప్రమాణం

ఒక భుజంలోని మార్పులు కర్ణంలో ఎలాంటి మార్పులకు కారణమవుతుందో క్రింది రేఖాచిత్రంలో చూసి, ఒక చిన్న కలనగణితాన్ని ఉపయోగించి అధ్యయనం చేయడం ద్వారా పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకోవచ్చు.

అవకలన సమీకరణాలను ఉపయోగించి ప్రమాణం

a భుజంలోని da మార్పు యొక్క ఫలితంగా,

$\frac {da}{dc} = \frac {c}{a}$

త్రిభుజాల సారూప్యతచే మరియు అవకలన మార్పుల కోసం జరుగుతుంది. కనుక

$c\, dc = a\,da$

చరరాశులను వేరు చేసిన తర్వాత.

b భుజంలో మార్పులకు రెండవ పదాన్ని జోడించడం వలన ఫలితంగా సంభవిస్తుంది.

ఏకీకరణం క్రింది దాన్ని అందిస్తుంది

$c^2 = a^2 + \mathrm{constant}.\ \,\!$

a = 0 అయ్యినప్పుడు c = b అవుతుంది, కనుక "స్థిరాంకం" b ² అవుతుంది. కనుక

$c^2 = a^2 + b^2.\,$

మీరు చూస్తున్నట్లు, మార్పులు మరియు భుజాల మధ్య నిర్దిష్ట అనుపాతం కారణంగా ఈ వర్గాలు ఏర్పడ్డాయి, భుజాల్లో మార్పులు యొక్క స్వతంత్ర తోడ్పాటు యొక్క ఫలితంగా మొత్తం ఏర్పడుతుంది, ఇది జ్యామితీయ ప్రమాణాలకు రుజువు కాదు. ఇవ్వబడిన అనుపాతం నుండి, భుజాల్లోని మార్పులు భుజాలకు విలోమాను పాతంలో ఉంటాయని ప్రదర్శించబడింది. అవకలన సమీకరణం ఈ సిద్ధాంతం సంబంధిత మార్పులు కారణంగా సూచిస్తుంది మరియు దాని ఉత్పాదన దాదాపు రేఖా సమాకలనిని గణించడానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఈ పరిమాణాలు da మరియు dc లు వరుసగా a మరియు c ల్లో అపరిమిత చిన్న మార్పులకు సమానంగా ఉంటాయి. కాని మనం బదులుగా వాస్తవ సంఖ్యలు Δa మరియు Δc లను ఉపయోగిస్తే, అప్పుడు వారి పరిమాణాలు సున్నాకు సమీపించడంతో వారి నిష్పత్తి పరిమితి da /dc , ఒక ఉత్పన్నం మరియు c /a కు కూడా చేరుకుంటుంది, త్రిభుజాల భుజాల పొడవుల నిష్పత్తి మరియు అవకలన సమీకరణం ఫలితంగా వస్తుంది.

విపర్యం

ఈ సిద్ధాంతం యొక్క విపర్యం కూడా వాస్తవం:

a² + b² = c² సాధ్యమయ్యే ఏదైనా మూడు ధనాత్మక సంఖ్యలు a , b మరియు c లకు, a , b మరియు c భుజాలతో ఒక త్రిభుజం ఏర్పడుతుంది మరియు అటువంటి ప్రతి త్రిభుజం a మరియు b పొడవైన భుజాల మధ్య ఒక లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ఈ విపర్యం యుక్లిడ్ యొక్క ఎలిమెంట్స్‌ లో కూడా కనిపిస్తుంది. ఇది కోసైన్‌ల సూత్రం (క్రింది సాధారణీకరణంలో చూడండి) ఉపయోగించి లేదా క్రింది ప్రమాణంచే నిరూపించవచ్చు:

ABC అనేది a² + b² = c² సాధ్యమయ్యే a , b మరియు c భుజాల పొడవులతో ఒక త్రిభుజంగా భావించండి. మనం a మరియు b భుజాల మధ్య కోణాన్ని లంబ కోణంగా నిరూపించాలి. మనం a మరియు b పొడవైన భుజాల మధ్య లంబ కోణంతో మరొక త్రిభుజాన్ని రూపొందించండి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఈ త్రిభుజం యొక్క కర్ణం కూడా c పొడవును కలిగి ఉంటుంది. రెండు త్రిభుజాలు ఒకే a , b మరియు c భుజాల పొడవులను కలిగి ఉన్న కారణంగా, అవి సమానం మరియు కనుక అవి తప్పక ఒకే కోణాన్ని కలిగి ఉండాలి. కనుక మన మౌలిక త్రిభుజంలోని భుజాలు పొడవులు a మరియు b మధ్య కోణం ఒక లంబకోణంగా నిర్ధారించబడింది.

