ఘనపరిమాణము

ఘనపరిమాణం
ద్రవాల ఘనపరిమాణం కొలుచు కప్పు. ఈ కప్పు ఘనపరిమాణాన్ని కప్పులలో, ప్రవాహి ఔన్సులలో, మిల్లీ లీటర్లలో గణిస్తుంది.
Common symbols	V
SI ప్రమాణం	ఘనపు మీటర్ [మీ3]
Other units	లీటరు, ప్లూయిడ్ ఔన్సు, గాలన్, క్వార్ట్, పింట్, టి.ఎస్.పి, ప్లూయిడ్ డ్రాం, ఘనపు అంగుళం, ఘనపు యార్డు, బారెల్
In SI base units	1 m3
Dimension	L3

ఒక వస్తువు త్రిమితీయ అంతరాళంలో ఎంత పరిమాణాన్ని (స్థలాన్ని) ఆక్రమిస్తుందో దానిని ఆ వస్తువు యొక్క ఘనపరిమాణము అంటారు. ఈ వస్తువు ఘన, ద్రవ, వాయు, ప్లాస్మా పదార్దమేదయినా కావచ్చును. ఘనపరిమాణాన్ని ఎస్.ఐ ప్రమాణాలలో "ఘనపు మీటర్లు" లో కొలుస్తారు. ప్క పాత్ర ఘనపరిమాణం అనగా ఆ పత్ర సామర్థ్యాన్ని తెలియజేస్తుంది. అనగా ఆ పాత్రలో ఎంత పరిమాణంలో ప్రవాహి (ద్రవం లేదా వాయువు) పడుతుందో తెలియజేస్తుంది. త్రిమితీయ గణిత ఆకారాలకు నిర్ధిష్ట ఘనపరిమాణం ఉంటుంది. సాధారణ ఆకృతుల ఘనపరిమాణాలు అనగా క్రమాకారాలు, రేఖీయ అంచులు, వక్రతల ఆకారాల ఘనపరిమాణాలను అంకగణిత ఫార్ములాలతో కనుగొనవచ్చును.

ఆ ఆకారం సరిహద్దుకు సంబంధించిన ఫార్ములా ఉన్న సంక్లిష్ట ఆకారాల ఘనపరిమాణాలను సమాకలన కలనగణితంతో గణన చేయవచ్చును. ఏక మితీయ ఆకారాలు (సరళ రేఖల వంటివి), ద్విమితీయ ఆకారాలు (చతురస్రం వంటివి) త్రిమితీయ అంతరాళంలో శూన్య ఘనపరిమాణం కలిగి ఉంటాయి.

ఒక ఘనపదార్థ ఘనపరిమాణం (అది అక్రమామారం అయినదయినప్పటికీ) ప్రవాహి స్థానబ్రంశం ద్వారా కూడా గణన చేయవచ్చును. వాయువుల ఘనపరిమాణాన్ని గణన చేయునపుడు ద్రవం స్థానబ్రంశం చేసే పరిమాణాన్ని లెక్కించి గణన చేయవచ్చును. రెండు పదార్దాల ఉమ్మడి ఘనపరిమాణం అందులో ఒక పదార్థ ఘనపరిమాణం కన్నా ఎక్కువ ఉంటుంది. అయినప్పటికీ ఒక పదార్థం మరొక పదార్థంలో కరిగి ఉండే సందర్భాలలో ఉమ్మడి ఘనపరిమాణం పెరగదు.

ఉష్ణగతిక శాస్త్రంలో ఘనపరిమాణం అనేది ప్రాథమిక పరామితి. ఇది పీడనానికి కాంజుగేట్ వేరియబుల్ గా ఉంటుంది.

ప్రమాణాలు

Volume measurements from the 1914 The New Student's Reference Work.

ఏదైనా ప్రమాన పొడవు దానికి సంబంధించిన ప్రమాణ ఘనపరిమాణాన్నిస్తుంది: ఒక సమఘనం ఘనపరిమాణం దాని భుజం పొడవు ఆధారంగా లెక్కించబడుతుంది. ఉదాహరణకు ఒక సెంటీ మీటరు భుజం గల సమఘనం ఘనపరిమాణం ఒక ఘనము సెంటీమీటరు (cm³ ) అవుతుంది.

