విశ్వసనీయాంతరం

వికీపీడియా నుండి
ఇక్కడికి గెంతు: మార్గసూచీ, వెతుకు

సంఖ్యా శాస్త్రంలో, విశ్వసనీయాంతరం (CI ) అనేది జనాభా పరామితి యొక్క మధ్యంతర అంచనాలో ఒక విశేషమైన రకం. పరామితిను ఏకమూలక విలువతో అంచనా వేయటానికి బదులు, ఇచ్చిన పరామితికి ఒక అంతరంను జతచేయవచ్చు. అందుచే విశ్వసనీయాంతరం, అంచనా యొక్క నమ్మకంను సూచించడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఏవిధంగా అంతరం పరామితిని కలిగి ఉంటుందనేది విశ్వసనీయ స్థాయి లేదా విశ్వసనీయ గుణకం చేత నిర్ణయించబడుతుంది. కావాలనుకున్న విశ్వసనీయ స్థాయిని పెంచడం ద్వారా విశ్వసనీయాంతరంని విస్తరించవచ్చు.

ఒక విశ్వసనీయ అంతరం ఎల్లప్పుడూ ఒక విశేషమైన విశ్వసనీయ స్థాయి ద్వారా అర్హత పొందుతుంది, సాధారణంగా దీనిని శాతాలలో చూపిస్తారు; అందుచే "95% విశ్వసనీయ అంతరం" అని పిలవబడుతుంది. విశ్వసనీయ అంతరం యొక్క అంత్య బిందువులను విశ్వసనీయ అవధులు గా సూచిస్తారు. ఇచ్చిన సందర్భంలో ఇచ్చిన అంచనా పద్దతి కొరకు, విశ్వసనీయ స్థాయి అధికంగా ఉంటే విశ్వసనీయాంతరం విస్తారంగా ఉంటుంది.

విశ్వసనీయాంతరం యొక్క లెక్కింపుకు సాధారణంగా అంచనా పద్దతి యొక్క స్వభావ ఉపకల్పనలు కోరుతుంది – ఇది ప్రధానంగా పరామితీయ పద్దతి – ఉదాహరణకి, జనాభా యొక్క పంపిణీ కొరకు తీసుకున్న మాదిరి సామాన్యమైనదనే ఉపకల్పన మీద ఇది ఆధారపడి ఉండవచ్చు. ఇంతవరకూ, క్రింద చర్చించిన విశ్వసనీయాంతరంలు సుద్రుడ సాంఖ్యకం కాదు, అయితే మార్పులు చేయడం ద్వారా ద్రుడత్వాన్ని చేర్చవచ్చు – సుద్రుడ విశ్వసనీయాంతరంలు చూడండి.

విశ్వసనీయాంతరంలను నెయ్మాన్–పియర్సన్ (తరచుగా వాడే) సంఖ్యాశాస్త్రంలో ఉపయోగించారు; బఎసియన్ సంఖ్యాశాస్త్రంలో అట్లాంటి పాత్రను నమ్మదగిన అంతరం పోషించింది, కానీ నమ్మదగిన అంతరం మరియు విశ్వసనీయాంతరం వేర్వేరు ఉద్దేశ్యాల పునాదులను కలిగి ఉన్నాయి మరియు సామాన్యంగా అవి వేర్వేరు విలువలను తీసుకుంటాయి. ఫ్రీక్వెంటిజం మరియు బఎసియన్ సంఖ్యాశాస్త్రాల సామాన్య చర్చలో భాగంగా, ప్రత్యామ్నాయాలు మరియు విశ్లేషణలు లో చర్చించిన దాని ప్రకారం ఈ సంఖ్యాశాస్త్రంలో ఏది ఎక్కువ ఉపయోగకరం మరియు ఏది సరైనది అనేదాని మీద అసమ్మతి ఉంది.

విషయ సూచిక

Conceptual basis[మార్చు]

ఈ బార్ పట్టికలో, బార్ల యొక్క పైన అంత్యాలు పరిశీలనా మాధ్యమాలను సూచిస్తుంది మరియు రెడ్ లైన్ ఖండాలు చుట్టూ ఉన్న విశ్వసనీయాంతరంను ప్రతిబింబిస్తుంది

అంతరాల అంచనాలు బిందు అంచనాలతో విభేదించవచ్చు. కావాలనుకున్న జనాభా పరామితి యొక్క అంచనా ఒక ఏకమూలక విలువలో ఇవ్వడాన్ని బిందు అంచనా అంటారు, ఉదాహరణకి ఒక పరిమాణం యొక్క మధ్యమం ఉంటుంది. అంతర అంచనా పరామితి ఎక్కడ అంచనా వేయబడాలో ఆ అవధిని నిర్ణయిస్తుంది. విశ్వసనీయాంతరంలు సామాన్యంగా పట్టికలో లేదా రేఖాచిత్రాలలో అదే పరామితుల యొక్క బిందు అంచనాలతో, అంచనాల యొక్క నమ్మకంను అందిస్తుంది.

ఉదాహరణకి, విశ్వసనీయాంతరంను పరీక్షించిన ఫలితాలు యెంత నమ్మదగినవో వివరించడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఎన్నికల ఓటింగ్ అభిప్రాయం యొక్క స్థలంలో, ఫలితం 40% ఓటు వేయడానికి వచ్చినవారు ఒక ఖచ్చితమైన పార్టీకి ఓటు వేయాలని భావించారు అని ఉంటుంది. పరీక్షించిన తేదీ నాడు మొత్తం జనాభాలో 90% విశ్వసనీయాంతరంలో ఒకే భావం కలవారు 38% నుండి 42% ఉండవచ్చు. అదే తేదీ నుండి 95% విశ్వసనీయాంతరం లెక్కించవచ్చు, ఈ సందర్భంలో ఇది 36% నుండి 44% ఉండవచ్చు. ఇచ్చిన విశ్వసనీయ స్థాయిలో, మరియు మిగిలినవన్నీ సమానంగా ఉన్నప్పుడు, చిన్న CIతో ఉన్న ఫలితం పెద్ద CIతో ఉన్నదానికన్నా ఎక్కువ నమ్మదగినది. విశ్వసనీయాంతరం యొక్క పరిధిని లెక్కించే అతిపెద్ద అంశం అంచనా విధానంలో ఉపయోగించిన మాదిరి యొక్క పరిమాణం, ఉదాహరణకి పరీక్షలో పాల్గొన్న జనసంఖ్య.

