బీజగణితం

వికీపీడియా నుండి
ఇక్కడికి గెంతు: మార్గసూచీ, వెతుకు

బీజగణితం గణితశాస్త్రంలో ఒక విభాగం, ఇది క్రియలు మరియు సంబంధాలు, నియమాలు మరియు పదాలు, బహుపదులు, సమీకరణాలు మరియు బీజగణిత నిర్మాణాలు సహా, వాటి నుంచి ఉద్భవించే నిర్మాణాలు మరియు భావాలపై అధ్యయానాన్ని గురించి వివరిస్తుంది. క్షేత్రగణితం, విశ్లేషణ, సంస్థితిశాస్త్రం, సమేళనము (కాంబినేటరిక్స్) మరియు సంఖ్యా సిద్ధాంతంతో కలిపి బీజగణితాన్ని ఔపపత్తిక గణితశాస్త్రంలోని ప్రధాన విభాగాల్లో ఒకదానిగా పరిగణిస్తారు. బీజగణితంలో ఒక భాగాన్ని ప్రాథమిక బీజగణితం అని పిలుస్తారు, ఇది ఉన్నత విద్యా పాఠ్యాంశాల్లో భాగంగా ఉంది మరియు ఇందులో సంఖ్య లకు సంబంధించిన చలరాశుల అంశాలు పరిచయం చేయబడతాయి. ఈ చలరాశుల ఆధారిత వివరాలను సంఖ్యలకు అనువర్తింపజేసే, సంకలనం వంటి క్రియలకు సంబంధించిన నియమాలను ఉపయోగించి అభిసంధానం చేయవచ్చు. దీనిని సమీకరణ పరిష్కారం వంటి వివిధ తర్కాలను ఉపయోగించి చేయవచ్చు. ప్రాథమిక బీజగణితం మరియు వివిధ క్రియా నియమాలను ఉపయోగించినప్పుడు మరియు సంఖ్యలేతర అంశాలకు క్రియలను వర్తింపజేసినప్పుడు వచ్చే ఫలితాలపై అధ్యయనాల కంటే బీజగణితం బాగా విస్తృతమైంది. సాధారణీకరించదగిన సంకలనం మరియు గుణకారాలకు సంబంధించిన సరైన నిర్వచనాలు సమూహాలు, వలయాలు మరియు క్షేత్రాలు వంటి నిర్మాణాలకు దారితీస్తాయి.

చరిత్ర[మార్చు]

అల్-ఖ్వారిజ్మీ యొక్క అల్-కితాబ్ అల్-ముహ్తాసార్ ఫి హిసాబ్ అల్-గబర్ వా-ల్-ముఖాబలాలో ఒక పుట

ఆల్జీబ్రా (బీజగణితం) అనే పదం అరబిక్ భాష (అల్-జబర్, అక్షరాలా الجبر , పునస్థాపనం ) నుంచి ఉద్భవించింది, దీని యొక్క పద్ధతుల్లో ఎక్కువ భాగం అరబిక్/ఇస్లామిక్ గణితశాస్త్రం నుంచి వచ్చాయి, వాటి మూలాలను దీనికి పూర్వ సంప్రదాయాల్లో గుర్తించవచ్చు, ముఖ్యంగా పురాతన భారతీయ గణితశాస్త్రంలో వీటి మూలాలు కనిపిస్తాయి, భారతీయ గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రత్యక్ష ప్రభావం ముహమ్మద్ బిన్ ముసా అల్-ఖ్వారిజ్మ (c. 780-850)పై స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. ఆయన భారతీయ గణితశాస్త్రాన్ని నేర్చుకున్నాడు, తన యొక్క అంకగణిత గ్రంథం, కితాబ్ అల్-జామ్’వాల్ తఫ్రీఖ్ బి హిసాబ్ అల్-హిందీ (బుక్ ఆన్ ఎడిషన్ అండ్ సబ్‌స్ట్రాక్షన్ ఆఫ్టర్ ది మెథడ్ ఆఫ్ ది ఇండియన్స్ ) ద్వారా ఆయన భారతీయ గణితశాస్త్రాన్ని ముస్లిం ప్రపంచానికి పరిచయం చేశాడు.[1][2] ఆయన తరువాత అల్-కితాబ్ అల్-ముహ్తాసార్ ఫి హిసాబ్ అల్-జబర్ వా-ల్-ముఖాబలా ( ది కాంపెడియస్ బుక్ ఆన్ కాల్క్యులేషన్ బై కంప్లీషన్ అండ్ బాలెన్సింగ్), క్షేత్రగణితం మరియు అంకగణితంల నుంచి బీజగణితం స్వతంత్ర గణితశాస్త్ర విభాగంగా సుస్థిరమయ్యేందుకు ఈ గ్రంథం ఉపయోగపడింది.[3]

బీజగణితం యొక్క మాలాలను పురాతన బాబిలోనియన్ల గణితశాస్త్రంలో గుర్తించవచ్చు,[4] ఒక క్రమసూత్ర పద్ధతిలో గణనలు చేయగల ఒక ఆధునిక అంకగణిత వ్యవస్థను బాబిలోనియన్లు అభివృద్ధి చేశారు. సరళ సమీకరణాలు, వర్గ సమీకరణాలు మరియు అనిర్దిష్ట సరళ సమీకరణాలు ఉపయోగించి ఈ రోజు పరిష్కరిస్తున్న సమస్యలకు పరిష్కారాలను గణించేందుకు బాబిలోనియన్లు సూత్రాలను అభివృద్ధి చేశారు. వీరికి విరుద్ధంగా, మొదటి సహస్రాబ్ది వి సి లో ఈజిప్ట్, గ్రీకు మరియు చైనా దేశాలకు చెందిన అనేక మంది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు సాధారణంగా ఇటువంటి సమస్యలను క్షేత్రగణిత పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించేవారు, ఆర్‌హింద్ గణితశాస్త్ర తాళపత్రాలు , యూక్లిడ్ యొక్క ఎలిమెంట్స్|యూక్లిడ్ యొక్క ఎలిమెంట్స్, మరియు ది నైన్ ఛాప్టర్స్ ఆఫ్ ది మాథమ్యాటికల్ ఆర్ట్ వంటి గ్రంథాల్లో ఇవి వర్ణించబడ్డాయి. నిర్దిష్ట సమస్యల పరిష్కారాలను సమీకరణాల వివరణ మరియు పరిష్కారానికి సంబంధించిన మరింత సాధాణీకరించిన వ్యవస్థల్లోకి అన్వయించేందుకు సూత్రాలను (నియమాలను) సాధారణీకరించడానికి ఎలిమెంట్స్‌ లో ప్రస్తావించబడిన గ్రీకుల క్షేత్రగణిత వివరాలు వేదికను అందజేశాయి, మధ్యయుగ ముస్లిం గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీనిని సాకారం చేశారు.

