శాతం

వికీమీడియా ఫౌండేషన్ వెబ్‌సైట్లను సందర్శించిన వినియోగదారుల వెబ్ బ్రౌజర్‌ల వినియోగ శాతాన్ని చూపించే పై చార్ట్ (ఏప్రిల్ 2009 – 2012)

గణితశాస్త్రంలో శాతం (Percentage, Percent లేదా Per cent; ) అనేది 100లో భాగంగా వ్యక్తీకరించిన ఒక సంఖ్య లేదా నిష్పత్తి. దీనిని సాధారణంగా శాతం గుర్తు (%) ద్వారా సూచిస్తారు. అలాగే pct., pct,, కొన్నిసార్లు pc అనే సంక్షిప్త రూపాలు కూడా ఉపయోగిస్తారు.

శాతం అనేది పరిమాణరహిత సంఖ్య (శుద్ధ సంఖ్య) అయినప్పటికీ, దీనిని ప్రధానంగా నిష్పత్తులు, భాగాలను వ్యక్తీకరించడానికి ఉపయోగిస్తారు. అయినప్పటికీ, దాని లేఖన విధానం, వినియోగం దృష్ట్యా శాతాన్ని ఒక కొలమాన ప్రమాణంగానూ పరిగణిస్తారు.

ఉదాహరణలు

ఉదాహరణకు, 45% (నలభై ఐదు శాతం అని చదువుతారు) అనేది ⁠45/100⁠ భిన్నానికి లేదా 0.45 కు సమానం.

శాతాలను సాధారణంగా ఒక మొత్తంలో భాగాన్ని లేదా నిష్పత్తిని తెలియజేయడానికి ఉపయోగిస్తారు.

(అదేవిధంగా, ఒక సంఖ్యను 1,000లో భాగంగా వ్యక్తీకరించడానికి పర్ మిల్ (per mille) అనే పదం లేదా "‰" అనే గుర్తును ఉపయోగిస్తారు.)

ఉదాహరణ 1

ఒక తరగతిలోని మొత్తం విద్యార్థులలో 50% మంది బాలురు అయితే, ప్రతి 100 మంది విద్యార్థులలో 50 మంది బాలురని అర్థం. ఆ తరగతిలో మొత్తం 500 మంది విద్యార్థులు ఉంటే, వారిలో 250 మంది బాలురు అవుతారు.

ఉదాహరణ 2

$2.50 ధర ఉన్న వస్తువు ధర $0.15 పెరిగితే, ఆ పెరుగుదల ⁠0.15/2.50⁠ = 0.06 అనే భిన్నానికి సమానం. దీన్ని శాతంగా వ్యక్తీకరిస్తే, అది 6% ధర పెరుగుదల అవుతుంది.

చాలా శాతం విలువలు 0, 100 మధ్య ఉన్నప్పటికీ, గణితపరంగా శాతాలకు అలాంటి పరిమితి లేదు. శాతం విలువలు 100 కంటే ఎక్కువగా లేదా ప్రతికూల (ఋణ) విలువలుగానూ ఉండవచ్చు.

ఉదాహరణకు, శాతం మార్పులు (percent changes) లేదా పోలికల సందర్భంలో 111% లేదా −35% వంటి విలువలను ఉపయోగించడం సాధారణమే.

చరిత్ర

ప్రాచీన రోమ్లో, దశాంశ పద్ధతి ఉనికిలోకి రావడానికి చాలా కాలం ముందే, గణనలు తరచుగా ⁠1/100⁠ యొక్క గుణితాల ఆధారంగా భిన్నాల రూపంలో నిర్వహించబడేవి. ఉదాహరణకు, ఆగస్టస్ వేలంలో విక్రయించిన వస్తువులపై centesima rerum venalium అని పిలువబడే ⁠1/100⁠ పన్నును విధించాడు. ఈ భిన్నాలతో చేసిన గణనలు నేటి శాతం గణనలకు సమానమైనవిగా ఉండేవి.

