వక్రరేఖ

other uses కొరకు, వక్రరేఖ (disambiguation) చూడండి.

సరళ రేఖల తర్వాత వచ్చే అత్యంత సరళమైన వక్రరేఖలలో ఒకటైన పరావలయం (parabola)

గణితశాస్త్రంలో, వక్రరేఖ (curve) (పాత గ్రంథాలలో వక్రంగా ఉన్న గీత అని కూడా పిలుస్తారు) అనేది ఒక సరళ రేఖను పోలి ఉండే వస్తువు, కానీ అది నేరుగా ఉండవలసిన అవసరం లేదు. ఒక కదులుతున్న బిందువు వదిలి వెళ్ళిన ఆనవాళ్లను వక్రరేఖ అని భావించవచ్చు. 2000 సంవత్సరాలకు పైగా యుక్లిడ్ తన ఎలిమెంట్స్‌ గ్రంథంలో వ్రాసిన నిర్వచనం ఇలా ఉంది: "[వక్ర] రేఖ అనేది పరిమాణాలలో మొదటిది. దీనికి పొడవు అనే ఒకే ఒక కొలత ఉంటుంది. దీనికి ఎటువంటి వెడల్పు, లోతు ఉండవు. కదులుతున్న ఒక బిందువు తన ప్రయాణంలో వదిలి వెళ్ళే కేవలం పొడవును మాత్రమే సూచించే ఆనవాలు (వెడల్పు లేనిది)." ఆధునిక గణితశాస్త్రంలో వక్రరేఖ నిర్వచనం ఇలా లాంఛనప్రాయంగా చేయబడింది: ఒక టోపోలాజికల్ స్పేస్‌లో నిరంతర ప్రమేయం (continuous function) ద్వారా ఒక ఇంటర్వెల్ (interval) ఏర్పరచే ఇమేజ్‌ను వక్రరేఖ అంటారు. కొన్ని సందర్భాల్లో, వక్రరేఖను నిర్వచించే ప్రమేయాన్ని పారామెటరైజేషన్ (parametrization) అని పిలుస్తారు, ఆ వక్రరేఖను పారామెట్రిక్ కర్వ్ అని పిలుస్తారు. ఈ ఆర్టికల్‌లో, ఈ వక్రరేఖలను అవకలన వక్రరేఖల (differentiable curves) నుండి వేరు చేయడానికి టోపోలాజికల్ వక్రరేఖలు అని పిలుస్తారు. ఈ నిర్వచనం గణితశాస్త్రంలో అధ్యయనం చేసే చాలా వక్రరేఖలను కవర్ చేస్తుంది; ముఖ్యమైన మినహాయింపులు లెవల్ వక్రరేఖలు (ఇవి వక్రరేఖలు, ఒంటరి బిందువుల సముదాయం), బీజగణిత వక్రరేఖలు (క్రింద చూడండి). లెవల్ వక్రరేఖలు, బీజగణిత వక్రరేఖలను సాధారణంగా అవ్యక్త సమీకరణాల (implicit equations) ద్వారా నిర్వచిస్తారు కాబట్టి వాటిని అవ్యక్త వక్రరేఖలు అని కూడా పిలుస్తారు.

అయితే, టోపోలాజికల్ వక్రరేఖల వర్గీకరణ చాలా విస్తృతమైనది. ఇందులో వక్రరేఖల వలె కనిపించని లేదా గీయడానికి సాధ్యం కాని కొన్ని వక్రరేఖలు కూడా ఉన్నాయి. స్పేస్-ఫిల్లింగ్ వక్రరేఖలు, ఫ్రాక్టల్ వక్రరేఖలు ఇలాంటి కోవలోకే వస్తాయి. మరింత ఖచ్చితత్వాన్ని నిర్ధారించడానికి వక్రరేఖను నిర్వచించే ఫంక్షన్ సాధారణంగా అవకలనం (differentiable function) చేయదగినదిగా ఉండాలి, అప్పుడు ఆ వక్రరేఖను అవకలన వక్రరేఖ (differentiable curve) అంటారు.

ఒక సమతల బీజగణిత వక్రరేఖ (plane algebraic curve) అనేది రెండు వేరియబుల్స్ కలిగిన బహుపది (polynomial) శూన్య సమితి (zero set). మరింత సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఒక బీజగణిత వక్రరేఖ అనేది పరిమిత సంఖ్యలో ఉన్న బహుపదుల శూన్య సమితి, ఇది ఒక డైమెన్షన్ కలిగిన బీజగణిత వెరైటీగా ఉండే అదనపు షరతును సంతృప్తిపరుస్తుంది. బహుపది గుణకాలు (coefficients) ఒక క్షేత్రం k కు చెంది ఉంటే, ఆ వక్రరేఖ k పై నిర్వచించబడింది అని చెబుతారు. వాస్తవ బీజగణిత వక్రరేఖ సాధరణ సందర్భంలో, k వాస్తవ సంఖ్యల క్షేత్రం అయినప్పుడు, ఒక బీజగణిత వక్రరేఖ టోపోలాజికల్ వక్రరేఖల పరిమిత సముదాయంగా ఉంటుంది. సంక్లిష్ట శూన్యాలను పరిగణించినప్పుడు, ఒక సంక్లిష్ట బీజగణిత వక్రరేఖ ఏర్పడుతుంది, ఇది టోపోలాజికల్ దృక్కోణం నుండి వక్రరేఖ కాదు, ఒక ఉపరితలం, దీనిని సాధారణంగా రీమాన్ ఉపరితలం (Riemann surface) అని పిలుస్తారు. సాధారణ అర్థంలో వక్రరేఖలు కానప్పటికీ, ఇతర క్షేత్రాలపై నిర్వచించిన బీజగణిత వక్రరేఖలను విస్తృతంగా అధ్యయనం చేశారు. ముఖ్యంగా, ఒక పరిమిత క్షేత్రంపై ఉన్న బీజగణిత వక్రరేఖలను ఆధునిక క్రిప్టోగ్రఫీలో విరివిగా ఉపయోగిస్తారు.