అలెగ్జాండ్రియాకు చెందిన హీరో మరియు డియోఫాంటస్ వంటి హెలెనిస్టిక్ (గ్రీకు నాగరికతకు చెందిన) గణిత శాస్త్రజ్ఞులు [5], బ్రహ్మగుప్తా వంటి భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఈజిప్టు మరియు బాబిలోన్ గణిత సంప్రదాయాలను కొనసాగించారు, అయితే డియోఫాంటస్ యొక్క ఆర్థమెటికా మరియు బ్రహ్మగుప్తా యొక్క బ్రహ్మస్ఫుటసిద్ధాంతం ఉన్నత స్థాయిలో ఉన్నాయి.[6] ఉదాహరణకు, వర్గ సమీకరణాలు యొక్క తొలి పూర్తి అంకగణిత పరిష్కారం (సున్నా మరియు రుణాత్మక పరిష్కారాలతోసహా) బ్రహ్మగుప్తా రాసిన పుస్తకం బ్రహ్మాస్పుటసిద్ధాంతం లో వర్ణించబడింది. తరువాత, అరబిక్ మరియు ముస్లిం గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మరింత ఆధునిక స్థాయికి చెందిన బీజగణిత పద్ధతులను అభివృద్ధి చేశారు. డియోఫాంటస్ మరియు బాబిలోనియన్లు సమీకరణాల పరిష్కారానికి ఎక్కువగా ప్రత్యేక తాత్కాలిక పద్ధతులను ఉపయోగించినప్పటికీ, సాధారణ పద్ధతులను ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించిన ప్రప్రథమ వ్యక్తిగా వ్యక్తిగా అల్-ఖ్వారిజ్మీ గుర్తింపు పొందారు. సరళ అనిర్దిష్ట సమీకరణాలు, వర్గ సమీకరణాలు, ద్వియాంశ అనిర్దిష్ట సమీకరణాలు మరియు బహు చలరాశులు కలిగిన సమీకరణాలను ఆయన పరిష్కరించాడు.

"ఆల్జీబ్రా" అనే పదం "అల్-జబర్ , الجبر " అనే అరబిక్ పదం నుంచి ఉద్భవించింది, ఈ పదాన్ని al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala , الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة పుస్తకం పేరు నుంచి స్వీకరించారు al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala , الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة , ఈ పుస్తకాన్ని ఆంగ్లంలో ది బుక్ ఆఫ్ సమ్మరీ కాన్సర్నింగ్ కాల్క్యులేటింగ్ బై ట్రాన్స్‌పొజిషన్ అండ్ రిడక్షన్ అని పిలుస్తారు, ఈ పుస్తకాన్ని ఇస్లామిక్ పర్షియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (ఆయనను "బీజగణిత పితామహుడి"గా పరిగణిస్తారు), 820లో రాశారు. అల్-జబర్ అనే పదానికి "పునరేకీకరణ" అనే అర్థం వస్తుంది[7]. గ్రీకు నాగరికతకు చెందిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు డియోఫాంటస్‌ను సంప్రదాయబద్ధంగా "బీజగణిత పితామహుడి"గా గుర్తిస్తున్నారు, అయితే ఇటీవల కాలంలో అల్-జబర్ నియమాలను కనుగొన్న అల్-ఖ్వారిజ్మీని బీజగణిత పితామహుడిగా గుర్తించడంపై పెద్ద చర్చ జరుగుతోంది.[8] అల్-జబర్‌ లో కనిపించే బీజగణితం అర్థమెటికా తో పోలిస్తే ప్రాథమిక స్థాయికి కొంచెం ఎక్కువగా ఉందని, అర్థమెటికా లో బీజగణిత వివరాలు బాగా ఆధునికీకరించబడి ఉండగా, అల్-జబర్‌ లో పూర్తిగా అలకారికంగా ఉందని డియోఫాంటస్‌కు మద్దతు ఇచ్చేవారు వాదిస్తున్నారు.[9] అల్-జబర్ అనే పదం చేత మొదట సూచించబడిన "కుదింపు" మరియు "సమం చేయడం" (భాగాహారం చేయగలిగిన పదాలను సమీకరణం యొక్క మరోవైపుకు బదిలీ చేయడం, అంటే, సమీకరణం రెండువైపులా ఉన్న సమాన పదాలను రద్దు చేయడం) వంటి పద్ధతులను పరిచయం చేయడంతోపాటు,[10] మరియు వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించేందుకు పూర్తి వివరణ ఇవ్వడం,[11] వీటికి క్షేత్రగణిత రుజువులు అందించడంతోపాటు, బీజగణితాన్ని స్వతంత్ర గణిత శాస్త్ర విభాగంగా సుస్థిరపరిచారని అల్-ఖ్వారిజ్మీకి మద్దతు పలికేవారు వాదిస్తున్నారు.[12] అతను ప్రతిపాదించిన బీజగణితం "పరిష్కరించాల్సిన సమస్యల శ్రేణితో సంబంధం లేకుండా, సమీకరణాలకు అన్ని సాధ్యమయ్యే మాత్రికలను అందించే జతలు కలిగిన మొదటి పదాలతో వివరణ ప్రారంభమవుతుంది, దీని నుంచి స్పష్టంగా వాస్తవ వస్తు అధ్యయనం స్థాపించబడుతుంది." అతను ఒక సమీకరణాన్ని దాని సొంత లక్ష్యం కోసం అధ్యయనం చేశాడు మరియు "సాధారణ పద్ధతిలో, ఇప్పటివరకు ఒక సమీకరణం సులభంగా సమస్యను పరిష్కరిస్తున్న క్రమంలో బయటపడలేదు, అనంత శ్రేణి సమస్యలను పరిష్కరించేందుకు ప్రత్యేకంగా ఇది అభివృద్ధి చేయబడింది."[78]