మధ్యయుగాల్లో ద్రవ్య వ్యవస్థల విలువలు పెరుగుతూ రావడంతో, 100 ను హారంగా (denominator) ఉపయోగించే గణనలు మరింత ప్రామాణికమయ్యాయి. ఫలితంగా, 15వ శతాబ్దం చివరి భాగం నుండి 16వ శతాబ్దం ఆరంభం వరకు, అంకగణిత గ్రంథాలలో ఇటువంటి గణనలను చేర్చడం సాధారణమైంది. ఈ గ్రంథాలలో అనేకం లాభనష్టాలు, వడ్డీ రేట్లు, అలాగే త్రైరాశిక నియమం (Rule of Three) వంటి అంశాలకు ఈ పద్ధతులను అన్వయించాయి. 17వ శతాబ్దానికి వచ్చేసరికి, వడ్డీ రేట్లను శతాంశాల రూపంలో పేర్కొనడం సాధారణ పద్ధతిగా మారింది.

శాతం గుర్తు

ప్రధాన వ్యాసం: శాతం గుర్తు

శాతం గుర్తు (%)

“శాతం” (percent) అనే పదం లాటిన్ భాషలోని per centum నుండి ఉద్భవించింది. దీనికి “వందకు” లేదా “వందలో” అనే అర్థం ఉంది.

“శాతం” గుర్తు ఇటాలియన్ భాషలోని per cento (“వందకు”) అనే పదబంధం క్రమంగా సంక్షిప్త రూపం పొందడం ద్వారా ఏర్పడింది. ఇందులోని per అనే పదాన్ని సాధారణంగా “p.” అని సంక్షిప్తీకరించేవారు; కాలక్రమేణా అది పూర్తిగా లుప్తమైంది. cento అనే పదం రెండు వృత్తాలుగా, వాటి మధ్య ఒక సమాంతర గీతతో కూడిన రూపంగా సంక్షిప్తమై, చివరకు ఆధునిక “%” గుర్తుగా పరిణామం చెందింది.

గణనలు

శాతం విలువను కనుగొనడానికి, నిష్పత్తి యొక్క సంఖ్యాత్మక విలువను 100తో గుణించాలి. ఉదాహరణకు, 1,250 యాపిళ్లలో 50 యాపిళ్లు ఎంత శాతం అవుతాయో తెలుసుకోవాలంటే, ముందుగా ⁠50/1250⁠ = 0.04 అనే నిష్పత్తిని గణించి, దానిని 100తో గుణిస్తే 4% వస్తుంది.

శాతం విలువను మరో విధంగా కూడా కనుగొనవచ్చు. ముందుగా 50ను 100తో గుణిస్తే 5,000 వస్తుంది. ఆ తరువాత 5,000ను 1,250తో భాగిస్తే 4 వస్తుంది. కాబట్టి ఫలితం 4% అవుతుంది.

ఒక శాతంలో మరో శాతాన్ని గణించాలంటే, రెండు శాతాలనూ 100లో భిన్నాలుగా లేదా దశాంశాలుగా మార్చి గుణించాలి. ఉదాహరణకు, 40% లో 50%:

⁠50/100⁠ × ⁠40/100⁠ = 0.50 × 0.40 = 0.20 = ⁠20/100⁠ = 20%.

ఒకేసారి 100తో భాగించి శాతం గుర్తు (%)ను ఉపయోగించడం సరైనది కాదు; అలా చేస్తే వాస్తవానికి 10,000తో భాగించినట్లవుతుంది. ఉదాహరణకు,

25% = ⁠25/100⁠ = 0.25

అయితే

⁠25%/100⁠

అనేది సరైనది కాదు, ఎందుకంటే అది

⁠25⁄100/100⁠ = 0.0025

కు సమానం అవుతుంది.

అదేవిధంగా ⁠100/100⁠% వంటి వ్యక్తీకరణ కూడా తప్పు. దాన్ని “1 శాతం”గా చదువుతారు, అయితే ఉద్దేశం “100 శాతం” అని చెప్పడం కావచ్చు.

శాతం గురించి మాట్లాడేటప్పుడు అది ఏ మొత్తానికి సంబంధించిందో (అంటే 100% ఏ మొత్తాన్ని సూచిస్తుందో) స్పష్టంగా పేర్కొనడం చాలా ముఖ్యం. కింది ఉదాహరణ దీనిని వివరిస్తుంది.