చరిత్ర

న్యూగ్రేంజ్ వద్ద ఉన్న ఈ మెగాలిథిక్ కళలో ప్రారంభ కాలంలోనే వక్రరేఖలపై ఉన్న ఆసక్తిని చూడవచ్చు

వక్రరేఖలపై ఆసక్తి అవి గణితశాస్త్ర అధ్యయన విషయంగా మారడానికి చాలా కాలం ముందే ప్రారంభమైంది. కళలో వాటి అలంకార ఉపయోగం, చరిత్రపూర్వ కాలం నాటి రోజువారీ వస్తువులపై అనేక ఉదాహరణలలో దీనిని చూడవచ్చు. వక్రరేఖలు లేదా కనీసం వాటి గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యాలను సృష్టించడం చాలా సులభం, ఉదాహరణకు సముద్ర తీరంలోని ఇసుకపై ఒక కర్రతో గీయడం.

చారిత్రాత్మకంగా, ఆధునిక పదం "వక్రరేఖ" (curve) కు బదులుగా "రేఖ" (line) అనే పదం ఉపయోగించబడింది. కాబట్టి నేడు రేఖలు అని పిలవబడే వాటిని వక్రంగా ఉన్న రేఖల నుండి వేరు చేయడానికి సరళ రేఖ (straight line), లంబ రేఖ (right line) అనే పదాలను ఉపయోగించారు. ఉదాహరణకు, యూక్లిడ్ "ఎలిమెంట్స్" మొదటి పుస్తకంలో, రేఖను "వెడల్పు లేని పొడవు" (నిర్వచనం 2) అని నిర్వచించారు, అయితే సరళ రేఖను "దానిపై ఉన్న బిందువులతో సమానంగా విస్తరించి ఉండే రేఖ" (నిర్వచనం 4) అని నిర్వచించారు. యూక్లిడ్ రేఖ గురించి "రేఖ చివరలు బిందువులు" అనే ప్రకటన (నిర్వచనం 3) ద్వారా మరింత స్పష్టత ఇచ్చారు. తరువాతి వ్యాఖ్యాతలు రేఖలను వివిధ పథకాల ఆధారంగా వర్గీకరించారు. ఉదాహరణకు:

• మిశ్రమ రేఖలు (కోణాన్ని ఏర్పరిచే రేఖలు)
• సాధారణ రేఖలు
  • పరిమిత రేఖలు (వృత్తం వలె నిరవధికంగా విస్తరించని రేఖలు)
  • అపరిమిత రేఖలు (సరళ రేఖ, పరావలయం వలె నిరవధికంగా విస్తరించే రేఖలు)

ప్రాచీన గ్రీకు గణితశాస్త్రంలో ఒక శంకువును కోయడం ద్వారా సృష్టించిన వక్రరేఖలు (శంకు వక్రాలు) అధ్యయనం చేశారు.

గ్రీకు రేఖాగణిత శాస్త్రవేత్తలు అనేక రకాల ఇతర వక్రరేఖలను అధ్యయనం చేశారు. ప్రామాణిక దిక్సూచి, స్ట్రెయిట్ ఎడ్జ్ నిర్మాణాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించలేని జ్యామితీయ సమస్యలను పరిష్కరించడంపై ఉన్న ఆసక్తి ఇందుకు ఒక కారణం. ఈ వక్రరేఖలలో కొన్ని:

• అపోలోనియస్ ఆఫ్ పెర్గా (Apollonius of Perga) లోతుగా అధ్యయనం చేసిన శంకు వక్రాలు (conic sections).
• డయోక్లెస్ (Diocles) అధ్యయనం చేసిన, క్యూబ్‌ను రెట్టింపు చేసే పద్ధతిగా ఉపయోగించిన సిస్సాయిడ్ ఆఫ్ డయోక్లెస్ (cissoid of Diocles).
• క్యూబ్‌ను రెట్టింపు చేయడానికి, ఒక కోణాన్ని మూడు భాగాలుగా చేయడానికి నికోమెడెస్ (Nicomedes) ఒక పద్ధతిగా అధ్యయనం చేసిన కాంకోయిడ్ ఆఫ్ నికోమెడెస్ (conchoid of Nicomedes).
• ఒక కోణాన్ని మూడు భాగాలుగా చేయడానికి, వృత్తాన్ని చతురస్రం చేయడానికి ఆర్కిమెడిస్ (Archimedes) ఒక పద్ధతిగా అధ్యయనం చేసిన ఆర్కిమెడియన్ స్పైరల్ (Archimedean spiral).
• అపోలోనియస్ శంకువు వక్రాలను అధ్యయనం చేసినట్లే, పెర్సియస్ (Perseus) టోరి (tori) వక్రాలను స్పిరిక్ వక్రాలు (spiric sections) గా అధ్యయనం చేశారు.

విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి (Analytic geometry) వల్ల రేఖాగణిత నిర్మాణానికి బదులుగా సమీకరణాలను ఉపయోగించి "ఫోలియం ఆఫ్ డెస్కార్టెస్" లాంటి వక్రరేఖలను నిర్వచించడానికి వీలైంది.

పదిహేడవ శతాబ్దంలో రెనే డెస్కార్టెస్ (René Descartes) విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి (analytic geometry) ని ప్రవేశపెట్టడం వక్రరేఖల సిద్ధాంతంలో ఒక ప్రాథమిక పురోగతి. ఇది సంక్లిష్టమైన జ్యామితీయ నిర్మాణానికి బదులుగా ఒక సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి వక్రరేఖను వివరించడానికి వీలు కల్పించింది. ఇది కొత్త వక్రరేఖలను నిర్వచించడానికి, అధ్యయనం చేయడానికి అనుమతించడమే కాకుండా, బహుపది సమీకరణాలను ఉపయోగించి నిర్వచించగల బీజగణిత వక్రరేఖలకు, సాధ్యం కాని అతీత వక్రరేఖల (transcendental curves) కు మధ్య అధికారిక వ్యత్యాసాన్ని చూపడానికి వీలు కల్పించింది. అంతకుముందు వక్రరేఖలు ఎలా ఉత్పత్తి అయ్యాయో బట్టి వాటిని "రేఖాగణితం" (geometrical) లేదా "యాంత్రికం" (mechanical) అని అభివర్ణించేవారు.

కెప్లర్ (Kepler) శంకు వక్రాలను ఖగోళశాస్త్రంలో అన్వయించారు.

న్యూటన్ (Newton) కూడా వైవిధ్యాల కలనగణితం (calculus of variations) ప్రారంభ ఉదాహరణపై పనిచేశారు. బ్రాచిస్టోక్రోన్, టాటోక్రోన్ ప్రశ్నల వంటి వైవిధ్య సమస్యలకు పరిష్కారాలు, వక్రరేఖల లక్షణాలను కొత్త మార్గాల్లో పరిచయం చేశాయి (ఈ సందర్భంలో సైక్లాయిడ్). వేలాడే గొలుసు (catenary) సమస్యకు పరిష్కారంగా దాని పేరు వచ్చింది. ఇది అవకలన కలనగణితం (differential calculus) ద్వారా సులభంగా పరిష్కరించే విషయంగా మారింది.

పద్దెనిమిదవ శతాబ్దంలో సమతల బీజగణిత వక్రరేఖల సిద్ధాంతం ప్రారంభమైంది. వాస్తవ బిందువులను 'అండాకారాలు' గా సాధారణ వివరణ ఇవ్వడంలో న్యూటన్ క్యూబిక్ వక్రరేఖలను అధ్యయనం చేశారు. బెజౌట్స్ సిద్ధాంతం (Bézout's theorem) సింగులర్ పాయింట్లు, సంక్లిష్ట పరిష్కారాలకు సంబంధించిన అనేక కోణాలను చూపించింది. వీటిని అప్పటి జ్యామితిలో నేరుగా అర్థం చేసుకోవడం సాధ్యం కాలేదు.

పంతొమ్మిదవ శతాబ్దం నుండి వక్రరేఖ సిద్ధాంతం మానిఫోల్డ్స్, బీజగణిత రకాల సిద్ధాంతం కింద డైమెన్షన్ వన్‌ ఒక ప్రత్యేకమైన కేసుగా చూడబడింది. ఏది ఏమైనప్పటికీ, స్పేస్-ఫిల్లింగ్ వక్రరేఖలు, జోర్డాన్ వక్రరేఖ సిద్ధాంతం, హిల్బర్ట్ పదహారవ సమస్య వంటి అనేక ప్రశ్నలు వక్రరేఖలకు సంబంధించినవిగా మిగిలిపోయాయి.

టోపోలాజికల్ వక్రరేఖ

ఒక టోపోలాజికల్ వక్రరేఖ (topological curve) ను ఒక నిరంతర ప్రమేయం (continuous function) $\gamma \colon I\rightarrow X$ ద్వారా ఒక టోపోలాజికల్ స్పేస్ X లో వాస్తవ సంఖ్యల ఇంటర్వెల్ I నుండి పేర్కొనవచ్చు. సరిగ్గా చెప్పాలంటే, వక్రరేఖ అనేది $\gamma .$ యొక్క ఇమేజ్. అయితే కొన్ని సందర్భాలలో, $\gamma$ నే స్వయంగా వక్రరేఖగా పిలుస్తారు, ముఖ్యంగా ఆ ఇమేజ్ సాధారణంగా వక్రరేఖ అని పిలువబడే దానికి భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు, $\gamma .$ ని తగినంతగా వర్ణించలేనప్పుడు.

ఉదాహరణకు, పియానో వక్రరేఖ (Peano curve) ఇమేజ్ లేదా మరింత సాధారణంగా చెప్పాలంటే ఒక స్పేస్-ఫిల్లింగ్ వక్రరేఖ ఇమేజ్ ఒక చతురస్రాన్ని పూర్తిగా నింపుతుంది, కాబట్టి $\gamma$ ఎలా నిర్వచించబడిందో ఎలాంటి సమాచారాన్ని ఇవ్వదు.