పర్షియా గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఒమర్ ఖయ్యుం బీజీయ క్షేత్రగణితానికి పునాదులు నిర్మించిన వ్యక్తింగా గుర్తింపు పొందాడు, ఆయన ఘన సమీకరణానికి సాధారణ క్షేత్ర గణిత పరిష్కారాన్ని కనుగొన్నాడు. మరో పర్షియా గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, షరాఫ్ అల్-డిన్ అల్-తుసీ వివిధ ఘన సమీకరణాల సందర్భాలకు బీజీయ మరియు సంఖ్యా పరిష్కారాలు కనుగొన్నాడు.[13] అంతేకాకుండా ఆయన ప్రమేయం అనే భావనను అభివృద్ధి చేశాడు.[14] భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మహావీర మరియు భాస్కరా II, పర్షియా గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అల్-కారాజీ,[15] మరియు చైనా గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జు షిజీ వివిధ ఘన, ద్విఘాత, పంచఘాత మరియు అధిక-ఘాత బహుపాద సమీకరణాలను సంఖ్యా పద్ధతుల్లో పరిష్కరించారు. వైశ్లేషిక క్షేత్రగణితాన్ని కనిపెట్టిన రెనె డెస్కార్టెస్ ఆధునిక బీజగణిత సంజ్ఞామానాన్ని కూడా పరిచయం చేశాడు, ఆయన రాసిన లా జియోమెట్రీ పుస్తకం 1637లో ముద్రితమైంది.

ఘన మరియు ద్విఘాత సమీకరణాలకు సాధారణ బీజగణిత పరిష్కారం ద్వారా బీజగణితంలో మరింత పురోభివృద్ధి సాధ్యపడింది, దీనికి సంబంధించిన అభివృద్ధి 16వ శతాబ్దం మధ్యకాలంలో సాధించబడింది. నిర్ణాయకం అనే ఆలోచన జపాన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కోవా సెకి చేత 17వ శతాబ్దంలో అభివృద్ధి చేయబడింది, దీని తరువాత పదేళ్లకు గాట్‌ఫ్రైడ్ లెబ్నిజ్ సమకాలీనమైన సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను మాత్రికలను ఉపయోగించి పరిష్కరించేందుకు నిర్ణాయకంపై ఆలోచనలు చేశారు. గాబ్రియెల్ గ్రామెర్ కూడా 18వ శతాబ్దంలో మాత్రికలు మరియు నిర్ణాయకాలపై కొంత కృషి చేశారు. 19వ శతాబ్దంలో వియుక్త బీజగణితం అభివృద్ధి చేయబడింది, ఇది ప్రాథమికంగా ఇప్పుడు గాలోయిస్ సిద్ధాంతం మరియు నిర్మాణసాధ్యతగా పిలుస్తున్న అంశాలపై దృష్టి పెట్టింది.

వర్గీకరణ[మార్చు]

బీజగణితాన్ని స్థూలంగా ఈ కింది విభాగాలుగా వర్గీకరించవచ్చు:

  • ప్రాథమిక బీజగణితం , ఇందులో స్థిరాంకాలను మరియు చలరాశులను సూచించేందుకు "స్థానపతులను" గుర్తులుగా ఉపయోగించి నిజ సంఖ్యా వ్యవస్థలో క్రియల లక్షణాలను నమోదు చేస్తారు మరియు ఈ గుర్తులతో ఉన్న గణిత సమాసాలను మరియు సమీకరణాలకు సంబంధించిన నియమాలను అధ్యయనం చేస్తారు. దీనిని పాఠశాలలో బీజగణితం అనే పేరుపై (లేదా మాధ్యమిక బీజగణితం మరియు కళాశాల బీజగణిత విభాగాలను తరువాతి సంవత్సరాల్లో) నేర్పిస్తారు. సమూహ సిద్ధాంతంలో విశ్వవిద్యాలయ-స్థాయి కోర్సులను కూడా ప్రాథమిక బీజగణితం గా పిలుస్తారు.
  • వియుక్త బీజగణితం , కొన్నిసార్లు దీనిని ఆధునిక బీజగణితం అని కూడా పిలుస్తారు, ఇందులో సమూహాలు, వలయాలు మరియు క్షేత్రాలు వంటి బీజగణిత నిర్మాణాలను సిద్ధాంత ఆధారంగా నిర్వచించడంతోపాటు పరిశోధిస్తారు.
  • సరళ బీజగణితం , ఇందులో సదిశరాశుల అంతరాళాలను అభ్యసిస్తారు (మాత్రికలతో సహా);
  • విశ్వ బీజగణితం , ఇందులో అన్ని బీజగణిత నిర్మాణాలకు సమానమైన లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తారు.
  • బీజగణిత సంఖ్యా సిద్ధాంతం , ఇందులో బీజగణిత వ్యవస్థల ద్వారా సంఖ్యల లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తారు. బీజగణితంలో వాస్తవ పరిగ్రహణం యొక్క స్ఫూర్తి సంఖ్యా సిద్ధాంతంలో బాగా కనిపిస్తుంది.
  • బీజీయ క్షేత్రగణితం క్షేత్రగణిత సమస్యలకు వియుక్త బీజగణితాన్ని వర్తింపజేస్తుంది.
  • బీజీయ సమ్మేళనశాస్త్రం , ఇందులో సమ్మేళన ప్రశ్నలను అధ్యయనం చేసేందుకు వియుక్త బీజగణిత పద్ధతులను ఉపయోగిస్తారు.