విశ్వసనీయాంతరాలు సంఖ్యాశాస్త్ర సార్ధకమైన పరీక్షతో దగ్గర సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. చాలా సందర్భాలలో, ఒకవేళ పరామితి యొక్క బిందు అంచనా X అయ్యి, విశ్వసనీయాంతరం [a ,b ] విశ్వసనీయ స్థాయిP వద్ద ఉంటే, అంతరం బయట ఏవిలువైనా [a ,b ] X కన్నా వేరుగా సార్ధకతా స్థాయిలో ఉంటుంది α = 1 − P, ఇదేవిధమైన పంపిణీ ఉపకల్పనలలో విశ్వసనీయాంతరంను ఉత్పత్తిచేయడానికి అవి చేయబడతాయి. అదేమనగా, ఒకవేళ మనం రెండవ పరామితి యొక్క అంచనాలో a కన్నా తక్కువ లేదా b కన్నా ఎక్కువ విలువను పరీక్షించినట్లయితే, మనం శూన్య ప్రాతిపదికను తిరస్కరిస్తాం, ఇందులో ఈ పరామితి యొక్క నిజమైన విలువ X వద్ద α సార్ధకతా స్థాయిలో సమానం కాబడుతుంది; మరియు దీనికి వ్యతిరేకంగా, ఒకవేళ రెండవ పరామితి యొక్క అంచనా [a ,b ] మధ్య అంతరంలో ఉంది ఉంటే, మనం పరామితి X సమానం శూన్య ప్రాతిపదికను తిరస్కరించలేము. దీని ఫలితంగా, రెండు పరామితుల యొక్క అంచనాల (ఉదాహరణకి, వస్తువుల యొక్క స్వతంత్ర సమూహాలలో చలరాశి యొక్క మధ్యమ విలువలు) విశ్వసనీయాంతరాలు ఇవ్వబడిన P విలువ వద్ద ఒకదానిమీద ఒకటి విస్తరించవు, సంబంధిత విలువ α వద్ద రెండువిలువలు స్పష్టంగా వేరుగా ఉంటాయనేది అర్ధమయ్యింది. అయినప్పటికీ, ఇది ఖచ్చితంగా నిజమైనది కాదు ఎందుకంటే రెండు మధ్యమాల వ్యత్యాసం యొక్క సార్ధకత ఆ వ్యత్యాసం యొక్క మాదిరి పంపిణీ మీద ఆధారపడుతుంది, అయితే విశ్వసనీయాంతరాలు రెండు సంపూర్ణ విలువల యొక్క మాదిరి పంపిణీతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి.[1][2]

విశ్వసనీయ ప్రదేశాలు విశ్వసనీయాంతరం ఉద్దేశ్యాన్ని అనేక పరిమాణాలతో పనిచేయటానికి సామాన్యీకరణం చేస్తారు. అట్లాంటి ప్రదేశాలు అంచనా తప్పులను సూచించడమే కాకుండా (ఉదాహరణకి) ఈ సందర్భంలో ఒకవేళ అంచనా యొక్క ఒక పరిమాణం నమ్మదగినది కాకపొతే రెండవది కూడా నమ్మదగినది కాకపోవచ్చు అనేది వెల్లడి చేస్తుంది. విశ్వసనీయ బ్యాండ్లు కూడా చూడండి.

ఉపయుక్తరీత్యా అభ్యాసంలో, విశ్వసనీయాంతరాలు ప్రత్యేకంగా 95% విశ్వసనీయ స్థాయి వద్ద పేర్కొనబడ్డాయి.[3] అయిననూ, రేఖాచిత్రంలో చూపించినప్పుడు, విశ్వసనీయాంతరాలు అనేక విశ్వసనీయ స్థాయిలలో చూపించవచ్చు, ఉదాహరణకి 50%, 95% మరియు 99%.

సంఖ్యాశాస్త్ర సిద్దాంతం[మార్చు]

నిర్వచనం[మార్చు]

విశ్వసనీయాంతరాలు యాదృచ్చిక అంతరాల లాగా[మార్చు]

విశ్వసనీయాంతరాలు ఇచ్చిన దత్తాంశసమితి యొక్క ఆధారం మీద నిర్మించబడతాయి: x  దత్తాంశసమితిలోని పరిశీలనా సమితిని సూచిస్తుంది, మరియు అదే జనాభా నుండి పరిశీలించిన ఫలితాలను భావించి X ను ఉపయోగిస్తారు, ఇక్కడ X ను యాదృచ్చిక చలనరాశిగా భావిస్తారు, దీని పరిశీలించిన ఉత్పాదితం X  = x గా ఉంటుంది. ఒక విశ్వసనీయాంతరంను ఒక జంట విధులు u (.) మరియు v (.) ద్వారా విశదపరచవచ్చు మరియు ఇచ్చిన దత్తాంశసమితి విశ్వసనీయాంతరం అంతరంగా నిర్వచిస్తారు(u (x ), v (x )). విశ్వసనీయాంతరం యొక్క నిర్వచనాన్ని ముగించటానికి, CI అందించే అంతర అంచనా పరిమాణం యొక్క స్పష్టమైన అవగాహన అవసరం అవుతుంది. ఒకవేళ ఈ పరిమాణం w . నియమాల యొక్క గుణాలు u (.) మరియు v (.) ఉంటాయి అవి అంతరం (u (x ) చేస్తుంది, w కు ఉన్న విశ్వసనీయాంతరం దగ్గరగా v (x )) ఉంటుంది, (u (X ) చేత ఇవ్వబడిన యాదృచ్చిక అంతరాల యొక్క లక్షణాలతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది, v (X )): ఇవి యాదృచ్చిక చలనరాశుల లాగా అంతిమ-బిందువులను తీసుకోబడతాయి. ఈ లక్షణంను ఆచ్చాదనా సంభావ్యతా లేదా సంభావ్యతా c అంటారు, ఇందులో యాదృచ్చిక అంతరంలో w ఉంటుంది,

c=\Pr(u(X)

ఇక్కడ అంతిమ బిందువులు U  = u (X ) మరియు V  = v (X ) సాంఖ్యాకాలు (i.e., గమనించదగ్గ యాదృచ్చిక చలనరాశులు) వీటిని దత్తాంశసమితి లోని విలువల నుండి తీసుకోబడినాయి. యాదృచ్చిక అంతరం (UV ).

తీర్మానం కొరకు విశ్వసనీయాంతరాలు[మార్చు]

పైన పేర్కొన్నదానికి వీలైన సాధనాలను సంఖ్యాశాస్త్ర తీర్మానంకు అందివ్వడానికి, ఇంకా పురోగమించాల్సిన అవసరం ఉంది : అంచనావేయబడ్డ పరిమాణం మరియు సంభావ్యతా పంపిణీ యొక్క ఉత్పాదితం X మధ్య సంబంధం ఉంటుంది. ఒకవేళ ఈ సంభావ్యతా పంపిణీను గమనించలేని పరామితి θ తో ప్రత్యేకించబడుతుంది, అది అంచనా వేయవలసిన పరిమాణం ఉంటుంది, మరియు ఇతర గమనించలేని పరామితులు φ అత్యవసర అభీష్టంను కలిగి ఉండవు. ఈ ఇతర పరిణామాలు φ లో అత్యవర అభీష్టం లేనిదాన్ని చికాకు కలిగించే పరామితులు అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే సంఖ్యాశాస్త్ర సిద్దాంతం ఇంకనూ దీనితో పనిచేయటానికి మార్గంను కనిపెట్టవలసిన అవసరం ఉంది.

θ కొరకు 0 మరియు 1 అంతరం ఉన్న α ఏసంఖ్యకైనా విశ్వసనీయాంతరం యొక్క నిర్వచనం

 (u(X), v(X)) \,

లో

 {\Pr}_{\theta,\varphi}(u(X)

మరియు u (X ) ఇంకా v (X ) గమనించదగ్గ యాదృచ్చిక చలనరాశులు, అనగా u (X )మరియు v (X ) విలువలు తెలుసుకోవటానికి θ ,φ గమనించలేని పరిమాణాల యొక్క విలువ తెలుసుకోవాల్సిన అవసరంలేదు.