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క విపర్యం ఒక పరిణామం సాధారణంగా చెప్పాలంటే ఇది ఒక త్రిభుజం, లంబ కోణ త్రిభుజమా, గురు కోణ త్రిభుజమా లేదా లఘుకోణ త్రిభుజమా తెలుసుకోవడానికి క్రింది వాటిని ఉపయోగించవచ్చు. ఇక్కడ మూడు భుజాల్లో పొడవైనదిగా c ఎంపిక చేయబడింది:

• a² + b² = c² అయితే, ఆ త్రిభుజం లంబ కోణ త్రిభుజంగా చెప్పవచ్చు.
• a² + b² > c² అయితే, ఆ త్రిభుజాన్ని లఘు కోణ త్రిభుజంగా చెప్పవచ్చు.
• a² + b² < c² అయితే, ఆ త్రిభుజాన్ని గురు కోణ త్రిభుజంగా చెప్పవచ్చు.

సిద్ధాంతం యొక్క పరిణామాలు మరియు ఉపయోగాలు

పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్

ప్రధాన వ్యాసం: Pythagorean triple

ఒక పైథాగరియన్ ట్రిపుల్ a² + b² = c² అయ్యేలా మూడు ధనాత్మక పూర్ణాంకాలు a , b మరియు c కలిగి ఉంటుంది. మరొక విధంగా చెప్పాలంటే, ఒక పైథాగరియన్ ట్రిపుల్ మూడు భుజాలు పూర్ణాంక పొడవులతో ఉన్న ఒక లంబ కోణ త్రిభుజపు భుజాల పొడవులను సూచిస్తుంది. ఉత్తర ఐరోపాలోని మెగాలిథిక్ స్మారకాల నుండి కనుగొన్న రుజువు ప్రకారం ఇటువంటి ట్రిపుల్స్ వ్రాయడానికి ముందే ఆవిష్కరించబడ్డాయని తెలుస్తుంది. ఇటువంటి ఒక ట్రిపుల్‌ను సాధారణంగా (a, b, c)గా వ్రాస్తారు. కొన్ని ప్రజాదరణ పొందిన ఉదాహరణలుగా (3, 4, 5) మరియు (5, 12, 13)లను చెప్పవచ్చు.

100 వరకు ఆదిమ పైథాగరియన్ ట్రిపుల్ జాబితా

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

అహేతుక సంఖ్యల ఉనికి

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క పరిణామాల్లో ఒకటి 2 యొక్క వర్గమూలం వంటి అసమానమైన పొడవులు (ie. వాటి నిష్పత్తి అహేతుక సంఖ్య) నిర్మించవచ్చు. ఒక విలువకు సమానమైన రెండు భుజాలు ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం కర్ణం పొడవు 2 యొక్క వర్గమూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది. 2 యొక్క వర్గమూలం అహేతుకం అనే రుజువు ప్రతి ఒక్కటి సహేతుకం అనే చిరకాల నమ్మకానికి వ్యతిరేకంగా ఉంది. రెండు యొక్క వర్గమాలం అహేతుకమని మొట్టమొదటిగా నిరూపించిన కీర్తినార్జించిన వ్యక్తి హప్పాసుస్ ప్రకారం, ఒక పరిణామం వలె సముద్రంలో మునిగిపోయాడు.

కార్టీసియన్ అక్షాంశాల మధ్య దూరం

కార్టీసియన్ అక్షాంశాల మధ్య దూరం సూత్రం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ద్వారా పేర్కొనబడింది. (x ₀, y ₀) మరియు (x ₁, y ₁)లు సమతలంపై బిందువులు అయితే, యుక్లిడీయన్ దూరం అని పిలిచే, వాటి మధ్య దూరాన్ని క్రింది విధంగా చెప్పవచ్చు

$\sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2}.$

మరింత సాధారణంగా, యుక్లిడీయన్ n -స్పేస్‌లో, రెండు బిందువులు $\scriptstyle A\,=\,(a_1,a_2,\dots,a_n)$ మరియు $\scriptstyle B\,=\,(b_1,b_2,\dots,b_n)$ మధ్య యుక్లిడీయన్ దూరాన్ని పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ఉపయోగించే క్రింది విధంగా పేర్కొనవచ్చు:

$\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.$

సాధారణీకరణలు

సారూప్య త్రిభుజాలకు సాధారణీకరణం,ఆకుపచ్చ [27] పరిధి

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని యుక్లిడ్ తన ఎలిమెంట్స్‌లో సాధారణీకరించాడు:

ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం భుజాలపై ఇలాంటి చిత్రాలను (యుక్లీడియన్ జ్యామితి) నిర్మిస్తే, అప్పుడు రెండు సమాన త్రిభుజాల వైశాల్యాల మొత్తం పెద్ద త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఏదైనా త్రిభుజంలో భుజాల పొడవుకు సంబంధించి పలు సాధారణ సిద్ధాంతాల్లో పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ఒక ప్రత్యేకమైనదిగా చెప్పవచ్చు, కొసైన్‌ల సూత్రం:

$a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2, \,$

ఇక్కడ θ అనేది a మరియు b భుజాల మధ్య కోణాన్ని సూచిస్తుంది.

θ 90 డిగ్రీలు ఉన్నప్పుడు, cos(θ) = 0, కనుక ఈ సూత్రం సాధారణ పైథాగరియన్ సిద్ధాంతంగా మారుతుంది.

క్లిష్ట అంతర్గత ఉత్పత్తి స్పేస్‌లో రెండు సదిశరాశులు v మరియు w లను ఇస్తే, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం క్రింది రూపంలోకి మారుతుంది:

$\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 + 2\,\mbox{Re}\,\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle.$

ప్రత్యేకంగా, v మరియు w లు లంబకోణాలు అయినప్పుడు ||v + w ||² = ||v ||² + ||w ||² అవుతుంది, అయితే విపర్యం నిజం కావల్సిన అవసరం లేదు.

గణిత శాస్త్ర ప్రేరణను ఉపయోగించి, మునుపటి ఫలితాన్ని జత లంబకోణీయ సదిశరాశుల ఏదైనా పరిమిత సంఖ్యకు విస్తరించవచ్చు. v ₁, v ₂, ..., v _n అనేవి 1 ≤ i < j ≤ n కు <v _i , v _j > = 0 అయ్యేలా ఒక అంతర్గత ఉత్పత్తి స్పేస్‌లో సదిశరాశులుగా భావించండి. అప్పుడు

$\left\|\,\sum_{k=1}^{n}\mathbf{v}_k\,\right\|^2 = \sum_{k=1}^n \|\mathbf{v}_k\|^2.$

అనంత-మితీయ స్థిర అంతర్గత ఉత్పత్తి స్పేస్‌లకు ఈ ఫలితం యొక్క సాధారణీకరణాన్ని పార్సెవాల్స్ ఐడెంటిటీ వలె పిలుస్తారు.

సదిశరాశుల గురించి పైన పేర్కొన్న సిద్ధాంతాన్ని ఘన జ్యామితి పదాల్లో మళ్లీ వ్రాసినట్లయితే, అది క్రింది సిద్ధాంతంగా మారుతుంది. AB మరియు BC సరళరేఖలు B వద్ద ఒక లంబ కోణాన్ని ఏర్పరిస్తే మరియు BC మరియు CDలు C వద్ద ఒక లంబ కోణాన్ని ఏర్పరిస్తే మరియు AB మరియు BC సరళరేఖలను కలిగి ఉన్న ఆధారానికి CD లంబంగా ఉంటే, అప్పుడు AB, BC మరియు CDల పొడవుల మొత్తం AD వర్గానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఈ నిరూపణ అప్రధానం.

త్రిమితీయకు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క మరొక సాధారణీకరణం డే గౌయాస్ సిద్ధాంతంగా చెప్పవచ్చు, దీనికి పేరు జీన్ పాల్ డె గౌయా డె మాల్వేస్ నుండి తీసుకోబడింది: ఒక చతుర్ముఖిలో ఒక మూల లంబ కోణాన్ని (ఒక ఘనం వలె ఒక మూల) కలిగి ఉంటే, అప్పుడు లంబ కోణ మూలకు ఎదురుగా ఉన్న భుజం యొక్క వైశాల్యం వర్గం, మిగిలిన మూడు ముఖాల వైశాల్య వర్గాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

నాలుగు మరియు అధిక మితీయాల్లో కూడా ఈ సిద్ధాంతాల సదృశ్యాలు ఉన్నాయి.

మూడు లఘు కోణాలు ఉన్న ఒక త్రిభుజంలో, α + β > γ వర్తిస్తుంది. కనుక, a ² + b ² > c ² అవుతుంది.