ఒక వక్రరేఖ $\gamma$ మూసివేయబడినది లేదా ఒక లూప్ అని అంటారు, ఒకవేళ $I=[a,b]$, $\gamma (a)=\gamma (b)$ అయితే. ఈ విధంగా మూసివేయబడిన వక్రరేఖ ఒక వృత్తం యొక్క నిరంతర మ్యాపింగ్ ఇమేజ్ అవుతుంది. మూసివేయబడని వక్రరేఖను ఓపెన్ వక్రరేఖ అని కూడా పిలుస్తారు.

ఒక టోపోలాజికల్ వక్రరేఖ డొమైన్ మూసివేయబడిన, బౌండెడ్ ఇంటర్వెల్ $I=[a,b]$ అయితే, ఆ వక్రరేఖను ఒక మార్గం (path) అంటారు, దీనిని టోపోలాజికల్ ఆర్క్ (లేదా కేవలం ఆర్క్) అని కూడా పిలుస్తారు.

ఒక ఇంజెక్టివ్ (injective) నిరంతర ప్రమేయం ద్వారా ఒక ఇంటర్వెల్ లేదా ఒక వృత్తం ఇమేజ్ వస్తే ఆ వక్రరేఖను సరళమైనది (simple) అంటారు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక ఇంటర్వెల్‌ను డొమైన్‌గా కలిగి ఉన్న నిరంతర ప్రమేయం $\gamma$ ద్వారా వక్రరేఖ నిర్వచించబడితే, ఆ ఇంటర్వెల్‌లోని ఏవైనా రెండు వేర్వేరు బిందువులు వేర్వేరు ఇమేజ్‌లను కలిగి ఉన్నప్పుడే ఆ వక్రరేఖ సరళమైనది అవుతుంది, ఇంటర్వెల్ చివరల వద్ద ఉన్న బిందువులకు మాత్రమే ఇది వర్తించదు. ఒక వక్రరేఖ తనను తాను దాటుకోకుండా, ఎటువంటి బిందువులు తప్పిపోకుండా ఉన్నప్పుడు దానిని సహజంగా సరళమైన వక్రరేఖ అంటారు (ఖండించుకోని నిరంతర వక్రరేఖ).

స్కేవ్ వక్రరేఖకు హెలిక్స్ (Helix) ఒక ఉదాహరణ.

ఒక సమతల వక్రరేఖ (plane curve) అంటే $X$ యూక్లిడియన్ సమతలంగా (Euclidean plane) ఉన్న వక్రరేఖ అని అర్థం - ఇలాంటి వక్రరేఖలు మనం సాధారణంగా చూసేవే - లేదా కొన్ని సందర్భాల్లో ప్రొజెక్టివ్ సమతలంలో ఉంటాయి. ఒక స్పేస్ వక్రరేఖ (space curve) అంటే $X$ కనీసం త్రిమితీయంగా ఉండే వక్రరేఖ. ఒక స్కేవ్ వక్రరేఖ (skew curve) అనేది ఏ సమతలంలోనూ లేని ఒక స్పేస్ వక్రరేఖ (ఉదాహరణకు, ఒక హెలిక్స్). ఈ సమతల, స్పేస్, స్కేవ్ వక్రరేఖల నిర్వచనాలు వాస్తవ బీజగణిత వక్రరేఖలకు కూడా వర్తిస్తాయి, అయినప్పటికీ వక్రరేఖకు సంబంధించిన పైన పేర్కొన్న నిర్వచనం ఇక్కడ వర్తించదు (వాస్తవ బీజగణిత వక్రరేఖ డిస్‌కనెక్ట్ అయి ఉండవచ్చు). స్పేస్ వక్రరేఖకు పాత పదం "డబుల్ కర్వేచర్ (double curvature) వక్రరేఖ", ఎందుకంటే ఇది రెండు విధాలుగా (కర్వేచర్, టోర్షన్ రెండింటితో) వక్రంగా ఉంటుంది.

పాజిటివ్ ఏరియా ఉన్న డ్రాగన్ వక్రరేఖ

ఒక సమతల సరళమైన మూసివేయబడిన వక్రరేఖను జోర్డాన్ వక్రరేఖ (Jordan curve) అని కూడా పిలుస్తారు. దీనిని సమతలంలో ఖండించుకోని ఒక నిరంతర లూప్‌గా కూడా నిర్వచిస్తారు. సమతలంలో జోర్డాన్ వక్రరేఖకు సంబంధించిన సెట్ కాంప్లిమెంట్ రెండు కనెక్ట్ చేయబడిన భాగాలను (connected components) కలిగి ఉంటుందని జోర్డాన్ వక్రరేఖ సిద్ధాంతం పేర్కొంటుంది (అంటే, ఈ వక్రరేఖ సమతలాన్ని రెండు ఖండించుకోని ప్రాంతాలుగా విభజిస్తుంది). ఒక జోర్డాన్ వక్రరేఖ లోపల ఉన్న ప్రాంతాన్ని జోర్డాన్ డొమైన్ అని పిలుస్తారు.

సాధారణ వాడుకలో వక్రరేఖలు అని పిలవడానికి ఏమాత్రం ఆస్కారం లేని ఆకృతులు కూడా వక్రరేఖ నిర్వచనంలో ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, ఒక వక్రరేఖ ఇమేజ్ సమతలంలోని చతురస్రాన్ని (స్పేస్-ఫిల్లింగ్ వక్రరేఖ) పూర్తిగా కవర్ చేయవచ్చు, అలాగే ఒక సాధారణ వక్రరేఖ పాజిటివ్ ఏరియాను కలిగి ఉండవచ్చు. ఫ్రాక్టల్ వక్రరేఖలు సామాన్య అవగాహనకు వింతగా అనిపించే లక్షణాలను కలిగి ఉండవచ్చు. ఉదాహరణకు, ఒక ఫ్రాక్టల్ వక్రరేఖ ఒకటి కంటే పెద్ద హాస్‌డార్ఫ్ డైమెన్షన్ (Hausdorff dimension) ను (కోచ్ స్నోఫ్లేక్ చూడండి), అలాగే పాజిటివ్ ఏరియాను కూడా కలిగి ఉంటుంది. డ్రాగన్ వక్రరేఖ ఇందుకు ఒక ఉదాహరణ, ఇది అనేక ఇతర అసాధారణ లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది.