సంఖ్య 1 − α (కొన్నిసార్లు 100%శాతంగా పేర్కొన్నారు·(1 − α )) అనేది విశ్వసనీయ స్థాయి , కొన్నిసార్లు దీనిని విశ్వసనీయ గుణకం అని పిలుస్తారు. చాలా ప్రామాణిక పుస్తకాలు ఈ సంప్రదాయాన్ని అవలంబిస్తున్నాయి, ఇక్కడ α చిన్న సంఖ్య అవుతుంది. ఇక్కడ Prθ ,φ సంభావ్యతను సూచించడానికి ఉపయోగిస్తారు, ఆ సమయంలో (θ , φ ) చేత కాబడిన పంపిణీ ప్రత్యేకీకరణ యాదృచ్చిక చలనరాశి X కలిగి ఉంటుంది. ఈ నిర్ధారణలో ఒక ముఖ్యమైన భాగమేమంటే యాదృచ్చిక అంతరం (UV ) తెలియని విలువ θ ను అధిక సంభావ్యతతో θ యొక్క వాస్తవ విలువ యెంత ఉన్నప్పటికీ ఆచ్చాదన చేస్తుంది.

ఇక్కడ Prθ ,φ సవిస్తరంగా పరామితి చేసిన పంపిణీల సమితులను సూచించాల్సిన అవసరంలేదు, అయిననూ ఇది తరచుగా చేస్తుంది. యాదృచ్చిక చలనరాశి X అభిప్రాయపరంగా ఇతర x యొక్క యదార్దాలతో అదే జనాభా నుండి లేదా అదేవిధమైన నమ్మకంతో అనుగుణంగా ఉంటే, పరామితులు (θφ ) మనం ఇతర నమ్మకం యొక్క శైలులను పరిగణలోకి తీసుకోవాలని సూచిస్తాయి, ఇందులో X యొక్క పంపిణీ విభిన్న లక్షణాలను కలిగి ఉండవచ్చు.

యాదృచ్చిక ఉత్పాదితం కొరకు అంతరాలు[మార్చు]

విశ్వసనీయాంతరాలు యాదృచ్చిక పరిమాణాల కొరకు అలానే పైన చెప్పినట్లు స్థిర పరిమాణాలకు నిర్వచించవచ్చు. భవిష్య అంతరం చూడండి. దీనికొరకు, అధిక ఏకమూల్య యాదృచ్చిక చలనరాశి Y గా భావించండి, ఇది సంఖ్యాశాస్త్రపరంగా X మీద ఆధారపడవచ్చు లేదా పడపోకపోవచ్చు. అంతరం నిర్మించడానికి నియమం (u (x ), v (x )) ఇంకనూ గమనించాల్సిన y యొక్క Y కు విశ్వసనీయాంతరంను అందిస్తుంది ఒకవేళ

{\Pr}_{\theta,\varphi}(u(X)

ఇక్కడ Prθ ,φ అనేది యాదృచ్చిక చలనరాశులు (X , Y ) పరామితులు (θ , φ ) చేత వర్గీకరణ చేయబడినప్పుడు ఉమ్మడి పంపిణీని సూచించటానికి ఉపయోగిస్తారు.

ఉజ్జాయింపు విశ్వసనీయాంతరాలు[మార్చు]

ప్రామాణికంకాని ఉపయోగాలకు కొన్నిసార్లు విశ్వసనీయాంతరాలు నిర్మించడానికి వాటికున్న ఖచ్చితమైన లక్షణాలకు నియమాలను వెతకటానికి వీలుకాదు. కానీ అభ్యాసంలో అవసరమైన అంతరాలను కనిపెట్టవచ్చును. ఆచ్చాదనా సంభావ్యత c (θφ ) ఒక యాద్రుచ్చికా అంతరం కొరకు నిర్వచనాన్ని ఇలా చేయవచ్చు

{\Pr}_{\theta,\phi}(u(X)

మరియు అంతరం నిర్మించడానికి నియమం విశ్వసనీయాంతరం అందించడం లాగా స్వీకరించవచ్చు ఒకవేళ

c(\theta,\phi)\approxeq 1-\alpha\text{ for all }(\theta,\phi)\,

ఆమోదించదగిన ఉజ్జాయింపు స్థాయి ఉంటే.

బఎసియన్ అంతరం అంచనాలతో సరిపోల్చడం[మార్చు]

బఎసియన్ అంతరం అంచనాను నమ్మదగిన అంతరంగా పిలుస్తారు. పైన చెప్పిన సంకేతంను ఎక్కువగా ఉపయోగిస్తూ, θ యొక్క తెలియని నిజమైన విలువ కొరకు నమ్మదగిన అంతరం యొక్క నిర్వచనం, ఇచ్చిన α [4] కొరకు,

\Pr(u(x)

ఇక్కడ Θ అనేది θ యొక్క తెలియని విలువను యాదృచ్చిక చలనరాశిగా భావించబడుతుందని చెప్పబడుతుంది. రెండు రకాల అంతరాల యొక్క నిర్వచనాలను క్రింద విధంగా సరిపోల్చవచ్చు.

  • విశ్వసనీయాంతరం యొక్క నిర్వచనం ఇచ్చిన (θ φ ) కొరకు X యొక్క పంపిణీ నుండి సంభావ్యతలను లెక్కించడంలో నిమగ్నమైఉంటుంది, (లేదా ఈ విలువల మీద పాక్షికంగా ఉంటుంది) మరియు ఈ పరిస్థితి (θφ ) యొక్క అన్ని విలువలను ఉంచుకోవాల్సిన అవసరం ఉంటుంది.
  • నమ్మదగిన అంతరం యొక్క నిర్వచనం X = x యొక్క పరిశీలించిన విలువల మీద Θ యొక్క పంపిణీ నుండి లెక్కించిన సంభావ్యతలను మరియు Φ యొక్క విలువల మీద ఉపాంతీకరణ (లేదా మాధ్యమీకరణ) తీసుకుంటుంది, ఇక్కడ చివరి పరిమాణం యాదృచ్చిక చలనరాశితో సంబంధం ఉండి φ లో చిరాకుకలిగించే పరామితుల గురించి అవగాహన కలిగిఉండదు.

పైన పేర్కొన్న చిరాకుకలిగించే పరామితులు యొక్క చికిత్సను తరచుగా విశ్వసనీయత మరియు నమ్మకం అంతరాల చర్చలలో తొలగించబడింది కానీ రెండు కేసులలో వేరుగా గుర్తించబడింది.

కొన్ని సాధారణ ప్రామాణిక సందర్భాలలో, ఈ అంతరాలు విశ్వసనీయ మరియు నమ్మదగిన అంతరాలను ఒకేరకమైన దత్తాంశసమితి నుండి ఉత్పత్తి అయ్యాయి. ఒకవేళ మధ్యస్తమైన లేదా బలమైన ముందస్తు సమాచారం బఎసియన్ విశ్లేషణలో పొందుపరిస్తే అవి ఎప్పుడూ చాలా వ్యత్యాసంగా ఉంటాయి.

కావాల్సిన లక్షణాలు[మార్చు]

ప్రామాణిక సంఖ్యాశాస్త్ర పద్దతులను అమలుచేసినప్పుడు, విశ్వసనీయాంతరాలను నిర్మించడానికి ప్రామాణిక మార్గాలు తరచుగా ఉంటాయి. కావాల్సిన లక్షణాలను తీర్చటానికి వీటిని కనిపెట్టబడింది, ఇవి అవలంబిస్తున్న పద్దతి నిజమైనడనే ఊహమీద ఆధారపడి పనిచేస్తుంది. ఈ కావాల్సిన లక్షణాలు ఇలా వర్ణించవచ్చు: సమంజసత, అభిలషనీయత మరియు నిశ్చరత. ఇందులో "సమంజసత" చాలా ముఖ్యమైనది, దీనిని చాలా దగ్గరగా "అభిలషనీయత" అనుసరిస్తోంది. "నిశ్చరత" అనేది అంతరం నిర్మాణం కొరకు నియమంలా కాకుండా విశ్వసనీయాంతరం యొక్క వ్యుత్పన పద్దతి యొక్క లక్షణంగా భావించబడుతుంది. ప్రామాణికం కాని ఉపయోగాలలో, ఇదేవిధమైన కావాల్సిన లక్షణాలను కోరవచ్చు.