ఒక కళాశాలలో మొత్తం విద్యార్థులలో 60% మంది మహిళలు. మొత్తం విద్యార్థులలో 10% మంది కంప్యూటర్ సైన్స్ విద్యార్థులు. మహిళా విద్యార్థులలో 5% మంది కంప్యూటర్ సైన్స్ చదువుతున్నారు. అయితే కంప్యూటర్ సైన్స్ విద్యార్థులలో మహిళల శాతం ఎంత?

ఇక్కడ మనం కంప్యూటర్ సైన్స్ చదువుతున్న మహిళల నిష్పత్తిని మొత్తం కంప్యూటర్ సైన్స్ విద్యార్థులతో పోల్చాలి.

మొత్తం విద్యార్థులలో 60% మంది మహిళలు అని తెలుసు. వారిలో 5% మంది కంప్యూటర్ సైన్స్ విద్యార్థులు. కాబట్టి:

⁠60/100⁠ × ⁠5/100⁠ = ⁠3/100⁠

అంటే మొత్తం విద్యార్థులలో 3% మంది మహిళా కంప్యూటర్ సైన్స్ విద్యార్థులు.

ఇప్పుడు మొత్తం విద్యార్థులలో 10% మంది కంప్యూటర్ సైన్స్ విద్యార్థులు కాబట్టి:

⁠3%/10%⁠ = ⁠1/30}{100⁠ = 30%

అందువల్ల, కంప్యూటర్ సైన్స్ విద్యార్థులలో 30% మంది మహిళలు.

ఈ ఉదాహరణ షరతులతో కూడిన సంభావ్యత (conditional probability) అనే భావనతో సన్నిహిత సంబంధం కలిగి ఉంది.

గుణకారంలోని వినిమయ ధర్మం (commutative property) ప్రకారం, గుణించే క్రమాన్ని మార్చినా ఫలితం మారదు. ఉదాహరణకు:

• 20 యొక్క 50% = 10
• 50 యొక్క 20% = 10

ఈ రెండు సందర్భాల్లోనూ ఫలితం ఒకటే.

శాతం గణన యొక్క వైవిధ్యాలు

శాతాల గణనను, విద్యార్థుల ముందస్తు పరిజ్ఞానం, అవసరాలను బట్టి, వివిధ పద్ధతులలో నిర్వహిస్తారు, బోధిస్తారు. ఈ విధంగా సాధారణ సూత్రాలను నిష్పత్తిల ద్వారా కూడా పొందవచ్చు; తద్వారా వాటిని కంఠస్థం చేసుకోవలసిన అవసరం ఉండదు. మానసిక గణితం (mental arithmetic)లో సాధారణంగా “100% ఎంత?” లేదా “1% ఎంత?” అనే మధ్యంతర ప్రశ్నను అడుగుతారు.

ఉదాహరణ:

42 కిలోగ్రాములు 7% అయితే, 100% ఎంత?

ఇక్కడ:

• W = శాతం విలువ (Percentage value)
• p% = శాతం (Percentage rate)
• G = మూల విలువ (Base value)

మనకు తెలిసినవి: W = 42 kg, p = 7%

కనుగొనవలసినది: G

సాధారణ సూత్రంతో	నిష్పత్తి సమీకరణంతో (Proportion)	“1% ఎంత?” పద్ధతి (త్రైరాశిక నియమం)
${\frac {p\,\%}{100\,\%}}={\frac {W}{G}}$ దీనిని పునర్వ్యవస్థీకరిస్తే: $G={\frac {W}{p\,\%}}\cdot 100\,\%$ $G={\frac {42\,kg}{7\,\%}}\cdot 100\,\%=600\,kg$	${\frac {G}{42\,kg}}={\frac {100\,\%}{7\,\%}}$ సరళీకరిస్తే: $G={\frac {42\,kg}{7\,\%}}\cdot 100\,\%=600\,kg$	${\frac {42\,kg\div 7}{7\,\%\div 7}}={\frac {6\,kg}{1\,\%}}$ తర్వాత: ${\frac {6\,kg\times 100}{1\,\%\times 100}}$ అందువల్ల: $G=6\,kg\times 100=600\,kg$
ప్రయోజనం: • అన్ని రకాల సమస్యలకు ఒకే సూత్రం	ప్రయోజనాలు: • సూత్రం అవసరం లేదు • కావలసిన పరిమాణాన్ని నిష్పత్తి పట్టికలో సులభంగా గుర్తించవచ్చు (ఇక్కడ G)	ప్రయోజనాలు: • సూత్రం అవసరం లేదు • సరళమైన త్రైరాశిక నియమం • మానసిక గణనకు అనుకూలం