అధునాతన అధ్యయనం యొక్క కొన్ని కోణాల్లో, బీజగణిత నిర్మాణంతో అవిరుద్ధంగా ఉండే క్షేత్రగణిత నిర్మాణం (ఒక కొలమానం లేదా ఒక సంస్థితిశాస్త్రం) సమక్షంలో సమూహాలు, వలయాలు, క్షేత్రాలు వంటి సిద్ధాంతపరమైన బీజగణిత వ్యవస్థలను మరియు ఒక క్షేత్రం యొక్క బీజగణితాన్ని అధ్యయనం చేస్తారు. ఈ జాబితా ప్రమేయ విశ్లేషణ యొక్క అనేక విభాగాల్లో విస్తరించివుంది:

  • సాధారణ సరళ అంతరాళాలు
  • బనాచ్ అంతరాళాలు
  • హిల్‌బెర్ట్ అంతరాళాలు
  • బనాచ్ బీజగణితం
  • సాధారణ బీజగణితం
  • సంస్థితి బీజగణితం
  • సంస్థితి సమూహాలు

ప్రాథమిక బీజగణితం[మార్చు]

ప్రాథమిక బీజగణితాన్ని బీజగణితం యొక్క ప్రారంభ రూపంగా పరిగణించవచ్చు. అంక గణితం యొక్క ప్రాథమిక నియమాలకు మించి గణితశాస్త్రంపై ఎటువంటి అవగాహనలేని విద్యార్థులకు దీనిని బోధిస్తారు. అంక గణితంలో, సంఖ్యలు మరియు వాటి అంక గణిత క్రియలు (+, −, ×, ÷ వంటివి) మాత్రమే ఉంటాయి. బీజగణితంలో, సంఖ్యలను తరచుగా గుర్తులతో (a , x , or y ) సూచిస్తారు. ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే:

  • అంక గణిత సూత్రాలు (a + b = b + a a మరియు b యొక్క అన్ని విలువలకు, వంటి) సాధారణీకరణ చేసేందుకు ఇది వీలు కల్పిస్తుంది, నిజ సంఖ్యా వ్యవస్థ యొక్క లక్షణాల క్రమ అన్వేషణకు దీనిని మొదటి అడుగుగా చెప్పవచ్చు.
  • "గుర్తుతెలియని" సంఖ్యలను సూచించేందుకు, సమీకరణం ఏర్పాటుకు, ఇటువంటివాటిని పరిష్కరించేందుకు ఇది వీలు కల్పిస్తుంది ఉదాహరణకు ("3x + 1 = 10 సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి x అనే సంఖ్యను గుర్తించడం" లేదా మరింత క్లిష్టంగా ఉండే "ax +b =c సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి x అనే సంఖ్యను గుర్తించండి". పరిష్కారం కోసం ఉపయోగించే దశలో, సంఖ్యల లక్షణం దీనికి పరిష్కారం కొనుగొనేందుకు ఉపయోగపడదు, దీనికి బదులుగా ఇందులో ఉన్న క్రియలు ఉపయోగపడతాయి).
  • ప్రమేయ సంబంధాల ఏర్పాటుకు ఇది ఉపయోగపడుతుంది (ఉదాహరణకు "మీరు x టిక్కెట్లు విక్రయిస్తే, అందులో మీ ఆదాయం 3x − 10 డాలర్లు, లేదా f (x ) = 3x − 10, ఇక్కడ f అనేది ఒక ప్రమేయం, మరియు x అనేది ప్రేమేయం వర్తింపజేసిన ఒక సంఖ్య.").

బహుపదులు[మార్చు]

బహుపది (మరింత సమాచారం కోసం బహుపదులు అనే వ్యాసాన్ని చూడండి) అనేది ఒక సమాసం, దీనిని సంకలనం, వ్యవకలనం మరియు గుణకారం వంటి క్రియలను ఉపయోగించి ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ చలరాశులు మరియు స్థిరాంకాల ద్వారా నిర్మిస్తారు (ఇక్కడ పదేపదే గుణకారం చేయాల్సిన ఒకేరకమైన చలరాశిని ప్రామాణికంగా ఒక స్థిరాంక-రుణాత్మకేతర పూర్ణాంక ఘాతంతో ఘాతీయ ప్రక్రియగా సూచిస్తారు). ఉదాహరణకు, x 2 + 2x − 3 అనేది ఒక బహుపది, ఇది x అనే ఒక చలరాశిని కలిగివుంది.

బీజగణితంలో ఒక ముఖ్యమైన తరగతికి చెందిన సమస్యలు ఏమిటంటే ఇవ్వబడిన బహుపదిని ఇతర బహుపదుల ఉత్పత్తిగా వ్యక్తపరచడం, వీటిని బహుపదుల కారణాంకీకరణంగా పిలుస్తారు. ఉదాహరణకు, పైన పేర్కొన్న బహుపదిని (x − 1)(x + 3) అనే కారణాంశాలుగా విడదీయవచ్చు. ఏక చలరాశి కలిగిన ఒక బహుపది మూలాలకు బీజగణిత సమాసాలను గుర్తించడం కూడా ఇటువంటివాటికి సంబంధించిన సమస్యల పరిధిలోకి వస్తాయి.

వియుక్త (నైరూప్య) బీజగణితం[మార్చు]

ప్రాథమిక బీజగణితంలో కనిపించే పరిచయ అంశాలను మరియు అంక గణిత సంఖ్యలను వియుక్త బీజగణితం మరింత సాధారణ అంశాలకు విస్తరిస్తుంది.

