సంకలిత గుర్తింపు

గణితంలో, సంకలన చర్యతో కూడిన సమితి సంకలిత గుర్తింపు అనేది ఒక మూలకం, దీనిని సమితిలోని ఏదైనా మూలకానికి x జోడించినప్పుడు, x వస్తుంది. అత్యంత సుపరిచితమైన సంకలన గుర్తింపులలో ఒకటి ప్రాథమిక గణితం నుండి సంఖ్య 0, కానీ సంకలన గుర్తింపులు సమూహాలు, వలయాలు వంటి సంకలనం నిర్వచించబడిన ఇతర గణిత నిర్మాణాలలో సంభవిస్తాయి.

ప్రాథమిక ఉదాహరణలు

• నుండి తెలిసిన సంకలిత గుర్తింపు ప్రాథమిక గణితం సున్నా, సూచించబడుతుంది 0. ఉదాహరణకు,

  $5+0=5=0+5.$

• లో సహజ సంఖ్యలు $\mathbb {N}$ (0 చేర్చబడితే), పూర్ణాంకాలు $\mathbb {Z} ,$ ది హేతుబద్ధ సంఖ్యలు $\mathbb {Q} ,$ ది వాస్తవ సంఖ్యలు $\mathbb {R} ,$ సంక్లిష్ట సంఖ్యలు $\mathbb {C} ,$ సంకలిత గుర్తింపు 0. ఇది ఒక కోసం చెప్పారు సంఖ్య n ఈ సమితులలో దేనినైనా,

  $n+0=n=0+n.$

అధికారిక నిర్వచనం

N అనేది సంకలన క్రియ ద్వారా మూసివేయబడిన సమూహం అనుకుందాం, దానిని + అని సూచిస్తారు. N కి సంకలిత గుర్తింపు, e అని సూచించబడుతుంది, ఇది N లోని ఒక మూలకం, అంటే N లోని ఏదైనా మూలకం n కి,

$e+n=n=n+e.$

మరిన్ని ఉదాహరణలు

• ఒక లో సమూహం, సంకలిత గుర్తింపు గుర్తింపు మూలకం సమూహం, తరచుగా 0 గా సూచించబడుతుంది, ప్రత్యేకమైనది (రుజువు కోసం క్రింద చూడండి).
• A రింగ్ లేదా క్షేత్రం ఇది సంకలనం ఆపరేషన్ కింద ఒక సమూహం, అందువలన ఇవి కూడా ఒక ప్రత్యేకమైన సంకలిత గుర్తింపు 0 కలిగి ఉంటాయి. ఇది నిర్వచించబడింది గుణకార గుర్తింపు 1 రింగ్ (లేదా ఫీల్డ్) ఒకటి కంటే ఎక్కువ మూలకాలను కలిగి ఉంటే. సంకలిత గుర్తింపు, గుణకార గుర్తింపు ఒకే విధంగా ఉంటే, అప్పుడు రింగ్ సామాన్యమైనది (క్రింద చూపబడింది).
• రింగ్ లో M_{m × n}(R) mద్వారా-n మాతృకలు ఒక రింగ్ మీద R, సంకలిత గుర్తింపు సున్నా మాతృక, సూచించబడింది O లేదా 0, m-ద్వారా-n మాతృక ఎంట్రీలు పూర్తిగా ఐడెంటిటీ ఎలిమెంట్ 0 ను కలిగి ఉంటాయి R ఉదాహరణకు, పూర్ణాంకాలపై 2 పేజీల 2 మాతృకలలో $\operatorname {M} _{2}(\mathbb {Z} )$ సంకలిత గుర్తింపు

  $0={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$

• లో క్వాటర్నియన్లు, 0 అనేది సంకలిత గుర్తింపు.
• రింగ్ లో విధులు నుండి $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, ఫంక్షన్ మ్యాపింగ్ 0 కు ప్రతి సంఖ్య సంకలిత గుర్తింపు.
• లో సంకలిత సమూహం వెక్టర్లు లో $\mathbb {R} ^{n},$ మూలం లేదా సున్నా వెక్టర్ ఇది సంకలిత గుర్తింపు.

లక్షణాలు

ఒక సమూహంలో సంకలిత గుర్తింపు ప్రత్యేకమైనది

(G, +) ఒక సమూహం అనుకుందాం, G లోని 0, 0' రెండూ సంకలిత గుర్తింపులను సూచిస్తాయి అనుకుందాం, కాబట్టి G లోని ఏదైనా g కి,

$0+g=g=g+0,\qquad 0'+g=g=g+0'.$

ఇది పైన నుండి అనుసరిస్తుంది

${\color {green}0'}={\color {green}0'}+0=0'+{\color {red}0}={\color {red}0}.$

సంకలిత గుర్తింపు రింగ్ అంశాలను నాశనం చేస్తుంది

కూడికపై పంపిణీ చేసే గుణకార ఆపరేషన్ ఉన్న వ్యవస్థలో, సంకలిత గుర్తింపు అనేది గుణకార శోషక మూలకం, అంటే S లోని ఏదైనా s కి, s · 0 = 0. ఇది ఇలా ఉంటుంది ఎందుకంటే:

${\begin{aligned}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=s\cdot 0-s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=0.\end{aligned}}$

సంకలిత, గుణకార గుర్తింపులు ఒక నాన్-ట్రివియల్ రింగ్లో భిన్నంగా ఉంటాయి

R ను ఒక వలయంగా భావించి, సంకలిత గుర్తింపు 0, గుణకార గుర్తింపు 1 సమానంగా ఉన్నాయని అనుకుందాం, అంటే 0 = 1. r అనేది R ఏదైనా మూలకం అని అనుకుందాం. అప్పుడు

$r=r\times 1=r\times 0=0$

R అనేది అల్పమైనదని నిరూపించడం, అంటే R = {0}. కాబట్టి R అనేది అల్పమైనది కాకపోతే 0 అనేది 1 కి సమానం కాదు అనే విరుద్ధమైన విలువ చూపబడింది.

ఇవి కూడా చూడండి

• 0 (సంఖ్య)
• సంకలిత విలోమం
• గుర్తింపు మూలకం
• గుణకార గుర్తింపు

గ్రంథ పట్టిక

• డేవిడ్ ఎస్. డమ్మిట్, రిచర్డ్ ఎం. ఫూట్, నైరూప్య బీజగణితం, వైలీ (3 వ ఎడిషన్)): 2003, ISBN 0-471-43334-9.

బాహ్య లింకులు

• Uniqueness of additive identity in a ring at PlanetMath.