శాతం పెరుగుదల, తగ్గుదల

రెండవ సుగంధ ద్రవ్యం కొనుగోలుపై 20% ధర తగ్గింపును ప్రకటిస్తున్న ఫ్రాన్స్‌లోని బోర్డో నగరంలోని ఒక దుకాణం వెలుపల ఉన్న ప్రకటన ఫలకం.

వినియోగంలో ఉన్న అసంగతతల కారణంగా, ఒక శాతం ఏ విలువకు సంబంధించి చెప్పబడుతోందో సందర్భాన్ని బట్టి ఎల్లప్పుడూ స్పష్టంగా ఉండకపోవచ్చు. ఒక పరిమాణంలో "10% పెరుగుదల" లేదా "10% తగ్గుదల" గురించి మాట్లాడినప్పుడు, సాధారణంగా అది ఆ పరిమాణం యొక్క ప్రారంభ విలువకు సంబంధించి ఉందని అర్థం చేసుకుంటారు.

ఉదాహరణకు, ఒక వస్తువు ప్రారంభ ధర $200 అనుకుందాం. దాని ధర 10% పెరిగితే (అంటే $20 పెరిగితే), కొత్త ధర $220 అవుతుంది. ఈ తుది ధర ప్రారంభ ధరలో 110% (100% + 10% = 110%) కు సమానం.

శాతం మార్పులకు సంబంధించిన మరికొన్ని ఉదాహరణలు:

• ఒక పరిమాణంలో 100% పెరుగుదల జరిగితే, తుది పరిమాణం ప్రారంభ పరిమాణానికి 200% అవుతుంది (ప్రారంభ 100% + పెరుగుదల 100% = 200%). మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఆ పరిమాణం రెండింతలు అవుతుంది.
• 800% పెరుగుదల జరిగితే, తుది పరిమాణం అసలు పరిమాణానికి 9 రెట్లు అవుతుంది (100% + 800% = 900% = 9 రెట్లు).
• 60% తగ్గుదల జరిగితే, తుది పరిమాణం అసలు పరిమాణంలో 40% మాత్రమే ఉంటుంది (100% − 60% = 40%).
• 100% తగ్గుదల జరిగితే, తుది పరిమాణం సున్నా అవుతుంది (100% − 100% = 0%).

సాధారణంగా, ఒక పరిమాణంలో x శాతం మార్పు జరిగితే, తుది పరిమాణం అసలు పరిమాణంలో 100 + x శాతానికి సమానం అవుతుంది. (లేదా సమానార్థకంగా, అసలు పరిమాణాన్ని (1 + 0.01x) తో గుణించినంత అవుతుంది.)

ఈ మార్పులలో ఒక ముఖ్యమైన లక్షణం ఏమిటంటే, అవి సమానంగా తిరిగి మారవు (non-symmetrical reversibility). ఒక శాతం పెరుగుదల తరువాత అసలు విలువకు తిరిగి రావడానికి అదే శాతం తగ్గుదల సరిపోదు; వేరే శాతం తగ్గుదల అవసరం.

ఉదాహరణకు, $100 నుండి $125కి 25% పెరుగుదల జరిగినట్లయితే, అసలు $100 విలువకు తిరిగి రావడానికి $125పై 20% తగ్గుదల అవసరం అవుతుంది.

ఈ పరస్పర సంబంధాలను అర్థం చేసుకోవడం ధరల పెంపు (markup), లాభ మార్జిన్ (margin) గణనలలో ముఖ్యమైనది. ఈ సందర్భాలలో “తిరోగమన శాతం” (reversing percentage) ను క్రింది సూత్రంతో గణిస్తారు:

(1/(1+r))-1

ఇక్కడ r అనేది ప్రారంభ శాతం మార్పు రేటు.