సమితులు : వివిధ రకాల సంఖ్యలను మాత్రమే పరిగణలోకి తీసుకోవడానికి బదులుగా, వియుక్త బీజగణితం సమితుల యొక్క మరింత సాధారణ భావనను ఉపయోగిస్తుంది: అన్ని వస్తువులను (సంఖ్యలు అని పిలుస్తారు) సముదాయపరిచేందుకు ఆధారంగా చేసుకున్న లక్షణం, ఒక సమితికి నిర్ణీతమై ఉంటుంది. సజాతీయ సంఖ్యల అన్ని సముదాయాలను సమితులు అంటారు. సమితులకు ఇతర ఉదాహరణలు ఏమిటంటే, 2x2 మాత్రికల సమితి, అన్ని ద్వితీయ-శ్రేణి బహుపదుల సమితి (ax 2 + bx + c ), ఒక తలంలోని అన్ని ద్విమాత్రిక సదిశరాశుల సమితి, మాడ్యులో n పూర్ణాంక సమూహంగా పరిగణించబడే చక్రీయ సమూహాల వంటి వివిధ పరిమిత సమూహాలు ఈ సమితులకు ఇతర ఉదాహరణలు. సమితి సిద్ధాంతం అనేది తర్కశాస్త్రంలో ఒక విభాగం, సాంకేతికంగా ఇది బీజశాస్త్రంలో భాగం కాదు.

ద్వియాంశ క్రియలు : ద్వియాంశ క్రియ ను ఇచ్చేందుకు సంకలనం (+) యొక్క భావనను సంక్షేపిస్తారు, ∗ అనవచ్చు. సమితి లేకుండా ద్వియాంశ క్రియ యొక్క భావన అర్థరహితం, ఎందుకంటే సమితి ఆధారంగానే క్రియను నిర్వచిస్తారు. S అనే సమితిలో రెండు సంఖ్యలు a మరియు b లు ఉంటే, ఆ సమితిలో ab మరో సంఖ్య అవుతుంది; ఈ నియమాన్ని సమాపకం అని పిలుస్తారు. మాత్రికలు, సదిశరాశులు మరియు బహుపదుల సంకలనం మరియు గుణకారం మాదిరిగా వేర్వేరు సమితులపై నిర్వచించినప్పుడు సంకలనం (+), వ్యవకలనం (-), గుణకారం (×), మరియు భాగహారం (÷) ద్వియాంశ క్రియలు అవతాయి.

గుర్తింపు సంఖ్యలు : ఒక క్రియలో ఒక గుర్తింపు సంఖ్య భావనను ఇచ్చేందుకు సున్నా మరియు ఒకటి సంఖ్యలను సంక్షేపిస్తారు. సంకలనానికి సున్నాను గుర్తింపు సంఖ్యగా, ఒకటిని గుణకారానికి గుర్తింపు సంఖ్యగా పరిగణిస్తారు. సాధారణ ద్వియాంశ పరికర్త ∗కు గుర్తింపు సంఖ్య e ae = a మరియు ea = a లను తప్పనిసరిగా సంతృప్తి పరచాలి. ఇది సంకలనానికి a + 0 = a మరియు 0 + a = a మరియు గుణకారానికి a × 1 = a మరియు 1 × a = a ఆధారంగా ఉంటుంది. సమితి మరియు పరికర్త మేళనాలు అన్నీ గుర్తింపు సంఖ్యను కలిగివుండవు; ఉదాహరణకు, ధనాత్మక సహజ సంఖ్యల (1, 2, 3, ...) సంకలనానికి ఎటువంటి గుర్తింపు సంఖ్య ఉండదు.

విలోమ సంఖ్యలు : రుణాత్మక సంఖ్యలు విలోమ సంఖ్యలు అనే అంశాన్ని తెరపైకి తీసుకొచ్చాయి. సంకలనానికి, a యొక్క విలోమం −a అవుతుంది, గుణకారానికి విలోమం 1/a అవుతుంది. సాధారణ విలోమ సంఖ్య a −1 తప్పనిసరిగా aa −1 = e మరియు a −1a = e అనే లక్షణాన్ని సంతృప్తిపరచాలి.

సహార్థకత్వం : పూర్ణ సంఖ్యల (పూర్ణాంకాలను) సంకలనం సహార్థకత్వం అని పిలిచే ధర్మాన్ని కలిగివుంది. అంటే, సంకలనం చేసే సంఖ్యలను సమూహపరచడం మొత్తం విలువను ప్రభావితం చేయదు. ఉదాహరణకు: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). సాధారణంగా, దీనిని (ab ) ∗ c = a ∗ (bc )గా చూపించవచ్చు. వ్యవకలనం లేదా భాగహారం లేదా ఆక్టోనియన్ గుణకారంలలో మినహా, ఈ ధర్మాన్ని అనేక ద్వియాంశ క్రియల్లో ఉపయోగిస్తారు.

దిక్పరివర్తనం : పూర్ణ సంఖ్యల సంకలనం దిక్పరివర్తనం (కమ్యుటేటివిటీ) అనే ధర్మాన్ని కూడా కలిగివుంది. అంటే, సంకలనం చేసే సంఖ్యల క్రమం మొత్తం విలువను ప్రభావితం చేయదు. ఉదాహరణకు: 2+3=3+2. సాధారణంగా, దీనిని ab = ba రూపంలో రాయవచ్చు. కేవలం కొన్ని ద్వియాంశ క్రియలు మాత్రమే ఈ ధర్మాన్ని కలిగివుంటాయి. పూర్ణ సంఖ్యల సంకలనం మరియు గుణకారాలకు దీనిని వర్తింప జేయవచ్చు, మాత్రిక గుణకారం లేదా చతుష్టయ గుణకారంలలో ఈ ధర్మాన్ని వర్తింపజేయలేము.