  • సమంజసత. దీనర్ధం పొందవలసిన విశ్వసనీయాంతరం యొక్క కనీస ఆచ్చాదన సంభావ్యత (విశ్వసనీయ స్థాయి), ఖచ్చితంగా లేదా మంచి ఉజాయింపుతో తీసుకోబడుతుంది.
  • అభిలషనీయత. దీనర్ధం ఏమంటే విశ్వసనీయాంతరం నిర్మాణం కొరకు దత్తాంశసమితిలోని సమాచారాన్ని ఎంతవరకు ఉపయోగించగలదో అంతవరకూ ఉపయోగించబడుతుంది. T జ్ఞాపకం ఉంచుకోవాల్సిన విషయం, దత్తాంశసమితి యొక్క సగం సమాచారం వాడకపోయినప్పటికీ, సమంజసమైన విశ్వసనీయాంతరంను కనిపెట్టవచ్చు. నిశ్చరతను అంతరం యొక్క పొడవు ద్వారా పొందే ఒకమార్గం, అందుచే విశ్వసనీయాంతరం నిర్మాణం కొరకు నియమం ముఖ్యంగా అంతరాల వెడల్పులు చిన్నవిగా ఉన్నవాటిలో బాగా చెప్పబడుతుంది.
  • నిశ్చరత. చాలా ఉపయోగాలలో అంచనావేయబడిన పరిమాణంను ఇప్పటిదాకా ఖచ్చితంగా నిర్వచించలేదు. ఉదాహరణకి, జనాభాలో మధ్యగత ఆదాయం యొక్క అంచనా ఫలితంను ఒక పరీక్షలో ఇవ్వవచ్చు, కానీ మధ్యగత ఆదాయం యొక్క సంవర్గమాన అంచనాను సమానంగా భావించవచ్చు, ఎందుకంటే ఇది రేఖాచిత్ర ఫలితాలను చూపించడం కొరకు ఉన్న సాధారణ స్కేలు. మధ్యగత ఆదాయం కొరకు విశ్వసనీయాంతర నిర్మాణం కొరకు ఉపయోగించిన పద్దతి మధ్యగత ఆదాయం యొక్క సంవర్గమానం కొరకు విశ్వసనీయాంతర నిర్మాణంకు అమలుచేసినప్పుడు సమానమైన ఫలితాలను ఇస్తుంది: ముఖ్యంగా తర్వాత అంతరం యొక్క అంతిమాల విలువలు ముందు అంతరం యొక్క అంతిమాల విలువల యొక్క సంవర్గమానాలు.

వ్యుత్పత్తి యొక్క పద్దతులు[మార్చు]

ప్రామాణికం కాని అమలులకు, విశ్వసనీయాంతరాల నిర్మాణం కొరకు నియమం పొందడానికి అనేక మార్గాలను తీసుకోవచ్చును. ప్రామాణిక పద్ధతులకు స్థాపించబడిన నియమాలు సమాధానం ఈ అనేక మార్గాల ద్వారా చెప్పబడతాయి లేదా వివరించబడతాయి. ముఖ్యంగా విశ్వసనీయాంతరాలు నిర్మించడానికి నియమం చాలా దగ్గరగా తీసుకోబడిన పరిమాణం యొక్క బిందు అంచన కనుగొనే ప్రత్యేక మార్గంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.

గణాంక శాస్త్రం (సంఖ్యా శాస్త్రము)
ఇది చాలా దగ్గరగా అంచనా కొరకు ఘాతికల పద్దతితో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. ఉత్పన్నమైన ఒక చిన్న ఉదాహరణ ప్రకారం అంచనా వేయాల్సిన పరిమాణం మధ్యమ విలువ, ఇందులో సహజ అంచనా అనేది మాదిరి మధ్యమం అవుతుంది. సాధారణ వాదనలలో మాదిరి చలనత్వంను మాదిరి మధ్యమం యొక్క చలనత్వం అంచనా వేయడానికి ఉపయోగిస్తారు. నిజమైన మధ్యమం కొరకు స్వాభావిక విశ్వసనీయాంతరం మాదిరి మధ్యమం మీద కేంద్రీకృతమై నిర్మించవచ్చును, ఇందులో వెడల్పు మాదిరి చలనత్వం యొక్క చతురస్ర వర్గమూలం యొక్క గుణిజంగా ఉంటుంది.
నమ్మదగిన సిద్దాంతం
ఇక్కడ అంచనాలు గరిష్ట నమ్మదగిన సూత్రంను ఉపయోగించి నిర్మిస్తాయి, దీని కొరకు సిద్దాంతం అంచనాల కొరకు రెండు రకాలుగా విశ్వసనీయాంతరాలను నిర్మించడానికి మార్గాలను లేదా విశ్వసనీయ ప్రాంతాలను అందిస్తుంది.
అంచనా సమీకరణ
అంచనా విధానం ఇక్కడ ఘాతికాల పద్దతి యొక్క సామాన్యీకరణకు మరియు గరిష్ట నమ్మదగిన విధానం యొక్క సామాన్యీకరణగా భావించబడింది. ఇక్కడ గరిష్ట నమ్మదగిన సిద్దాంతం యొక్క ఫలితాల సంబంధిత సామాన్యీకరణలు అంచనావేయబడే సమీకరణాలు నుండి పొందబడిన అంచనాల మీద ఆధారబడి విశ్వసనీయాంతరాలను అనుమతిస్తాయి.
ఆవశ్యక పరీక్ష ద్వారా
ఒకవేళ ఆవశ్యక పరీక్షలు సాధారణ విలువల యొక్క పరామితులకు లభ్యమయితే, విశ్వసనీయాంతరాలు/ప్రదేశాలు నిర్మించవచ్చు, 100p% విశ్వసనీయ ప్రదేశాలలో మొత్తం ఆ బిందువులన్నీ చేర్చబడతాయి, ఇందులో శూన్య ప్రాతిపదిక యొక్క ఆవశ్యక పరీక్షలో నిజమైన విలువ ఆవశ్యక స్థాయిలో(1-p) తిరస్కరించబడని విలువగా ఉంటుంది .

ఉదాహరణలు:[మార్చు]

ప్రయోగాత్మక ఉదాహరణ[మార్చు]

Margarinefilling.png

ఒక మెషీను కప్పులను మార్గరైన్తో నింపుతుంది, ఇది సరిచేసుకొని ప్రతి కప్పులో 250 g మార్గరైన్ వేసేటట్లు చేస్తుంది. మశీను ఖచ్చితంగా ప్రతి కప్పులో 250 గ్రా నింపలేదు కాబట్టి, కప్పులలో ఉన్న పదార్ధం కొంత వ్యత్యాసం చూపిస్తుంది, మరియు దీనిని యాదృచ్చిక చలరాశి X భావించబడుతుంది. ఈ వ్యత్యాసం కావాల్సిన సగటు 250గ్రా చుట్టూ సాధారణంగా పంపిణీ 2.5గ్రా యొక్క ప్రామాణిక విచలనం చేయబడినట్లు భావించబడుతుంది. మెషీను సరిగ్గా కొలవబడినదా అని చూడడానికి, n  = 25 కప్పుల మగరైన్ యాదృచ్చికంగా తీసుకొని బరువు చూడబడింది. మగరైన్ బరువులు X 1, ..., X 25, ఇది యాదృచ్చిక మాదిరి X నుండి తీసుకోబడింది.