ఒక గురు కోణం ఉన్న ఒక త్రిభుజంలో α + β < γ వర్తిస్తుంది. కనుక, a ² + b ² < c ² అవుతుంది.

ఈ ఉపపాదన ఈ భాషలో లఘు కోణ, లంబ కోణ మరియు గురు కోణ త్రిభుజాల గురించి అని ఎడ్స్గెర్ డిజ్క్స్‌ట్రా పేర్కొన్నాడు:

sgn(α  + β  − γ ) = sgn(a ² + b ² − c ²)

ఇక్కడ α అనేది a భుజానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం, β అనేది b భుజానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం మరియు γ అనేది c భుజానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం అవుతాయి.

నాన్-యుక్లీడియన్ జ్యామితిలో పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యుక్లిడీయన్ జ్యామితి స్వత సిద్ధాంతాలు నుండి నిర్వచించబడింది మరియు యదార్ధానికి, పైన పేర్కొన్న పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క యుక్లిడీయన్ రూపంలో నాన్-యుక్లిడీయన్ జ్యామితి లేదు. (వాస్తవానికి ఇది యుక్లిడీయన్ సమాంతర (ఐదవ) ప్రతిపాదనకు సమానంగా ఉన్నట్లు చూపబడింది.) ఉదాహరణకు, గోళీయ జ్యామితిలో, యూనిట్ గోళం యొక్క ఒక ఆక్టంట్ సరిహద్దులో ఉన్న లంబ కోణ త్రిభుజం మొత్తం, మూడు భుజాల మొత్తం $\scriptstyle \pi/2$కు సమానంగా ఉంటుంది; ఇది యుక్లిడీయన్ పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉల్లంఘిస్తుంది ఎందుకంటే $\scriptstyle (\pi/2)^2+(\pi/2)^2\neq (\pi/2)^2$.

దీని అర్థం అది నాన్-యుక్లిడీయన్ జ్యామితిలో ఉంది, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం తప్పక యుక్లిడీయన్ సిద్ధాంతం నుండి వేరొక రూపాన్ని తీసుకోవాలి. ఇక్కడ రెండు సందర్భాలను ఆలోచించాలి - గోళీయ జ్యామితి మరియు అతిశయ సమాంతర జ్యామితి; యుక్లిడీయన్ సందర్భంలో వలె ప్రతి సందర్భంలోనూ, ఫలితం తగిన కొసైన్‌ల సూత్రం నుండి వస్తుంది:

R వ్యాసార్థం గల ఒక గోళంలో ఏదైనా లంబ కోణ త్రిభుజానికి, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం క్రింది రూపంలో ఉంటుంది

$\cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right).$

ఈ సమీకరణాన్ని కొసైన్‌ల గోళీయ సూత్రం ఒక ప్రత్యేక సందర్భం వలె నిర్వచించవచ్చు. కొసైన్ ఫంక్షన్‌కు మాక్లాయురిన్ క్రమాన్ని ఉపయోగించి, వ్యాసార్థం R అనంతానికి పెరిగినట్లు చూపవచ్చు, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క గోళీయ రూపం యుక్లిడీయన్ రూపంగా మారుతుంది.

అతిశయ చిత్రికలో (గాస్సియన్ వక్రత −1) ఏదైనా లంబ కోణ త్రిభుజానికి, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం క్రింది రూపంలో ఉంటుంది

$\cosh c=\cosh a\,\cosh b$

ఇక్కడ cosh అనేది అతిశయ కొసైన్. అతిశయ కొసైన్‌కు మాక్లాయురిన్ క్రమాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా, ఒక అతిశయ త్రిభుజం చాలా చిన్నది అయ్యినట్లు చూపవచ్చు (i.e., a , b , మరియు c లు అన్ని సున్నాగా మారినట్లు), పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క అతిశయ రూపం యుక్లిడీయన్ రూపంగా మారుతుంది.