సమూహాలు - ఏక ద్వియాంశ క్రియతో సమితి నిర్మాణాలు[మార్చు]

పైన పేర్కొన్న అంశాలను కలపడం ద్వారా గణిత శాస్త్రంలో అత్యంత ముఖ్యమైన నిర్మాణాల్లో ఒకటి ఏర్పడుతుంది: అది సమూహం . ఒక సమూహాన్ని S అనే సమితి మరియు ఏక ద్వియాంశ క్రియ ∗ల కలయికగా చెప్పవచ్చు, దీనిని మీకు కావాల్సినట్లుగా నిర్వచించవచ్చు, అయితే ఈ కింది ధర్మాలను మాత్రం పాటించాలి:

  • ఒక గుర్తింపు సంఖ్య e ఉన్నప్పుడు, ea మరియు ae రెండూ a కి సమానయ్యేలా S సమితి యొక్క ప్రతి సంఖ్య a ఉంటుంది.
  • ప్రతి సంఖ్య విలోమం కలిగివుంటుంది: S సమితి యొక్క ప్రతి భాగస్వామి a కి, a −1 అనే విలోమం ఉంటుంది కావున aa −1 మరియు a −1a రెండూ గుర్తింపు సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటాయి.
  • క్రియ సహార్థకం అవుతుంది: a , b మరియు c లు S యొక్క సభ్యులు అయినప్పుడు, (ab ) ∗ c కి a ∗ (bc ) సమానమవుతుంది.

ఒక సమూహం దిక్పరివర్తకం అయితే-అంటే, a మరియు b అనేవి S సమితిలో ఏవైనా రెండు సంఖ్యలు అనుకుంటే, ab అనేది ba కి సమానమవుతుంది-అప్పుడు ఆ సమూహాన్ని అబెలియన్ అని చెబుతారు.

ఉదాహరణకు, సంకలన క్రియలో ఉన్న పూర్ణ సంఖ్యల సమితిని సమూహం అంటారు. ఈ సమూహంలో, గుర్తింపు సంఖ్య 0 మరియు a అనే ఏదైనా సంఖ్య యొక్క విలోమం దాని యొక్క రుణాత్మక విలువ, −a అవుతుంది. a , b మరియు c అనే ఏదైనా పూర్ణ సంఖ్యలకు (a + b ) + c = a + (b + c ) అవుతుంది కాబట్టి సహార్థకత్వం అవసరం తీరుతుంది.

సున్నాయేతర కరణీయ సంఖ్యలు (నిష్ప సంఖ్యలు) గుణకారంతో ఒక సమూహాన్ని ఏర్పాటు చేస్తాయి. ఎటువంటి కరణీయ సంఖ్య a కు 1 × a = a × 1 = a కావున, ఇక్కడ, గుర్తింపు సంఖ్య 1 అవుతుంది. a × 1/a = 1 కావున, a యొక్క విలోమం 1/a అవుతుంది.

అయితే, గుణకార క్రియలో పూర్ణ సంఖ్యలు, సమూహాన్ని ఏర్పాటు చేయలేవు. ఇది ఎందుకంటే, సాధారణంగా, ఒక పూర్ణ సంఖ్య యొక్క గుణకార విలోమం మరొక పూర్ణ సంఖ్య కాలేదు. ఉదాహరణకు, 4 ఒక పూర్ణ సంఖ్య, అయితే దాని యొక్క గుణకార విలోమం ¼, పూర్ణ సంఖ్య కాదు.

సమూహాల యొక్క సిద్ధాంతాన్ని సమూహ సిద్ధాంతంలో అభ్యసిస్తారు. పరిమిత సాధారణ సమూహాల వర్గీకరణను ఈ సిద్ధాంతం వలన ఏర్పడే ప్రధాన ఫలితంగా పరిగణించవచ్చు, ఇవి ఎక్కువగా 1955 మరియు 1983 మధ్యకాలంలో ప్రచురించబడ్డాయి, పరిమిత సాధారణ సమూహాలను స్థూలంగా 30 ప్రాథమిక రకాలుగా వర్గీకరించేందుకు ఈ ప్రయత్నం జరిగింది.

ఉదాహరణలు:
సమితి: సహజ సంఖ్యలు N పూర్ణ సంఖ్యలు Z కరణీయ సంఖ్యలు Q (ఇవి నిజ R మరియు సంక్లిష్ట C సంఖ్యలు కూడా) పూర్ణ సంఖ్యలు మాడ్యులో 3: Z 3 = {0, 1, 2}
క్రియ + × (w/o సున్నా) + × (w/o సున్నా) + × (w/o సున్నా) ÷ (w/o సున్నా) + × (w/o సున్నా)
ముగింపు అవును అవును అవును అవును అవును అవును అవును అవును అవును అవును
గుర్తింపు 0 1 0. 1 0 N/A 1 N/A 0 1
విలోమం N/A N/A -a N/A -a N/A 1/a N/A 0, 2, 1, వరుసగా N/A, 1, 2, వరుసగా
సహార్థకం అవును అవును అవును అవును అవును కాదు అవును కాదు అవును అవును
దిక్పరివర్తకం అవును అవును అవును అవును అవును కాదు అవును కాదు అవును అవును
ఆకృతి మోనాయిడ్ మోనాయిడ్ అబెలియన్ సమూహం మోనాయిడ్ అబెలియన్ సమూహం క్వాసిసమూహం అబెలియన్ సమూహం క్వాసిసమూహం అబెలియన్ సమూహం అబెలియన్ సమూహం (Z 2)

పాక్షిక సమూహాలు, క్వాసి సమూహాలు మరియు మోనాయిడ్‌లు కూడా సమూహాలను పోలిన నిర్మాణాలే, అయితే ఇవి బాగా సాధారణంగా ఉంటాయి. ఇవి ఒక సమితి మరియు ఒక సంవృత ద్వియాంశ క్రియను కలిగివుంటాయి, అయితే ఇవి ఇతర నియమాలను పాటించాల్సిన అవసరం లేదు. ఒక పాక్షిక సమూహం అనేది ఒక సహార్థక ద్వియాంశ క్రియ, అయితే ఇది ఒక గుర్తింపు సంఖ్యను కలిగివుండకపోవచ్చు. మోనాయిడ్ అనేది ఒక పాక్షిక సమూహం, దీనికి గుర్తింపు ఉంటుంది, అయితే దీనిలోని ప్రతి సంఖ్యకు విలోమం ఉండకపోవచ్చు. క్వాసి సమూహం అనేది విశిష్ట క్రియకు ముందు లేదా తరువాత మరో సంఖ్యగా మార్పు చెందగల ఏదైనా సంఖ్యను కలిగివుండే నియమాన్ని సంతృప్తి పరుస్తుంది; అయితే ద్వియాంశ క్రియ సహార్థకంగా ఉండకపోవచ్చు.