ఆకాంక్ష μ యొక్క చిహ్నం పొందడానికి, అంచనా ఇవ్వడానికి ఇది సరిపోతుంది. సరిపోయే అంచనాదారుడు మాదిరి మధ్యమం:

\hat \mu=\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.

మాదిరి వాస్తవ బరువులను చూపిస్తుంది x 1, ..., x 25, మధ్యమంతో:

\bar x=\frac {1}{25} \sum_{i=1}^{25} x_i = 250.2\,\text{grams}.

ఒకవేళ మనం ఇంకొక 25 కప్పుల మాదిరి తీసుకుంటే, మనం చాలా కనుగొనే విలువలు 250.4 లేదా 251.1 గ్రాంలుగా సులభంగా ఊహించవచ్చు. 280 గ్రాంల యొక్క మాదిరి మధ్యమ విలువ చాలా అసాధారణంగా ఉన్నప్పటికీ కప్పుల యొక్క మధ్యమ పదార్ధం దాదాపుగా 250g దగ్గర ఉంటుంది. మాదిరి మధ్యమం యొక్క గమనించిన విలువ 250.2 చుట్టూ పూర్తి అంతరం ఉంది, ఒకవేళ పూర్తి జనాభా మధ్యమం వాస్తవంగా ఈ పరిధిలో విలువను తీసుకుంటే, గమనించిన దత్తాంశం ప్రత్యేకంగా అసాధారణం అని భావించబడదు. μ పరామితి కొరకు అట్లాంటి అంతరంను విశ్వసనీయాంతరంగా పిలుస్తారు. అట్లాంటి అంతరంను మనం ఏవిధంగా లెక్కిస్తాము? అంతరం యొక్క అంత్య బిందువులు మాదిరి నుండి లెక్కించబడతాయి, అందుచే అవి సంఖ్యాశాస్త్రాలు, మాదిరి విధులు X 1, ..., X 25 మరియు వాటికవే యాదృచ్చిక చలరాశులుగా ఉన్నాయి.

మన కేసులో మనం అంత్య బిందువులను సాధారణ పంపిణీ నుండి మాదిరి మధ్యమం సాధారణంగా పంపిణీ కాబడిందని భావించబడి కొంత ఆకాంక్షతో μ నిర్ణయించవచ్చుమూస:Overbar, కానీ ప్రామాణిక తప్పు σ /√n  = 0.5 (గ్రాంలు). ప్రామానీకరణం ద్వారా మనం ఒక యాదృచ్చిక చలరాశి పొందుతాం

Z = \frac {\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} =\frac {\bar X-\mu}{0.5}

అంచనావేయాల్సిన పరామితి μ మీద ఆధారపడి ఉంటుంది, కానీ ప్రామాణిక సాధారణ పంపిణీ పరామితి μ ను కలిగి ఉంటుంది. అందుచే సంఖ్యలను కనుగొనుట సాధ్యమవుతుంది −z మరియు z , μ నుంచి స్వతంత్రంగా ఉంది, ఇక్కడ Z సంభావ్యత 1 − α మధ్య ఉంటుంది, మనం యెంత విశ్వసనీయతతో ఉండాలనుకుంటున్నాం అనేదానికి కొలమానం. మనం 1 − α = 0.95 తీసుకుందాం. మనకిప్పుడు:

P(-z\le Z\le z) = 1-\alpha = 0.95. \,

z సంఖ్య cumulative పంపిణీ విధి:

 \begin{align} \Phi(z) & = P(Z \le z) = 1 - \tfrac{\alpha}2 = 0.975,\\[6pt] z & = \Phi^{-1}(\Phi(z)) = \Phi^{-1}(0.975) = 1.96, \end{align}

మరియు మనం పొందుతాం:

 \begin{align} 0.95 & = 1-\alpha=P(-z \le Z \le z)=P \left(-1.96 \le \frac {\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le 1.96 \right) \\[6pt] & = P \left( \bar X - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar X + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \\[6pt] & = P\left(\bar X - 1.96 \times 0.5 \le \mu \le \bar X + 1.96 \times 0.5\right) \\[6pt] & = P \left( \bar X - 0.98 \le \mu \le \bar X + 0.98 \right). \end{align}

దీనిని ఈ విధంగా అన్వయించవచ్చు: సంభావ్యత 0.95తో మనం విశ్వసనీయాంతరంను కనుగొనవచ్చును, ఇందులో మనం సంభావ్యతా పంపిణీ అంత్య బిందువుల మధ్య పరామితి μ ని కలవవచ్చు.

 \bar X - 0{.}98 \,

మరియు

 \bar X + 0.98. \,

దీనర్ధం పరామితి μ ను లెక్కించిన అంతరంలో కలవటానికి 0.95 సంభావ్యత ఉందనికాదు. ప్రతిసారి ఈ లెక్కింపులు పునరావృతం చేసినప్పుడు, మాదిరి యొక్క మధ్యమం కొరకు వేరొక విలువ ఉంటుందిమూస:Overbar. 95% కేసులలో μ , ఈ మధ్యమం నుండి లెక్కించిన అంత్య బిందువుల మధ్య ఉంటుంది, కానీ 5% కేసులలో ఇలా జరగదు. వాస్తవంగా విశ్వసనీయాంతరంను కొలవబడిన బరువులను సూత్రంలో వేసుకొని లెక్కించబడుతుంది. మన 0.95 విశ్వసనీయాంతరం:

(\bar x - 0.98;\bar x + 0.98) = (250.2 - 0.98; 250.2 + 0.98) = (249.22; 251.18).\,
శీర్శాక్షం లు ఊర్ధ్వరేఖ ఖండములు μ కొరకు విశ్వసనీయాంతరం యొక్క 50 పరిపూర్ణ విలువలు ప్రాతినిధ్యం వహిస్తాయి.

μ యొక్క కావాల్సిన విలువ 250 వచ్చిన విశ్వసనీయాంతరంలో ఉంటుంది, మెషీను తప్పుగా కొలమానం చేసింది అనడానికి ఏవిధమైన కారణంలేదు.

లెక్కించిన అంతరాలకు స్థిర అంత్య బిందువులు ఉంటాయి, వాటి మధ్య μ ఉండవచ్చు (లేదా లేకపోవచ్చు). అందుచే ఈ సంఘటనలో సంభావ్యత 0 లేదా 1 కలిగి ఉంది. మనం చెప్పలేము : "సంభావ్యత (1 − α)ఉంటే పరామితి μ విశ్వసనీయాంతరంలో ఉంటుంది." మనం 100(1 − α) %లో μ కేసులలో పునారావృతంను లెక్కించిన అంతరంలో లెక్కించవచ్చు. 100α % కేసులలో ఇది ఉండదు. మరియు దురదృష్టవశాత్తు ఇది ఏ సందర్శంలో సంభవిస్తుందో మనం చెప్పలేము. అందుకే మనం చెప్తాం: "విశ్వసనీయాంతరం 100(1 − α) %తో, μ  విశ్వసనీయాంతరంలో ఉంటుంది."