సంకీర్ణ అంక గణితంలో

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని కార్టీసీయన్ అక్షాంశాల ఉపరితలంలోని రెండు బిందువుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగించబడుతుంది మరియు అన్ని అక్షాంశాలు స్థిర సంఖ్యలు అయినప్పుడు మాత్రమే ఇది చెల్లుబాటు అవుతుంది: (a , b ) మరియు (c , d ) బిందువుల మధ్య దూరం √((a − c )² + (b − d )²)గా చెప్పవచ్చు. సంకీర్ణ అక్షాంశాలతో, ఈ సూత్రం పనిచేయదు ఉదా. {0,1} మరియు {{1}i,0} బిందువుల మధ్య దూరం 0గా మారుతుంది, reductio ad absurdum ఫలితంగా ఏర్పడుతుంది. దీనికి కారణం, ఈ సూత్రం పైథాగరస్ సిద్ధాంతంపై ఆధారపడి ఉంది, దీనిలో అన్ని వైశాల్యాలు దీని నిరూపణలపై ఆధారపడి ఉంటాయి మరియు త్రిభుజాలు మరియు ఇతర జ్యామితీయ చిత్రాల వైశాల్యాలు లోపల భాగాన్ని మరియు బాహ్య భాగాన్ని వేరు చేస్తున్న ఆ చిత్రాల సరిహద్దు రేఖలపై ఆధారపడి ఉంటాయి, ఇది అక్షాంశాలు సంకీర్ణమైనప్పుడు సాధ్యం కాదు.

బదులుగా, (a , b ) మరియు (c , d ) బిందువుల మధ్య దూరం కోసం, సాధారణంగా దీన్ని ఉపయోగిస్తారు:

(p మరియు q అనేవి (a − c )) యొక్క వాస్తవిక మరియు అవాస్తవిక భాగాలు

(r మరియు s అనేవి (b  − d )) యొక్క వాస్తవిక మరియు అవాస్తవిక భాగాలు

$\begin{align} &amp; {}\qquad \sqrt{(p+iq)\overline{(p+iq)} + (r+is)\overline{(r+is)}} \\ &amp; = \sqrt{(p+iq)(p-iq) + (r+is)(r-is)} \\ &amp; = \sqrt{p^2 + q^2 + r^2 + s^2} \end{align}$

ఇక్కడ $\overline{z}\,$ అనేది $z$ సంకీర్ణ సంయోజకం. ఉదాహరణకు, సంకీర్ణ సంయోజకాన్ని తీసుకోకుంటే, (0, 1) మరియు (i , 0) బిందువుల మధ్య దూరం 0 అవుతుంది. కాని దూరం

$\sqrt{i\cdot\overline{i} + 1 \cdot\overline{1}} = \sqrt{2}. \,$

చరిత్ర

చూయు పై సుయాన్ చింగ్ 500–200 BCలో ఉన్నట్లు (3, 4, 5) త్రిభుజానికి దృశ్యమాన ప్రమాణం

సిద్ధాంతం యొక్క చరిత్రను నాలుగు భాగాలుగా విభజించవచ్చు: పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్ పరిజ్ఞానం, లంబ కోణ త్రిభుజ భుజాల మధ్య సంబంధంపై పరిజ్ఞానం, సమీప కోణాల మధ్య సంబంధంపై పరిజ్ఞానం మరియు సిద్ధాంతం యొక్క ప్రమాణాలు.

ఈజిప్ట్‌లోని మరియు ఉత్తర ఐరోపాలోని దాదాపు 2500 BC నుండి మెగాలిథిక్ స్మారకాలు పూర్ణాంక భుజాలతో లంబ కోణ త్రిభుజాలను కలిగి ఉన్నాయి. బార్టెల్ లీన్డెర్ట్ వ్యాన్ డెర్ వాయిర్డెన్ అభిప్రాయం ప్రకారం ఈ పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్ బీజగణిత శాస్త్రంతో కనుగొనబడ్డాయి.

2000 మరియు 1786 BC మధ్య వ్రాసిన వాటి ప్రకారం, మిడిల్ కింగ్‌డమ్ ఈజిప్టీయన్ పాపేరుస్ బెర్లిన్ 6619 ఒక పైథాగరియన్ ట్రిపుల్ పరిష్కారంగా ఉండే ఒక సమస్యను కలిగి ఉంది.

1790 మరియు 1750 BC మధ్య హమ్మురబీ ది గ్రేట్ యొక్క హయాంలో వ్రాయబడిన మెసోపోటామియా పలక ప్లింప్టాన్ 322 పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్‌కు సన్నిహితంగా సంబంధించిన పలు నమోదులను కలిగి ఉంది.

పలువురు చెప్పినట్లు 8వ శతాబ్ద BC మరియు 2వ శతాబ్ద BCల మధ్య భారతదేశంలో బౌధయానా సుల్బా సూత్ర బీజ గణిత శాస్త్రం పరంగా కనుగొన్న ఒక పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్ జాబితా, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క ఒక ప్రకటన మరియు ఒక సమద్విబాహు లంబ కోణ త్రిభుజానికి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క జ్యామితీయ నిరూపణలను కలిగి ఉంది.