ఉదాహరణకు ఏదైనా దీర్ఘఘనం పొడవు 3 సెం.మీ, వెడల్పు 4 సెం.మీ, ఎత్తు 6 సెం.మీ ఉంటే దాని ఘనపరిమాణం దాని పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తుల లబ్దానికి సమానంగా ఉంటుంది. అనగా దాని ఘనపరిమాణం 72 ఘనపు సెంటీ మీటర్లు అవుతుంది. అనగా ఆ దీర్ఘఘనంలో 1 cm³ ఘనపరిమాణం గల సమఘనాలు 72 పడతాయని అర్థం.

అంతర్జాతీయ ప్రమాణాల వ్యవస్థ (ఎస్.ఐ) లో ఘనపరిమాణానికి ప్రామాణిక ప్రమాణం ఘనపు మీటరు (m³). మెట్రిక్ వ్యవస్థలో లీటరు (L) ను ప్రమాణంగా తీసుకుంటారు. ఒక లీటరు ఘనపరిమాణం 1000 ఘనపు సెంటీమీటర్ల పరిమాణానికి సమానంగా ఉంటుంది.

1 లీటరు = (10 సెం.మీ)³ = 1000 ఘనపు సెంటీ మీటర్లు = 0.001 ఘనపు మీటర్లు,

అందువలన

1 ఘనపు మీటరు = 1000 లీటర్లు.

తక్కువ పరిమాణం గల ద్రవాలను సాధారణంగా మిల్లీలీటర్లలో కొలుస్తారు.

1 మిల్లీలీటర్లు = 0.001 లీటర్లు = 1 ఘనపు సెంటీమీటరు.

అదే విధంగా, అదిక పరిమాణం గల ద్రవాలను మెగాలీటర్లు ప్రమాణాలలో కొలుస్తారు.

1 మిలియన్ లీటర్లు = 1000 ఘనపు మీటర్లు = 1 మెగా లీటరు.

ఘనపరిమాణం ను వివిధ సాంప్రదాయ పద్ధతులలో కొలుస్తారు. వాటిలో ఘనపు అంగుళం, ఘనపు అడుగు, ఘనపు గజం, ఘనము మైలు, టీ స్పూను, టేబుల్ స్పూను, ఫ్లూయిడ్ ఔన్సు, ఫ్లూయిడ్ డ్రాం, గిల్, పింట్, క్వార్ట్, గాలన్, మినిం, బరెల్, కోర్డ్, పెక్, బుషెల్, హాగ్స్‌హెడ్, ఏకర్-ఫుట్, బోర్డ్ ఫుట్ వంటి ప్రమాణాలలో కొలుస్తారు.

కలన గణితంలో ఘనపరిమాణం

గణిత శాస్త్ర విభాగమైన కలన గణితంలో R³ లో D ప్రాంతం ఘనపరిమాణాన్ని మొత్తం ప్రాంతమునకు స్థిర ప్రమేయం $f(x,y,z)=1$ యొక్క ట్రిపుల్ ఇంటెగ్రల్ గణన చేసి కనుగొనవచ్చు. దీనిని క్రింది విధంగా రాయవచ్చు.

$\iiint \limits _{D}1\,dx\,dy\,dz.$

సిలిండ్రికల్ కోఆర్డినేట్లలో (స్థూపాకార నిరూపక వ్యవస్థలో) ఘనపరిమాణ సమాకలనం:

$\iiint \limits _{D}r\,dr\,d\theta \,dz,$

స్పెరికల్ కోఆర్డినేట్ల లో ఘనపరిమాణ సమాకలనం:

$\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .$

ఘనపరిమాణ సూత్రములు

Shape	Volume formula	Variables
సమఘనం	$V=a^{3}\;$
దీర్ఘ ఘనం	$V=abc$
పట్టకం (B: భూ వైశాల్యం )	$V=Bh$
(B: భూ వైశాల్యం )	$V={\frac {1}{3}}Bh$
క్రమ టెట్రా హైడ్రన్	$V={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\,$
గోళం	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
దీర్ఘ గోళం	$V={\frac {4}{3}}\pi abc$
వృత్తాకార స్థూపం	$V=\pi r^{2}h$
శంకువు	$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

Volume ratios for a cone, sphere and cylinder of the same radius and height

A cone, sphere and cylinder of radius r and height h

The above formulas can be used to show that the volumes of a cone, sphere and cylinder of the same radius and height are in the ratio 1 : 2 : 3, as follows.