కుడివైపున ఉన్న చిత్రంలో ఇచ్చిన జనాభా మధ్యమం μ కు విశ్వసనీయాంతరం యొక్క 50 పరిపూర్ణాలను చూపిస్తుంది. ఒకవేళ మనం యాదృచ్చికంగా ఒక పరిపూర్ణంను తీసుకుంటే, సంభావ్యత 95% ఉంటుంది, మనం పరామితి ఉన్న అంతరంను ఎన్నుకోవడంతో ముగిస్తాం; అయినప్పటికీ మనం దురదృష్టంగా తప్పుది తీసుకోవచ్చు. మనకి ఎప్పటికీ తెలీదు; మనం మన అంతరంతో ఇరుక్కుపోయి ఉన్నాం.

సిద్దాంతపరమైన ఉదాహరణ[మార్చు]

ఒకవేళ జనాభా సాధారణ పంపిణీ (పరామితులు) మధ్యమం μ మరియు చలరాశి σ2 స్వతంత్ర మాదిరులు X 1, ..., X n గా ఉన్నాయి. ఇప్పుడు

\overline{X}=(X_1+\cdots+X_n)/n\,,
S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2.

బాగా తెలిసిన సంఖ్యాశాస్త్రం, మాదిరి మధ్యమం మరియు మాదిరి చలనరాశి గా భావించుము.

అప్పుడు

T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}

విద్యార్ధి యొక్క t-పంపిణీ n − 1 స్వేచ్చాకోణంతో ఉంటుంది. T యొక్క పంపిణీ గమనించలేని పరామితులు μ మరియు σ 2 మీద ఆధారపడవు; అనగా, ఇది ముఖ్య పరిమాణం. ఒకవేళ మనం μ కొరకు 90% విశ్వసనీయాంతరం లెక్కించాలనుకున్నాం. తర్వాత, c ను ఈ పంపిణీ యొక్క 95వ శతాంశకంగా సూచిస్తారు.

పార్స్ చెయ్యలేకపోయాం (సింటాక్సు లోపం): \Pr\left(-c


(సూచన: "95వ" మరియు "0.9" ముందున్న సమాసంలో సరి అయినవి. Tc కన్నా తక్కువ ఉండటానికి 5% అవకాశం ఉంది మరియు +c కన్నా పెద్దగా ఉండటానికి 5% అవకాశం ఉంది. అందుచే, −c మరియు +c మధ్య T ఉండటానికి సంభావ్యత 90% ఉంది)

ఫలితంగా

పార్స్ చెయ్యలేకపోయాం (సింటాక్సు లోపం): \Pr\left(\overline{X} - \frac{cS}{\sqrt{n}}


మరియు మనకు μ కొరకు సిద్దాంతపరమైన(యాదృచ్చిక సంభావ్యతా పంపిణీ) 90% విశ్వసనీయాంతరం ఉంటుంది.

మాదిరిని గమనించిన తర్వాత మనం మూస:Overbarమూస:Overbar మరియు s కొరకు S విలువలను కనుగొంటాం, దీనిని నుండి మనం విశ్వసనీయాంతరంను లెక్కిస్తాం

 \left[ \overline{x} - \frac{cs}{\sqrt{n}}, \overline{x} + \frac{cs}{\sqrt{n}} \right], \,

ఈ అంతరం స్థిర సంఖ్యలను అంత్య బిందువులుగా కలిగి ఉంటుంది, ఇందులో ఖచ్చితమైన సంభావ్యత μ కలిగి ఉందని ఇంకమీదట చెప్పలేము. ఇంకా μ ఈ అంతరంలో ఉందని లేదా లేదని చెప్పలేము.

పరికల్పనా పరీక్షతో సంబంధం[మార్చు]

విశ్వసనీయాతరాల యొక్క ఊహల యొక్క సూత్రాలు మరియు సంఖ్యాశాస్త్ర పరికల్పనా పరీక్ష ప్రత్యేకమైనవి, కొన్ని భావాలలో సంబంధం కలిగి ఉన్నాయి మరియు కొన్నింటిలో కొంతవరకు ఆదర పూర్వకంగా ఇచ్చేవి. అయితే అన్ని విశ్వసనీయాంతరాలు ఈ పద్దతిలో నిర్మించబడవు, విశ్వసనీయాంతరం నిర్మించడానికి ఒక సాధారణ విధానంలో అన్ని θ0విలువలు కలిగిఉన్న 100(1−α)% విశ్వసనీయాంతరంను నిర్వచించి, దాని కొరకు పరికల్పన పరీక్ష θ=θ0ను 100α% యొక్క ప్రత్యేకస్థాయి వద్ద తిరస్కరించబడదు. అట్లాంటి విధానం ఎల్లప్పుడూ లభ్యమవ్వాడు ఎందుకంటే సరిపోయే సార్ధకత పరీక్ష యొక్క ప్రయోగాత్మక లభ్యతను ఇది ముందుగానే ఊహిస్తుంది. అందుకని సార్ధకత పరీక్షకు కావాల్సిన ఏ ఉద్దేశ్యమైన విశ్వసనీయాంతరాలకు కొనసాగుతుంది.

విశ్వసనీయాంతరంలో ఉన్న పరామితుల విలువలు పరికల్పనా పరీక్షలో తిరస్కరించబడని విలువలతో సమానంగా ఉన్నప్పుడు సాధారణ విషయమార్పిడి సులభతరం అవుతుంది, కానీ ఇది చాలా ప్రమాదకరం. చాలా సందర్భాలలో సూచించిన విశ్వసనీయాంతరాలు ఇంచుమించుగా సరైనవి, ఇంకా వీటిని "ప్రామాణిక తప్పు నుండి రెండింతలు కూడి లేదా తీసివేసి" పొందుతారు, మరియు సమాచార మార్పిడి పరికల్పనా పరీక్ష కొరకు దీని సూచనలు సాధారణంగా తెలియవు.

అర్ధం మరియు అన్వయం[మార్చు]

తరచుగా వాడే పద్దతుల వాడుకదారుల కొరకు, విశ్వసనీయాంతరం యొక్క వివిధ అన్వయింపులు ఇవ్వబడినాయి.