అవకలన వక్రరేఖ

ప్రధాన వ్యాసం: అవకలన వక్రరేఖ

స్థూలంగా చెప్పాలంటే, ఒక అవకలన వక్రరేఖ (differentiable curve) అంటే స్థానికంగా ఇంజెక్టివ్ (injective) అవకలన ప్రమేయం $\gamma \colon I\rightarrow X$ ఒక ఇమేజ్‌గా నిర్వచించబడే వక్రరేఖ. ఇక్కడ I అనేది వాస్తవ సంఖ్యల ఇంటర్వెల్, ఆ ప్రమేయం ఒక అవకలనం చేయదగిన మానిఫోల్డ్ (manifold) X లోకి మ్యాప్ చేస్తుంది, తరచుగా దీనిని $\mathbb {R} ^{n}.$ గా సూచిస్తారు.

మరింత స్పష్టంగా చెప్పాలంటే, ఒక అవకలన వక్రరేఖ అనేది X కి సంబంధించిన ఒక ఉపసమితి (subset) C, ఇక్కడ C లోని ప్రతి బిందువు ఒక చుట్టుపక్కల ప్రాంతాన్ని (neighborhood) U కలిగి ఉంటుంది. ఇది $C\cap U$ వాస్తవ సంఖ్యల ఇంటర్వెల్‌కు డిఫియోమార్ఫిక్‌గా (diffeomorphic) ఉండేలా చూస్తుంది. మరొక మాటలో చెప్పాలంటే, అవకలన వక్రరేఖ అనేది ఒక పరిమాణం కలిగిన అవకలన మానిఫోల్డ్.

అవకలన ఆర్క్

యూక్లిడియన్ జ్యామితిలో, ఒక ఆర్క్ (arc) (చిహ్నం: ⌒) అనేది అవకలన వక్రరేఖ కు సంబంధించిన ఒక కనెక్ట్ చేయబడిన ఉపసమితి.

రేఖల ఆర్క్‌లను వాటి సరిహద్దులను బట్టి విభాగాలు (segments), కిరణాలు (rays) లేదా రేఖలు అని పిలుస్తారు.

ఒక వృత్తపు ఆర్క్‌ను వృత్తాకార ఆర్క్ (circular arc) అని పిలుస్తారు, ఇది వక్రంగా ఉండే ఆకృతులకు ఒక సాధారణ ఉదాహరణ.

ఒక గోళం (sphere) లేదా స్పిరాయిడ్‌ (spheroid) లో ఉండే ఒక గ్రేట్ సర్కిల్ (లేదా గ్రేట్ ఎలిప్స్) ఆర్క్‌ను గ్రేట్ ఆర్క్ అని పిలుస్తారు.

వక్రరేఖ పొడవు

ప్రధాన వ్యాసం: ఆర్క్ పొడవు

$X=\mathbb {R} ^{n}$ అనేది ఒక $n$-డైమెన్షనల్ యూక్లిడియన్ స్పేస్ అయితే, ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}} అనేది ఒక ఇంజెక్టివ్, నిరంతర అవకలన ప్రమేయం అయితే, అప్పుడు $\gamma$ పొడవు ఈ విధంగా నిర్వచించబడుతుంది.

$\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.$

వక్రరేఖ పొడవు పారామెటరైజేషన్ $\gamma$ పై ఆధారపడి ఉండదు.

ముఖ్యంగా, ఒక మూసివేయబడిన ఇంటర్వెల్ $[a,b]$ పై నిర్వచించబడిన నిరంతర అవకలన ప్రమేయం $y=f(x)$ గ్రాఫ్‌ పొడవు $s$ ఏంటంటే

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x},$

దీనిని వక్రరేఖ పూర్తి పొడవుపై సూక్ష్మ స్థాయిలో పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించినట్లుగా అర్థం చేసుకోవచ్చు.

మరింత సాధారణంగా, $X$ అనేది మెట్రిక్ $d$ తో ఉన్న మెట్రిక్ స్పేస్ అయితే, అప్పుడు ఒక వక్రరేఖ ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to X} పొడవును ఇలా నిర్వచించవచ్చు:

$\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\},$

ఇక్కడ సుప్రీమమ్ (supremum) మొత్తం $n\in \mathbb {N}$ పరిమాణాలకు, అలాగే $[a,b]$ కి చెందిన అన్ని విభజనలు $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ పై తీసుకోబడుతుంది.