అపాస్తంబా సుల్బా సూత్ర (దాదాపు 600 BC) ఒక వైశాల్య గణనను ఉపయోగించి సాధారణ పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం నిరూపణను కలిగి ఉంది. వ్యాన్ డెర్ వాయిర్డెన్ "ఇది తప్పక మునుపటి సాంప్రదాయాలు ఆధారంగా వచ్చిందని" నమ్మాడు. ఆల్బెర్ట్ బుర్క్ ప్రకారం, ఇది సిద్ధాంతం యొక్క వాస్తవిక నిరూపణగా చెప్పవచ్చు; అతను మరింత చెబుతూ, పైథాగరస్ భారతదేశంలోని అరక్కోణాన్ని సందర్శించి, దాని నకలు చేశాడని పేర్కొన్నాడు.

సాధారణంగా ఇవ్వబడే తేదీలు 569–475 BCలో పైథాగరస్ యుక్లిడ్‌పై ప్రోక్లోస్ వ్యాఖ్యానం ప్రకారం పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్‌ను రూపొందించడానికి బీజగణిత శాస్త్ర పద్ధతులను ఉపయోగించాడు. అయితే ప్రోక్లోస్ 410 మరియు 485 AD మధ్య వ్రాశాడు. సర్ థామస్ L. హీత్ ప్రకారం, పైథాగరస్ జీవనం తర్వాత ఐదు సంవత్సరాలు వరకు పైథాగరస్‌కు ఆ సిద్ధాంతం కేటాయించలేదు. అయితే, ప్లుటార్చ్ మరియు సిసెరో వంటి రచయితలు ఈ సిద్ధాంతాన్ని పైథాగరస్‌కు కేటాయించినప్పుడు, వారు ఆ కేటాయింపు విస్తృత వ్యాప్తి చెందినదిగా మరియు ఎటువంటి సంశయం లేనిదిగా సూచించారు.

400 BC కాలంలో, ప్రోక్లోస్ ప్రకారం, ప్లాటో బీజ గణితం మరియు జ్యామితీలను కలిపి పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్‌ను కనుగొనడానికి ఒక పద్ధతిని అందించాడు. దాదాపు 300 BC కాలంలో, యుక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్‌ లో, సిద్ధాంతం యొక్క పురాతన సజీవ సిద్ధాంతాలతో కూడిన నిరూపణ ఉంది.

500 BC మరియు 200 AD మధ్యకాలంలో వ్రాయబడిన, చైనీస్ పాఠం చౌ పెయి సుయాన్ చింగ్ (周髀算经), (గ్నోమోన్ యొక్క అంక గణిత ప్రామాణిక గ్రంథం మరియు ది సర్క్యూలర్ పాథ్స్ ఆఫ్ హెవెన్ ) పైథాగరియన్ సిద్ధాంతానికి ఒక దృశ్యమాన నిరూపణను కలిగి ఉంది - దీన్ని చైనాలో (3, 4, 5) త్రిభుజానికి "గూగు సిద్ధాంతం" (勾股定理) వలె పిలుస్తారు. 202 BC నుండి 220 AD వరకు హాన్ రాజవంశ సమయంలో, ది నైన్ చాప్టెర్స్ ఆన్ ది మ్యాథమెటికల్ ఆర్ట్‌ లో లంబ కోణ త్రిభుజాలతో పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్ కనిపించాయి.

మొట్టమొదటిసారిగా చైనాలో (దీనిని ఇక్కడ ప్రత్యామ్నాయంగా "షాంగ్ గాయో సిద్ధాంతం" (商高定理) అని పిలుస్తారు, ఈ పేరు జూయు యొక్క డ్యూక్ జ్యోతిష్కుడు పేరు నుండి తీసుకోబడింది మరియు గణిత శాస్త్ర సేకరణ జోయు బి సుయాన్ జింగ్‌లో నిర్వచించబడింది) మరియు భాస్కర సిద్ధాంతం అనే పేరుతో భారతదేశంలో ఉపయోగించినట్లు నమోదు చేయబడింది.

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ఒకసారి కనుగొనబడిందా లేదా పలు సార్లు కనుగొనబడిందా అనే విషయంపై పలు వాదనలు ఉన్నాయి. బోయెర్ (1991) సులబా సూత్రాస్‌లో కనుగొనబడిన మూలకాలు మెసోపోటామియాన్ ఉత్పత్తి అయ్యి ఉండవచ్చని భావించాడు.

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతానికి సాంస్కృతిక ఉపప్రమాణాలు

మూస:Trivia పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం చరిత్ర పరంగా పలు ప్రసార మాధ్యమాల్లో సూచించబడింది.