అన్ని సమూహాలు మోనాయిడ్‌లు అవుతాయి మరియు అన్ని మోనాయిడ్‌లను పాక్షిక సమూహాలుగా పరిగణించవచ్చు.

వలయాలు మరియు క్షేత్రాలు-రెండు నిర్దిష్ట ద్వియాంశ క్రియలతో, (+) మరియు (×), సమితి నిర్మాణాలు[మార్చు]

సమూహాలు ఏక ద్వియాంశ క్రియను మాత్రమే కలిగివుంటాయి. వివిధ రకాల సంఖ్యల యొక్క ప్రవర్తనను పూర్తిగా వివరించేందుకు, రెండు క్రియలు కలిగిన నిర్మాణాలను అధ్యయనం చేయాల్సిన అవసరం ఉంది. వీటిలో అత్యంత ముఖ్యమైనవి ఏమిటంటే వలయాలు మరియు క్షేత్రాలు.

పంపిణీ ధర్మం సంఖ్యలకు పంపిణీ సూత్రాన్ని సాధారణీకరించింది, మరియు క్రియను వర్తింపజేయాల్సిన క్రమాన్ని ఇది నిర్దేశిస్తుంది, (అగ్రత అని పిలుస్తారు). పూర్ణ సంఖ్యలు (a + b) × c = a × c + b × c మరియు c × (a + b) = c × a + c × b,లకు ×ను +పై పంపిణీ గా (డిస్ట్రిబ్యూటివ్) పరిగణిస్తారు.

ఒక వలయం +పై × డిస్ట్రిబ్యూటివ్‌తో రెండు ద్వియాంశ క్రియలు (+) మరియు (×) కలిగివుంటుంది. తొలి పరికర్త (+) పరిధిలో ఇది ఒక అబెలియన్ సమూహాన్ని ఏర్పాటు చేస్తుంది. రెండో పరికర్త (×) పరిధిలో ఇది సహార్థకం, అయితే దీనికి గుర్తింపు లేదా విలోమం కలిగివుండాల్సిన అవసరం లేదు, అందువలన భాగహారానికి అనుమతి ఉండదు. సంకలనాత్మక (+) గుర్తింపు సంఖ్యను 0గా రాస్తారు మరియు a యొక్క సంకలనాత్మక విలోమాన్ని −a గా రాస్తారు.

పూర్ణ సంఖ్యలను ఒక వలయానికి ఉదాహరణగా చెప్పవచ్చు. పూర్ణ సంఖ్యలు దానిని సమాకలన ప్రదేశం గా మార్చే అదనపు ధర్మాలను కలిగివుంటాయి.

క్షేత్రాన్ని 0తో సహా, అన్ని సంఖ్యలు × కింద ఒక అబెలియన్ సమూహాన్ని ఏర్పాటు చేసే అదనపు ధర్మం కలిగిన ఒక వలయం గా చెప్పవచ్చు. గుణకారాత్మక (×) గుర్తింపును 1గా రాస్తారు మరియు a యొక్క గుణకారాత్మక విలోమాన్ని a −1గా రాస్తారు.

కరణీయ సంఖ్యలు, నిజ సంఖ్యలు మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలను క్షేత్రాలకు ఉదాహరణలుగా చెప్పవచ్చు.

బీజగణితంగా పిలిచే విషయాలు[మార్చు]

బీజగణితం అనే పదాన్ని వివిధ బీజీయ నిర్మాణాలు కోసం ఉపయోగిస్తారు:

  • క్షేత్ర బీజగణితం లేదా మరింత సాధారణంగా వలయ బీజగణితం
  • సమితి బీజగణితం
  • బౌల్య బీజగణితం
  • వర్గ సిద్ధాంతంలో F-ఆల్జీబ్రా మరియు F-కోఆల్జీబ్రా
  • రిలేషనల్ ఆల్జీబ్రా (బాంధవ్య బీజగణితం)
  • సిగ్మా-ఆల్జీబ్రా
  • T-ఆల్జీబ్రాస్ ఆఫ్ మోనాడ్స్.

ఇవి కూడా చూడండి[మార్చు]

  • బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం
  • గణిత శాస్త్ర వ్యాసాల జాబితా
  • క్రియల క్రమం

సూచనలు[మార్చు]