సరిదిద్దగల వక్రరేఖ (rectifiable curve) అనేది పరిమిత పొడవుతో ఉండే వక్రరేఖ. ఒక వక్రరేఖ ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to X} ని సహజమైనది (లేదా యూనిట్ స్పీడ్, లేదా ఆర్క్ పొడవు పారామెటరైజేషన్) అని పిలుస్తారు, ఒకవేళ ఏవైనా $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ కి $t_{1}\leq t_{2}$ అయ్యేలా ఉంటే, అప్పుడు మనం దీన్ని గమనించవచ్చు:

$\operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.$

ఒకవేళ ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to X} అనేది ఒక లిప్స్చిట్జ్-నిరంతర ప్రమేయం (Lipschitz-continuous function) అయితే, దాన్ని ఆటోమాటిక్‌గా సరిదిద్దవచ్చు. పైగా ఈ సందర్భంలో $t\in [a,b]$ వద్ద $\gamma$ యొక్క స్పీడ్ (లేదా మెట్రిక్ డెరివేటివ్) ని ఇలా నిర్వచించవచ్చు:

${\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}$, దీని ద్వారా ఇలా చూపవచ్చు:

$\operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.$

అవకలన జ్యామితి

ప్రధాన వ్యాసం: వక్రరేఖల అవకలన జ్యామితి

మొదట ఎదురయ్యే వక్రరేఖల ఉదాహరణలు ఎక్కువగా సమతల వక్రరేఖలు అయినప్పటికీ (రోజువారీ పదాలలో చెప్పాలంటే ద్విమితీయ స్పేస్‌లోని వక్రరేఖలు), హెలిక్స్ (helix) లాంటి స్పష్టమైన ఉదాహరణలు కూడా ఉన్నాయి, ఇవి సహజంగా మూడు డైమెన్షన్స్‌లో ఉంటాయి. జ్యామితిలో, అలాగే ఉదాహరణకు సాంప్రదాయ యంత్రశాస్త్రంలో ఏ పరిమాణంలో ఉన్న స్పేస్‌లోనైనా వక్రరేఖల భావనను కలిగి ఉండటం అవసరం. సాధారణ సాపేక్షతలో, స్పేస్‌టైమ్‌లోని వక్రరేఖను వరల్డ్ లైన్ (world line) అంటారు.

$X$ అనేది ఒక అవకలన మానిఫోల్డ్ అయితే, మనం $X$ లో అవకలన వక్రరేఖ భావనను నిర్వచించవచ్చు. ఈ సాధారణ ఐడియా గణితశాస్త్రంలో వక్రరేఖలకు సంబంధించిన అనేక అప్లికేషన్స్‌ను కవర్ చేయడానికి సరిపోతుంది. స్థానిక దృక్కోణంలో చూస్తే $X$ ను యూక్లిడియన్ స్పేస్‌గా తీసుకోవచ్చు. మరోవైపు, మరింత సాధారణంగా ఉండటం వల్ల కూడా ఉపయోగాలున్నాయి, ఉదాహరణకు ఈ వక్రరేఖ భావనను ఉపయోగించి $X$ కి టాంజెంట్ వెక్టార్లను (tangent vectors) నిర్వచించడం సాధ్యమవుతుంది.

$X$ ఒక స్మూత్ మానిఫోల్డ్ అయితే, అప్పుడు $X$ లో ఉన్న ఒక స్మూత్ వక్రరేఖను ఒక స్మూత్ మ్యాప్‌గా పరిగణిస్తాం:

$\gamma \colon I\rightarrow X$.

ఇది ఒక ప్రాథమిక భావన. ఇందులో తక్కువ, ఎక్కువ పరిమితమైన ఐడియాలు కూడా ఉన్నాయి. $X$ అనేది ఒక $C^{k}$ మానిఫోల్డ్ అయితే (అంటే ఒక మానిఫోల్డ్ చార్ట్ ట్రాన్సిషన్ మ్యాప్‌లు $k$ సార్లు నిరంతరంగా అవకలనం చేయదగినవి అయితే), అప్పుడు $X$ లో ఉన్న $C^{k}$ వక్రరేఖ అంటే కేవలం $C^{k}$ గా (అంటే $k$ సార్లు నిరంతరంగా అవకలనం చేయదగినది) మాత్రమే ఊహించబడే వక్రరేఖ. $X$ అనేది ఒక విశ్లేషణాత్మక మానిఫోల్డ్ (అంటే అనంతంగా అవకలనం చేయదగినది, దాని చార్ట్‌లను పవర్ సిరీస్‌గా వ్యక్తపరచగలిగేది) అయితే, $\gamma$ అనేది ఒక విశ్లేషణాత్మక మ్యాప్ అయితే, అప్పుడు $\gamma$ ని విశ్లేషణాత్మక వక్రరేఖ అని పిలుస్తారు.

ఒక అవకలన వక్రరేఖ డెరివేటివ్ (derivative) ఎప్పుడూ శూన్యం కాకుండా ఉంటే, దాన్ని రెగ్యులర్ అంటారు. (సాధారణ మాటలలో చెప్పాలంటే, రెగ్యులర్ వక్రరేఖ ఎప్పుడూ ఆగిపోదు లేదా తనపై తాను వెనక్కి వెళ్ళదు.) రెండు $C^{k}$ అవకలన వక్రరేఖలను తీసుకుంటే

$\gamma _{1}\colon I\rightarrow X$, :$\gamma _{2}\colon J\rightarrow X$

ఈ రెండు వక్రరేఖలు 'సమానమైనవి' అని చెప్పాలంటే, కింది విధంగా ఒక బైజెక్టివ్ (bijective) $C^{k}$ మ్యాప్ ఉండాలి

$p\colon J\rightarrow I$

అందులో ఇన్వర్స్ మ్యాప్ (inverse map) ఈ విధంగా ఉండాలి

$p^{-1}\colon I\rightarrow J$

ఇది కూడా $C^{k}$ అయి ఉండాలి, అంతేకాకుండా

$\gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))$

ఇది అన్ని $t$ విలువలకూ వర్తిస్తుంది. $\gamma _{2}$ మ్యాప్‌ను $\gamma _{1}$ యొక్క రీపారామెటరైజేషన్ (reparametrization) అని పిలుస్తారు; ఇది $X$ లోని అన్ని $C^{k}$ అవకలన వక్రరేఖల సమితిలో ఈక్వివలెన్స్ రిలేషన్‌ను (equivalence relation) ఏర్పరుస్తుంది. రీపారామెటరైజేషన్ రిలేషన్ కింద $C^{k}$ ఆర్క్ అనేది $C^{k}$ వక్రరేఖల ఒక ఈక్వివలెన్స్ క్లాస్.