  • మాదిరుల రూపంలో విశ్వసనీయాంతరంను ప్రదర్శిస్తారు (లేదా పునరావృత మాదిరులు): "ఈ విధానంను బహు మాదిరుల మీద పునరావృతం చేయబడుతుంది, లెక్కించిన విశ్వసనీయాంతరం (ఇది ప్రతి మాదిరి కొరకు మారుతుంది) నిజమైన పరామితి 90% సమయాన్ని ఆవరించి ఉంటుంది." [5] అదే సమూహం నుండి పునరావృతమయ్యే మాదిరి కానవసరం లేదు, కేవలం పునరావృత మాదిరి మాత్రమే ఉండాలి[6].
  • విశ్వసనీయాంతరం యొక్క వివరణ ఇలా ఉండవచ్చు: "విశ్వసనీయాంతరం సమూహ పరామితి కొరకు విలువలకు దర్పణంగా ఉంటుంది, ఇందులో పరామితి యొక్క మరియు పరిశీలించిన అంచనా యొక్క వ్యత్యాసం 10% స్థాయి వద్ద "[7] సంఖ్యాశాస్త్రపరంగా స్పష్టంగా ఉంటుంది. నిజానికి, ఇది ఒక ఖచ్చితమైన విధానంకు సంబంధం కలిగి ఉంటుంది, ఇందులో విశ్వసనీయాంతరం నిర్మించవచ్చు.
  • విశ్వసనీయాంతరంతో సంబంధం ఉన్న సంభావ్యత ప్రయోగ ముందు దృష్టిలో భావించవచ్చు, ఇదే సందర్భంలో యాదృచ్చిక కేటాయింపు కొరకు వాదనల యొక్క కార్యాలు వస్తువులను అధ్యయనం చేయటానికి చేస్తారు. ఇక్కడ ప్రయోగం చేసేవారు విశ్వసనీయాంతరం లెక్కించటానికి మార్గాన్ని ఏర్పరుస్తుంది, వారు వాస్తవమైన ప్రయోగం చేసేముందు, వారు ముగింపు చేసే అంతరం లెక్కింపు యొక్క ఖచ్చితమైన అవకాశం నిజమైన ఆచ్చాదన కలిగి ఉంటుంది కానీ తెలియని విలువ కలిగి ఉంటుంది.[8] ఇది పైన ఉన్న "పునరావృత మాదిరి" అన్వయింపులకు సమానంగా ఉంటుంది, ఇది పరికల్పనా పునరావృతాల మీద ఆధారపడటం మినహాయింపుగా ఉంటుంది, అర్ధవంతమైన భావంలో పునరావృతం కాకపోవచ్చు. నేమన్ నిర్మాణం చూడండి.

పైవాటి ప్రతిదానిలో, ఈ క్రిందది అమలవుతుంది: ఒకవేళ పరామితి యొక్క నిజమైన విలువ 90% విశ్వసనీయాంతరం బయట ఒకసారి లెక్కించబడుతుంది, తర్వాత ఈ సంఘటనలో అవకాశం ద్వారా సంభవించే 10% (లేదా తక్కువ) సంభావ్యత ఉంటుంది.

"విశ్వసనీయత" పదం యొక్క అర్ధం[మార్చు]

"విశ్వసనీయత" అనే పదం యొక్క సాధారణ వాడుక అర్ధం మరియు సంఖ్యాశాస్త్ర వాడుక మధ్య వ్యత్యాసం, ఇది తరచుగా అజ్ఞానులకు కలతగా ఉంటుంది, మరియు ఇది విశ్వసనీయాంతరాల విమర్శలు ఒకటి, సంఖ్యాశాస్త్రజ్ఞులు కానివారు ఉపయోగంలో "విశ్వాసం" అనే పదాన్ని తప్పుగా తీసుకోబడుతుంది.

సాధారణ వాడుకలో, 95% విశ్వాసం దావాలో సాధారణంగా వాస్తవ ఖచ్చితత్వాన్ని సూచిస్తుంది. సంఖ్యాశాస్త్రంలో, 95% విశ్వాస అధికారంలో పరిశోధకుడు ఇరవై లేదా తక్కువలో ఒకసారి సంభవించడం అనేది జరుగుతోంది. ఒకవేళ ఒకరు రెండు డైస్ ను వెయ్యాలంటే మరియు రెండు ఆరులు రావాలంటే (ఇది 1/36వ యొక్క కాలం, లేదా దాదాపు 3%), కొంతమంది డైస్ స్థిరంగా ఉన్నాయని రుజువుగా ఉండాలి, అయిననూ సంఖ్యాశాస్త్రపరంగా ఒకరికి 97% విశ్వాసం కలిగి ఉంటారు. అలానే, 95% విశ్వాసం వద్ద సంఖ్యాశాస్త్ర లింకు కనుగొనుటకు రుజువు లేదు, జతచేసిన వస్తువుల యొక్క వాస్తవమైన లింకు ఉంటుంది.

బహు సంఖ్యాశాస్త్ర పరీక్షల అధ్యయనంలో కొంతమంది అజ్ఞానుల అభిప్రాయ ప్రకారం వ్యక్తిగత పరీక్షలతో సంబంధం ఉన్నదానిలో విశ్వాసం అధ్యయనం యొక్క ఫలితాలలోనే ఉంటుంది. నిజానికి, అధ్యయన సమయంలో జరిగిన అన్ని సంఖ్యాశాస్త్ర పరీక్షల యొక్క ఫలితాలు మొత్తం మీద ఒకరు ఉంచిన విశ్వాస అనుకూల లింకులను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. ఉదాహరణకి, 40 సాంకేతిక పరీక్షలు 95% విశ్వసనీయత వద్ద అధ్యయనం నిర్వహించబడుతుంది, మరియు ఇది 3 అనుకూల ఫలితాలను అందిస్తుంది. తప్పు అనుకూలం అందివ్వటానికి ప్రతి పరీక్ష 5% అవకాశం కలిగి ఉంటుంది, అట్లాంటి అధ్యయనం మూడింటిలో రెండుసార్లు 3 తప్పు అనుకూలాలలను అందిస్తుంది. అందుచే ఏ అధ్యయనంలోనైనా అనుకూల ముగింపులలో ఒకరు కలిగి ఉన్న విశ్వసనీయత సరిగ్గా 32% ఉంటుంది, 95% క్రింద పరిశోధకులు వారి ప్రామాణిక స్వీకరణగా ఏర్పరచుకున్నారు.

ప్రత్యామ్నాయాలు మరియు విశ్లేషణలు[మార్చు]

విశ్వసనీయాంతరం అనేది అంతర అంచనా యొక్క ఒక పద్దతి, మరియు తరచుగా వాడే సంఖ్యాశాస్త్రంలో విస్తారంగా ఉపయోగించబడుతుంది. బఎసియన్ సంఖ్యాశాస్త్రంలో అనురూప భావన నమ్మదగిన అంతరంలుగా ఉంది, తరచుగా వాడే పద్దతి యొక్క ప్రత్యామ్నాయం భవిష్యత్తు అంతరంగా ఉంది, ఇందులో పరామితులను అంచనా వేయకుండా భవిష్య మాదిరుల ఉత్పాదనంను అంచనా వేస్తుంది.

ఏ పద్దతి ఉపయోగకరమైన ఫలితాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది అనే దాని మీద అసమ్మతి ఉంది: గణాంకాల గణితాలు చాలా అరుదుగా ప్రశ్నించబడతాయి – విశ్వసనీయాంతరాలు మాదిరి పంపిణీ మీద ఆధారపడి ఉంటాయి, నమ్మదగిన అంతరాలు బయేస్' సిద్దాంతం మీద ఆధారపడి ఉంటాయి – కానీ ఈ పద్దతుల అమలు, ఉపయోగం మరియు అందించిన సంఖ్యాశాస్త్రాల అన్వయింపులు, చర్చించబడ్డాయి.

బఎసియన్ పద్దతుల వాడుకదారులు, ఒకవేళ వారు అంతర అంచనాలో అందిస్తే, అది విశ్వసనీయాంతరాలకు విరుద్దంగా ఉంటుంది, "నా నమ్మకం యొక్క ఘాతం పరామితి నిజానికి 90% అంతరంలో ఉంది, "[9] అయితే భవిష్య వాడుకదారులు బదులుగా ఏమంటారంటే "తర్వాత మాదిరి ఈ అంతరం 90% యొక్క సమయంలో ఉంటుందని నేను భావిస్తున్నాను ."