Let the radius be r and the height be h (which is 2r for the sphere), then the volume of the cone is

${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\left(2r\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 1,$

the volume of the sphere is

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 2,$

while the volume of the cylinder is

$\pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=\left({\frac {2}{3}}\pi r^{3}\right)\times 3.$

The discovery of the 2 : 3 ratio of the volumes of the sphere and cylinder is credited to Archimedes.

Volume formula derivations

Sphere

The volume of a sphere is the integral of an infinite number of infinitesimally small circular disks of thickness dx. The calculation for the volume of a sphere with center 0 and radius r is as follows.

The surface area of the circular disk is $\pi r^{2}$.

The radius of the circular disks, defined such that the x-axis cuts perpendicularly through them, is

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

or

$z={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

where y or z can be taken to represent the radius of a disk at a particular x value.

Using y as the disk radius, the volume of the sphere can be calculated as

$\int _{-r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)\,dx.$

Now

$\int _{-r}^{r}\pi r^{2}\,dx-\int _{-r}^{r}\pi x^{2}\,dx=\pi \left(r^{3}+r^{3}\right)-{\frac {\pi }{3}}\left(r^{3}+r^{3}\right)=2\pi r^{3}-{\frac {2\pi r^{3}}{3}}.$

Combining yields $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

This formula can be derived more quickly using the formula for the sphere's surface area, which is $4\pi r^{2}$. The volume of the sphere consists of layers of infinitesimally thin spherical shells, and the sphere volume is equal to

$\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,dr={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Cone

The cone is a type of pyramidal shape. The fundamental equation for pyramids, one-third times base times altitude, applies to cones as well.

However, using calculus, the volume of a cone is the integral of an infinite number of infinitesimally thin circular disks of thickness dx. The calculation for the volume of a cone of height h, whose base is centered at (0, 0, 0) with radius r, is as follows.

The radius of each circular disk is r if x = 0 and 0 if x = h, and varying linearly in between—that is,

$r{\frac {h-x}{h}}.$

The surface area of the circular disk is then

$\pi \left(r{\frac {h-x}{h}}\right)^{2}=\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}.$

The volume of the cone can then be calculated as

$\int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx,$

and after extraction of the constants

${\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx$

Integrating gives us

${\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\left({\frac {h^{3}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.$

Polyhedron

ప్రధాన వ్యాసం: Volume of a polyhedron

Volume in differential geometry

ప్రధాన వ్యాసం: Volume form

In differential geometry, a branch of mathematics, a volume form on a differentiable manifold is a differential form of top degree (i.e., whose degree is equal to the dimension of the manifold) that is nowhere equal to zero. A manifold has a volume form if and only if it is orientable. An orientable manifold has infinitely many volume forms, since multiplying a volume form by a non-vanishing function yields another volume form. On non-orientable manifolds, one may instead define the weaker notion of a density. Integrating the volume form gives the volume of the manifold according to that form.

An oriented pseudo-Riemannian manifold has a natural volume form. In local coordinates, it can be expressed as

$\omega ={\sqrt {|g|}}\,dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n},$

where the $dx^{i}$ are 1-forms that form a positively oriented basis for the cotangent bundle of the manifold, and $g$ is the determinant of the matrix representation of the metric tensor on the manifold in terms of the same basis.

Volume in thermodynamics

ప్రధాన వ్యాసం: Volume (thermodynamics)

In thermodynamics, the volume of a system is an important extensive parameter for describing its thermodynamic state. The specific volume, an intensive property, is the system's volume per unit of mass. Volume is a function of state and is interdependent with other thermodynamic properties such as pressure and temperature. For example, volume is related to the pressure and temperature of an ideal gas by the ideal gas law.

Volume computation

The task of numerically computing the volume of objects is studied in the field of computational geometry in computer science, investigating efficient algorithms to perform this computation, approximately or exactly, for various types of objects. For instance, the convex volume approximation technique shows how to approximate the volume of any convex body using a membership oracle.

See also

• Banach–Tarski paradox
• Conversion of units
• Dimensional weight
• Dimensioning
• Length
• Measure
• Perimeter
• Volume (thermodynamics)
• Volumography
• Weight

External links

• Perimeters, Areas, Volumes at Wikibooks
• Volume at Wikibooks