బీజగణిత వక్రరేఖ

ప్రధాన వ్యాసం: బీజగణిత వక్రరేఖ

బీజగణిత జ్యామితిలో పరిగణించే వక్రరేఖలను బీజగణిత వక్రరేఖలు అంటారు. ఒక సమతల బీజగణిత వక్రరేఖ అనేది f(x, y) = 0 లాంటి నిరూపకాలను కలిగిన బిందువుల సమితి, ఇక్కడ f అనేది ఏదైనా ఫీల్డ్ F పై నిర్వచించబడిన రెండు వేరియబుల్స్‌ను కలిగి ఉన్న ఒక బహుపది. వక్రరేఖ F పై నిర్వచించబడింది అని చెబుతారు. బీజగణిత జ్యామితి సాధారణంగా F లో నిరూపకాలను కలిగిన బిందువులను మాత్రమే కాకుండా బీజగణితంగా మూసివేయబడిన ఒక ఫీల్డ్ K లో నిరూపకాలను కలిగిన అన్ని బిందువులను పరిగణిస్తుంది.

C అనేది ఒక బహుపది f ద్వారా F లో గుణకాలతో నిర్వచించబడిన ఒక వక్రరేఖ అయితే, ఆ వక్రరేఖ F పై నిర్వచించబడిందని చెప్పవచ్చు.

వాస్తవ సంఖ్యల (real numbers) పై నిర్వచించబడిన వక్రరేఖ విషయంలో, ఎవరైనా సాధారణంగా సంక్లిష్ట (complex) నిరూపకాలతో కూడిన బిందువులను పరిశీలిస్తారు. ఈ సందర్భంలో వాస్తవ నిరూపకాలతో కూడిన బిందువు వాస్తవ బిందువు అవుతుంది. అలా వాస్తవ బిందువుల సమితి అంతా కలిస్తే వక్రరేఖ వాస్తవ భాగం ఏర్పడుతుంది. అందువల్ల బీజగణిత వక్రరేఖ వాస్తవ భాగం మాత్రమే టోపోలాజికల్ వక్రరేఖగా ఉంటుంది (ఇది ఎల్లప్పుడూ నిజం కాదు, ఎందుకంటే బీజగణిత వక్రరేఖ వాస్తవ భాగం డిస్‌కనెక్ట్ అయి ఒంటరి బిందువులను కూడా కలిగి ఉండవచ్చు). వక్రరేఖ మొత్తం దాని సంక్లిష్ట బిందువుల సమితి కాబట్టి, ఇది టోపోలాజికల్ దృక్కోణం నుండి ఒక ఉపరితలమే అవుతుంది. ముఖ్యంగా, నాన్‌సింగులర్ (nonsingular) కాంప్లెక్స్ ప్రొజెక్టివ్ బీజగణిత వక్రరేఖలను రీమాన్ ఉపరితలాలు (Riemann surfaces) అని పిలుస్తారు.

ఫీల్డ్ G లో నిరూపకాలను కలిగిన వక్రరేఖ C కి సంబంధించిన బిందువులు G పై హేతుబద్ధమైనవని (rational) చెబుతారు. వీటిని C(G) తో సూచించవచ్చు. G అనేది అకరణీయ సంఖ్యల (rational numbers) ఫీల్డ్ అయినప్పుడు, మనం సాధారణంగా హేతుబద్ధమైన బిందువుల గురించి మాట్లాడుతాము. ఉదాహరణకు, ఫెర్మాట్స్ లాస్ట్ థీరం (Fermat's Last Theorem) ని ఈ విధంగా తిరగరాయవచ్చు: "డిగ్రీ n ఫెర్మాట్ వక్రరేఖకు సంబంధించిన ప్రతీ హేతుబద్ధమైన బిందువు ఒక జీరో కోఆర్డినేట్‌ని కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ n > 2 అవుతుంది."

బీజగణిత వక్రరేఖలు స్పేస్ వక్రరేఖలు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ డైమెన్షన్ గల వక్రరేఖలు కావచ్చు, ఉదాహరణకు n. వాటిని ఒక డైమెన్షన్ గల బీజగణిత రకాలుగా (algebraic varieties) నిర్వచిస్తారు. వాటిని n వేరియబుల్స్ ఉన్న కనీసం n–1 బహుపది సమీకరణాల సాధారణ పరిష్కారాలుగా పొందవచ్చు. n డైమెన్షన్ ఉన్న స్పేస్‌లో ఒక వక్రరేఖను నిర్వచించడానికి n–1 బహుపదులు సరిపోతే, ఆ వక్రరేఖ ఒక కంప్లీట్ ఇంటర్‌సెక్షన్ అవుతుంది. వేరియబుల్స్‌ను తీసివేయడం ద్వారా (ఎలిమినేషన్ థియరీకి చెందిన ఏదైనా పద్ధతిని ఉపయోగించి), ఒక బీజగణిత వక్రరేఖను ఒక సమతల బీజగణిత వక్రరేఖపై ప్రొజెక్ట్ చేయవచ్చు, అయినప్పటికీ ఇది కస్ప్స్ (cusps) లేదా డబుల్ పాయింట్స్ (double points) వంటి కొత్త అసాధారణతలను ప్రవేశపెట్టవచ్చు.