విశ్వసనీయాంతరాలు సంభావ్యత యొక్క ఒక సమాసం మరియు సాధారణ సంభావ్యతా శాసనాలకు లోబడి ఉంటాయి. ఒకవేళ అనేక సంఖ్యాశాస్త్రాలు విశ్వసనీయాంతరాలతో ఉంచితే, స్వతంత్ర భావన మీద ప్రతిదీ లెక్కిస్తారు, ఆ భావన గౌరవించాలి లేదా లెక్కింపులు తప్పుగా అందించబడతాయి. ఉదాహరణకి, ఒకవేళ సాంఖ్యకం తక్కువగా ఉన్న అంతరంతో జాగ్రత్త కొరకు ఎంపికచేసుకుంటే, ఆ అంతరం కొరకు ఆ సాంఖ్యకం నిజమైన అంతరంగా కొనసాగదు. ఎంపికల చర్య సంభావ్యతను మారుస్తుంది మరియు ఈ సందర్భంలో అంతరంను విస్తరింపచేస్తుంది.

సాంఖ్యాక పరీక్షలు చేయడానికి విశ్వసనీయాంతరాలు ఉత్పత్తిచేయడమనేది చాలా ముఖ్యమైనది. ఒకవేళ బహు పరీక్షలు చేస్తే మరియు అందులో నుండి అనుకూల ఫలితాలను అందిస్తే, ఈ పరీక్షను నిర్వహించిన అంతరాలు మారిపోతాయి, మరియు చాలా సందర్భాలలో ఈ పరీక్షలు తప్పుగా తెలపబడ్డాయి.

అనుపాతాలకు మరియు సంబంధిత పరిమాణాల కొరకు విశ్వసనీయాంతరాలు[మార్చు]

సమిష్టి మధ్యమం కొరకు విశ్వసనీయాంతరం నిర్మాణంను యాదృచ్చిక చలనరాశుల కొరకు చేయబడుతుంది, ఒకవేళ మాదిరి పరిమాణంలు మరియు ఉత్పాదనలు పెద్దవిగా ఉంటే, అది కేంద్ర పరిమితి సిద్దాంతం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. పైన చెప్పినదానికి సూత్రాలు ఒకేరకంగా ఉంటాయి (ఇక్కడ మాదిరి మధ్యమం వాస్తవంగా సమిష్టి మధ్యమంలో పంపిణీ చేస్తారు). ఒకవేళ యాదృచ్చిక చలనరాశుల యొక్క సంభావ్యతా పంపిణీ సాధారణ పంపిణీ వ్యత్యాసంగా ఉండకపోతే, ఉజ్జాయింపు సాధారణంగా కేవలం ఒక పన్నెండు గమనికలలో బాగా ఉంటుంది (e.g. దాని సంచిత పంపిణీ విధి ఏవిధమైన ఆపడాలను కలిగిలేదు మరియు దాని రుజువుగా లేకపోవటం మధ్యస్తంగా ఉంటుంది).

ఒక విధమైన మాదిరి మధ్యమంలో సూచక చలనరాశి ఉంటుంది, ఇందులో నిజమైనదానికి విలువ 1ని మరియు తప్పైనదానికి విలువ 0ని తీసుకుంటుంది. అట్లాంటి చలనరాశి యొక్క మధ్యమం వారి వద్దనున్న అనుపాతం ఒకటితో సమానమై ఉంటుంది (ఇది ఏ సమిష్టిలో నైనా మరియు ఏ మాదిరిలోనైనా ఉంటుంది). ఇది సూచకుల చలరాశుల యొక్క ఉపయోగకరమైన లక్షణం, ముఖ్యంగా పరికల్పనా పరీక్షలో ఉంటుంది. కేంద్ర పరిమితి సిద్దాంతంను అమలుచేయటానికి, అతిపెద్ద మాదిరిని ఉపయోగించాల్సిన అవసరం ఉంది. ఒక సాధారణ నియమంలో సూచకం 1 ఉన్న సందర్భాలలో కనీసం 5 కేసులు చూడాలి మరియు అది 0 అయితే కనీసం 5 చూడాలి. విశ్వసనీయాంతరాలు పైన చెప్పిన సూత్రాలను ఉపయోగించి నిర్మించిన దానిలో ఋణాత్మక సంఖ్యలు లేదా 1 కన్నా పెద్ద సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది, కానీ అనుపాతాలు ఖచ్చితంగా ఋణాత్మకం లేదా 1ని మించరాదు. దానికి తోడూ, మాదిరి అనుపాతాలు కేవలం ఖచ్చితమైన సంఖ్యా విలువలకు మాత్రమే తీసుకోవచ్చు, అందుచే విశ్వసనీయాంతరం నిర్మాణం కొరకు కేంద్రీయ పరిమితి సిద్దాంతం మరియు సాధారణ పంపిణీ ఉత్తమ సాధనాలు కావు. ఈ సందర్భంలో ఖచ్చితంగా ఉన్న మంచి పద్దతుల కొరకు "ద్విపద అనుపాత విశ్వసనీయాంతరం" చూడండి.

ఇవి కూడా చూడండి[మార్చు]

ఆన్లైన్ కాలుక్యులెటార్లు[మార్చు]

గమనికలు[మార్చు]

  1. గోల్డ్స్టీన్, H., & హీలే, M.J.R. (1995 "మధ్యమాలా యొక్క సేకరణను రేఖాచిత్రంలో చూపించడం." రాయల్ సంఖ్యాశాస్త్ర సంఘం యొక్క పత్రిక , 158 , 175–77.
  2. Wolfe R, Hanley J (Jan 2002). "If we're so different, why do we keep overlapping? When 1 plus 1 doesn't make 2". CMAJ 166 (1): 65–6. PMC 99228. PMID 11800251. 
  3. జార్, J.H. (1984) జీవసంఖ్యాశాస్త్ర విశ్లేషణ. ప్రెన్టీస్ హాల్ ఇంటర్నేషనల్, న్యూజర్సీ. pp 43–45
  4. Bernardo JE, Smith, Adrian (2000). Bayesian theory. New York: Wiley. p. 259. ISBN 0-471-49464-X. 
  5. కాక్స్ DR, హింక్లె DV. (1974) సిద్దాంతపరమైన సంఖ్యాశాస్త్రాలు, చాప్మన్ & హాల్, p49, 209
  6. కెనడాల్, M.G. మరియు స్టువర్ట్, D.G. (1973) సంఖ్యాశాస్త్రం యొక్క ప్రతిపాదిత సిద్దాంతం. Vol 2: తీర్మానం మరియు సంబంధం, గ్రిఫ్ఫిన్, లండన్. సెక్షన్ 20.4
  7. కాక్స్ DR, హింక్లె DV. (1974) సిద్దాంతపరమైన సంఖ్యాశాస్త్రం, చాప్మన్ & హాల్, p214, 225, 233
  8. నెమాన్, J. (1937) "సంఖ్యాశాస్త్ర అంచనా సిద్దాంతం అవుట్ లైన్ సంభావ్యతా సాంప్రదాయ సిద్దాంతం మీద ఆధారపడి ఉంది", రాయల్ సొసైటీ అఫ్ లండన్ యొక్క తత్వశాస్త్ర లావాదేవీలు 236, 333–380.
  9. కాక్స్ DR, హింక్లె DV. (1974) సిద్దాంతపరమైన సంఖ్యాశాస్త్రాలు, చాప్మన్ & హాల్, p390

సూచనలు[మార్చు]

బాహ్య లింకులు[మార్చు]

మూస:Statistics