  1. http://www.brusselsjournal.com/node/4107/print
  2. ఎ హిస్టరీ ఆఫ్ మాథమ్యాటిక్స్: ఎన్ ఇంట్రడక్షన్ (2వ ఎడిషన్) (పేపర్‌బాక్) విక్టర్ J కాట్జ్ ఆడిసన్ వెస్లే; 2 ఎడిషన్ (మార్చి 6, 1998)
  3. Roshdi Rashed (November 2009), Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra, Saqi Books, ISBN 0863564305 
  4. స్ట్రుయిక్, డిర్క్ J. (1987). ఎ కాన్సైజ్ హిస్టరీ ఆఫ్ మాథమ్యాటిక్స్ . న్యూయార్క్: డోవెర్ పబ్లికేషన్స్.
  5. డియోఫాంటస్, ఫాదర్ ఆఫ్ ఆల్జీబ్రా
  6. హిస్టరీ ఆఫ్ ఆల్జీబ్రా
  7. ఆర్ రాదర్ రీస్టోరేషన్ , అకార్డింగ్ టు RH వెబ్‌స్టెర్'s 2nd ed.
  8. కార్ల్ B. బోయెర్, ఎ హిస్టరీ ఆఫ్ మాథమ్యాటిక్స్, రెండో ఎడిషన్ (విలే, 1991), పేజీలు 178, 181
  9. కార్ల్ B. బోయెర్, ఎ హిస్టరీ ఆఫ్ మాథమ్యాటిక్స్, రెండో ఎడిషన్ (విలే, 1991), పేజి 228
  10. [76] ^ [75] "అల్-జబర్ మరియు ముఖాబలా అనే పదాలకు అర్థమేమిటో స్పష్టంగా తెలియదు, అయితే సాధారణ అర్థం పైన పరోక్షంగా వ్యక్తీకరించిన అనువాదాన్ని పోలివుంటుంది. అల్-జబర్ అనే పదం యొక్క అర్థం "పునరుద్ధరణ" లేదా "సంపూర్ణత" వంటి పద అర్థాలను పోలివుంటుందని భావించవచ్చు మరియు భాగాహారించబడ్డ పదాలను సమీకరణం యొక్క రెండోవైపుకు బదిలీ చేయడాన్ని ఇది సూచిస్తుంది; ముఖాబలా అనే పదం "కుదింపు" లేదా "సమీకరించడం" అనే అర్థాలను సూచిస్తుంది- అంటే సమీకరణం రెండు వైపుల ఉన్న సరిపోలిన పదాలను కొట్టివేయడాన్ని సూచిస్తుంది."
  11. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "పైన ఇవ్వబడిన సమీకరణాల ఆరు సందర్భాలు ధనాత్మక మూలం కలిగిన సరళ మరియు వర్గ సమీకరణాల అన్ని సంభావనీయతలను వెల్లడిస్తాయి. బాగా క్రమపరిచిన మరియు లోతైన అల్-ఖ్వారిజ్మీ యొక్క వివరణను చదివే పాఠకులు సమస్యలను పరిష్కరించడంలో కొంచెం ఇబ్బంది ఎదుర్కొనే అవకాశం ఉంది."
  12. [74] ^ గాండ్జ్ మరియు సాలోమన్ (1936), ది సోర్సెస్ ఆఫ్ అల్-ఖ్వారిజ్మీస్ ఆల్జీబ్రా, ఓసిరీస్ i, పేజీలు 263–77: "ఒక కోణంలో, డియోఫాంటస్‌తో పోలిస్తే ఖ్వారిజ్మీని "బీజగణిత పితామహుడి"గా పరిగణించవచ్చు, ఎందుకంటే ఖ్వారిజ్మీ బీజగణితాన్ని ప్రాథమిక రూపంలో బోధించిన తొలి వ్యక్తిగా గుర్తింపు పొందాడు, డియోఫాంటస్ మొదట సంఖ్యల సిద్ధాంతంపై దృష్టి పెట్టాడు".
  13. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .
  14. Victor J. Katz, Bill Barton (October 2007), "Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching", Educational Studies in Mathematics (Springer Netherlands) 66 (2): 185–201 [192], doi:10.1007/s10649-006-9023-7 
  15. (Boyer 1991, "The Arabic Hegemony" p. 239) "అబు'ల్ వెఫా సమర్థనీయ బీజగణిత శాస్త్రజ్ఞుడిగా మరియు త్రికోణమితి నిపుణుడిగా గుర్తింపు పొందాడు. [...] అతని వారసుడు అల్-కార్ఖీ ఈ అనువాదాన్ని స్పష్టంగా ఉపయోగించాడు, తద్వారా ఆయన డియోఫాంటస్ అరబిక్ శిష్యుడు అయ్యాడు - అయితే ఆయన డియోఫాంటస్ విశ్లేషణ ఉపయోగించలేదు! [...] ముఖ్యంగా, అల్-కార్ఖీ ax2n + bxn = c రూపంలోని సమీకరణాలకు తొలి సంఖ్యా పరిష్కారాన్ని కనుగొన్న వ్యక్తిగా గుర్తింపు పొందాడు (ధనాత్మక మూలాలు కలిగిన సమీకరణాలను మాత్రమే పరిగణలోకి తీసుకుంటే),"

సూచనలు[మార్చు]

  • డొనాల్డ్ R. హిల్, ఇస్లామిక్ సైన్స్ అండ్ ఇంజనీరింగ్ (ఎడిన్‌బర్గ్ యూనివర్శిటీ, 1994).
  • జియావుద్దీన్ సర్దార్, జెర్రీ రావెత్, మరియు బోరిన్ వాన్ లూన్, ఇంట్రడ్యూసింగ్ మాథమ్యాటిక్స్ (టోటెమ్ బుక్స్, 1999).
  • జార్జి గెవెర్గీస్ జోసఫ్, ది క్రెస్ట్ ఆఫ్ పీకాక్: నాన్-యూరోపియన్ రూట్స్ ఆఫ్ మాథమ్యాటిక్స్ (పెంగ్విన్ బుక్స్, 2000).
  • జాన్ J ఓ'కానర్ మరియు ఎడ్మండ్ F రాబర్ట్‌సన్, మాక్‌ట్యూటర్ హిస్టరీ ఆఫ్ మాథమ్యాటిక్స్ ఆర్కైవ్ (యూనివర్శిటీ ఆఫ్ సెయింట్ ఆండ్ర్యూస్, 2005).
  • I.N. హర్‌స్టెయిన్: టాపిక్స్ ఇన్ ఆల్జీబ్రా . ISBN 0-471-02371-X
  • R.B.J.T. అలెన్‌బై: రింగ్స్, ఫీల్డ్స్ అండ్ గ్రూప్స్ . ISBN 0-340-54440-6
  • L. యూలర్: ఎలిమెంట్స్ ఆఫ్ ఆల్జీబ్రా , ISBN 978-1-899618-73-6
  • ఐజాక్ అసిమోవ్ రీలమ్ ఆఫ్ ఆల్జీబ్రా (హౌగ్టన్ మిఫ్లిన్), 1961

బాహ్య లింకులు[మార్చు]

  • 4000 ఇయర్స్ ఆఫ్ ఆల్జీబ్రా, రాబిన్ విల్సన్ ప్రసంగం, గ్రెషం కాలేజ్, అక్టోబరు 17, 2007 (MP3 మరియు MP4 రూపాలతోపాటు, టెక్ట్స్ ఫైల్‌గా దిగుమతి చేసుకునేందుకు అందుబాటులో ఉంది).
"http://te.wikipedia.org/w/index.php?title=బీజగణితం&oldid=846487" నుండి వెలికితీశారు