ఒక సమతల వక్రరేఖను ప్రొజెక్టివ్ సమతలంలో ఒక వక్రరేఖగా కూడా పూర్తి చేయవచ్చు: మొత్తం డిగ్రీ d ఉన్న బహుపది f ద్వారా వక్రరేఖ నిర్వచించబడితే, అప్పుడు w^df(u/w, v/w) అనేది డిగ్రీ d ఉన్న ఒక సజాతీయ బహుపది (homogeneous polynomial) g(u, v, w) కి సులభతరం అవుతుంది. వక్రరేఖ పూర్తయిన తర్వాత ప్రొజెక్టివ్ సమతలంలో ఉండే బిందువుల సజాతీయ నిరూపకాలు (homogeneous coordinates) g(u, v, w) = 0 అయ్యేలా u, v, w విలువలు ఉంటాయి. అలాగే మొదటి వక్రరేఖకు సంబంధించిన బిందువులు w విలువ సున్నా కాకుండా ఉండే విధంగా ఉంటాయి. దీనికి ఒక ఉదాహరణ ఫెర్మాట్ వక్రరేఖ uⁿ + vⁿ = wⁿ, ఇది ఒక ఎఫైన్ రూపం (affine form) xⁿ + yⁿ = 1 ని కలిగి ఉంటుంది. అంతకంటే ఎక్కువ డైమెన్షన్స్ ఉన్న స్పేస్‌లలో వక్రరేఖల కోసం ఇలాంటి హోమోజెనైజేషన్ (homogenization) ప్రక్రియను నిర్వచించవచ్చు.

రేఖలు మినహా, బీజగణిత వక్రరేఖలకు సరళమైన ఉదాహరణలు శంకువులు (conics). ఇవి నాన్‌సింగులర్ వక్రరేఖలు, వీటికి డిగ్రీ రెండు, జీనస్ (genus) సున్నా ఉంటుంది. దీర్ఘవృత్తాకార వక్రరేఖలు (Elliptic curves), ఇవి డిగ్రీ ఒకటి, జీనస్ సున్నా ఉన్న నాన్‌సింగులర్ వక్రరేఖలు. వీటిని నంబర్ థియరీ (number theory) లో అధ్యయనం చేస్తారు. ఇవి క్రిప్టోగ్రఫీలో ముఖ్యమైన అప్లికేషన్లను కలిగి ఉంటాయి.

ఇవి కూడా చూడండి

• కోఆర్డినేట్ వక్రరేఖ
• క్రింకిల్డ్ ఆర్క్
• కర్వ్ ఫిట్టింగ్
• కర్వ్ ఓరియంటేషన్
• కర్వ్ స్కెచింగ్
• వక్రరేఖల అవకలన జ్యామితి
• వక్రరేఖల గ్యాలరీ
• వక్రరేఖల సూచిక
• వక్రరేఖల అంశాల జాబితా
• వక్రరేఖల జాబితా
• ఆస్క్యులేటింగ్ వృత్తం
• పారామెట్రిక్ ఉపరితలం
• మార్గం (టోపోలాజీ)
• బహుభుజి వక్రరేఖ
• పొజిషన్ వెక్టర్
• వెక్టర్-విలువ కలిగిన ప్రమేయం
  • అనంత-డైమెన్షనల్ వెక్టర్ ఫంక్షన్
• వైండింగ్ నంబర్

మరింత చదవడానికి

• మూస:Springer
• మూస:Springer
• యూక్లిడ్, T. L. హీత్ ద్వారా అనువాదం, వ్యాఖ్యానం, ఎలిమెంట్స్ వాల్యూమ్ 1 (1908 కేంబ్రిడ్జ్) Google Books
• ఇ. హెచ్. లాక్‌వుడ్ ఎ బుక్ ఆఫ్ కర్వ్స్ (1961 కేంబ్రిడ్జ్)

బాహ్య లింకులు

• ఫేమస్ కర్వ్స్ ఇండెక్స్, స్కూల్ ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్ అండ్ స్టాటిస్టిక్స్, యూనివర్శిటీ ఆఫ్ సెయింట్ ఆండ్రూస్, స్కాట్లాండ్
• గణిత వక్రరేఖలు 874 ద్విమితీయ గణిత వక్రరేఖల సేకరణ
• వృత్తాలతో తయారు చేసిన స్పేస్ కర్వ్‌ల గ్యాలరీ, పీటర్ మోసెస్ యానిమేషన్‌లను కలిగి ఉంది
• బిషప్ కర్వ్స్ అండ్ అదర్ స్పెరికల్ కర్వ్స్ గ్యాలరీ, పీటర్ మోసెస్ యానిమేషన్‌లను కలిగి ఉంది
• ఎన్‌సైక్లోపీడియా ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్ వారి రేఖల Archived 2019-05-05 at the Wayback Machine ఆర్టికల్.
• మానిఫోల్డ్ అట్లాస్ పేజీలో 1-మానిఫోల్డ్స్.