• గిల్బెర్ట్ మరియు సుల్లివ్యాన్ సంగీతం ది పైరట్సీ ఆఫ్ పెన్జాన్స్‌లో మేజర్-జనరల్స్ పాటలోని ఒక పద్యం సిద్ధాంతానికి వక్ర సూచనతో "బైనామినల్ సిద్ధాంతం గురించి నేను పలు వార్తలతో నిండిపోయాను, కర్ణం యొక్క చతురస్రం గురించి పలు సంతోషకరమైన నిజాలతో" అని ఉంది.
• ది విజార్డ్ ఆఫ్ వోజ్‌ లోని స్కేర్‌క్రో సిద్ధాంతానికి మరింత నిర్దిష్ట సూచనను కలిగి ఉంది, అప్పుడు అతను విజార్డ్ నుండి డిప్లమోను అందుకున్నాడు. అతను వెంటనే సిద్ధాంతం యొక్క నిర్వాహిత మరియు తప్పుడు సంస్కరణను చెప్పడం ద్వారా అతని "పరిజ్ఞానాన్ని" ప్రదర్శించాడు: "ఒక బహుభుజి త్రిభుజం యొక్క ఏదైనా రెండు భుజాల వర్గ మూలాల మొత్తం మిగిలిన భుజం యొక్క వర్గమూలానికి సమానంగా ఉంటుంది. నాకు చాలా సంతోషంగా ఉంది. నాకు కూడా తెలివి ఉంది.

!" స్కేర్‌క్రో ప్రదర్శించిన "పరిజ్ఞానం" సరైనది కాదు. ఖచ్ఛితమైన ప్రకటన ఏమిటంటే "ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం భుజాల వర్గం మొత్తం మిగిలిన భుజం వర్గానికి సమానంగా ఉంటుంది."

• ది సింప్సన్స్‌ లో ఒక భాగంలో, స్పింగ్‌ఫీల్డ్ అణు విద్యుత్ కేంద్రంలోని ఒక స్నానాల గదిలో గెన్రీ కిస్సింగెర్ కళ్లదాల జతను కనుగొన్న తర్వాత, హోమెర్ వాటిని సూత్రం వోజ్ స్కేర్‌క్రో నిర్వాహిత సంస్కరణను ఉపయోగించి వివరిస్తాడు. స్నానాల గది సమీపంలో నిలబడి ఉన్న ఒక వ్యక్తి ఇలా అరుస్తాడు :"అది ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం, బుద్ధిహీనుడా

!" (వర్గమూలాల గురించి వ్యాఖ్య సరి చేయబడకుండా అలాగే మిగిలిపోయింది.)

• Mac OS Xలో పాఠం చదివే సాఫ్ట్‌వేర్‌లో రాల్ఫ్ అనే స్వరం, ఈ సిద్ధాంతాన్ని ఉదాహరణగా వల్లిస్తుంది.
• ఫ్రీమాసోన్రేలో, పాస్ట్ మాస్టర్ కోసం యుక్లిడ్ 47వ ఉపపాదన నుండి తీసుకున్న రేఖాచిత్రమైన ఒక చిహ్నాన్ని పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యుక్లిడ్ నిరూపణలో ఉపయోగించబడింది.
• 2000లో, ఉగాండా లంబ కోణ త్రిభుజం ఆకారంతో ఒక నాణాన్ని విడుదల చేసింది. నాణెం యొక్క బొరసుపై "పైథాగోరాస్ మిలినియమ్" అనే శీర్షికతో పైథాగరస్ చిత్రం మరియు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ఉంటాయి. గ్రీస్, జపాన్, సాన్ మారినో, సియెరా లియోనే, మరియు సురీనామ్‌లు పైథాగోరస్ మరియు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతంతో తపాలా బిళ్లలను విడుదల చేశాయి.
• నీల్ స్టెఫెన్సన్ పరికల్పన ఉహాజనిత అనాథీమ్‌ లో, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం 'ది అద్రాఖోనిక్ సిద్ధాంతం' వలె సూచించబడింది. గ్రహాంతరవాసులు గణిత శాస్త్రాన్ని అర్థం చేసుకున్నట్లు చూపించడానికి గ్రహాంతరవాసుల వాహనానికి ఒక వైపున సిద్ధాంతం యొక్క జ్యామితీయ నిరూపణ ప్రదర్శించబడుతుంది.

ఇవి కూడా చూడండి

• ఫెర్మాట్స్ చివరి సిద్ధాంతం
• కాత్యాయన
• సరళ బీజగణితం
• త్రిభుజ అంశాల జాబితా
• Lp స్పేస్
• నాన్‌హైపోటెన్స్ సంఖ్య
• సమాంతర చతుర్భుజ సూత్రం
• పైథాగరియన్ భావన
• సహేతుక త్రికోణమితి#పైథాగోరస్ సిద్ధాంతం
• సంశ్లిష్ట జ్యామితి
• త్రిభుజం

సూచనలు

• బెల్, జాన్ L., ది ఆర్ట్ ఆఫ్ ది ఇంటెలిజిబల్: యాన్ ఎలిమెంటరీ సర్వే ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్ ఇన్ ఇట్స్ కాన్సెప్చువల్ డెవలప్‌మెంట్ , క్లువెర్, 1999. ISBN 0-7923-5972-0.
• యుక్లిడ్, ది ఎలిమెంట్స్ , సర్ థామస్ L. హీత్, డోవెర్ ద్వారా ఒక పరిచయం మరియు వ్యాఖ్యానంతో అనువదించబడింది, (3 సంపు.), 2వ సంపుటి, 1956.
• హార్డే, మిచైల్, "పైథాగరస్ మేడ్ డిఫికల్ట్" మ్యాథెమెటికల్ ఇంటెలిజెన్సర్ , 10 (3), పు. 31, 1988.
• హీత్, సర్ థామస్, ఏ హిస్టరీ ఆఫ్ గ్రీక్ మ్యాథెమెటిక్స్ (2 సంపు.), క్లారెండన్ ప్రెస్, ఆక్స్‌ఫర్డ్ (1921), డోవెర్ పబ్లికేషన్స్, ఇంక్. (1981), ISBN 0-486-24073-8.
• లూమిస్, ఇలాషా స్కాట్, ది పైథాగరియన్ ప్రోపొజిషన్ . 2వ సంపుటి, వాషింగ్టన్, D.C : ది నేషనల్ కౌన్సిల్ ఆఫ్ టీచర్స్ ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్, 1968. ISBN 978-0873530361.
• మాయోర్, ఇలీ, ది పైథాగరియన్ థీరమ్: ఏ 4,000-ఇయర్ హిస్టరీ . ప్రిన్స్‌టన్, న్యూ జెర్సీ: ప్రిన్స్‌టన్ యూనివర్సిటీ ప్రెస్, 2007, ISBN 978-0-691-12526-8.
• స్టిల్వెల్, జాన్, మ్యాథమెటిక్స్ అండ్ ఇట్స్ హిస్టరీ , స్ప్రింగెర్-వెర్లాగ్, 1989. ISBN 0-387-96981-0 మరియు ISBN 3-540-96981-0.
• స్వెట్జ్, ఫ్రాంక్, కాయో, T. I., వజ్ పైథాగరస్ చైనీస్?: యాన్ ఎగ్జామినేషన్ ఆఫ్ రైట్ ట్రైయాంగిల్ థీర్ ఇన్ ఆనిసెంట్ చైనా , పెన్స్‌ల్వేనియా స్టేట్ యూనివర్సిటీ ప్రెస్. 1977.
• వ్యాన్ డెర్ వాయిర్డెన్, B.L., జామెట్రీ అండ్ ఆల్జీబ్రా ఇన్ ఆనిసెంట్ సివిలైజేషన్ , స్ప్రింగర్, 1983.

బాహ్య లంకెలు

వికీమీడియా కామన్స్ లో కింది విషయానికి సంబంధించిన మీడియా ఉంది.

[[Commons: Category:పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం

| పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం

]]

• పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం (కట్-ది-నాట్ నుండి 70 కంటే అధిక ప్రమాణాలు)
• పరస్పర లింక్లు:
  • పైథాగరియన్ సిద్ధాంతంలోని జావాలో ఇంటరాక్టివ్ ప్రూఫ్
  • పైథాగరియన్ సిద్ధాంతంలోని జావాలో మరొక ఇంటరాక్టివ్ ప్రూఫ్
  • ఇంటరాక్టివ్ యానిమేషన్‌తో పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం
  • యానిమేట్ చేసిన, బీజ గణిత రహిత మరియు వినియోగదారు-ప్రకార పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం
• పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం మరియు లంబ కోణ త్రిభుజ సూత్రాలు
• చరిత్ర అంశం: బాబిలోనియన్ గణితంలో పైథాగరస్ సిద్ధాంతం
• మూస:MathWorld