గ.సా.భా

గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం అన్నది ఇంగ్లీషులోని Greatest Common Divisor కి ముక్కస్య ముక్క అనువాదం. దీనిని ఇంగ్లీషులో సంక్షిప్తంగా GCM అనిన్నీ తెలుగులో గసాభా అనిన్నీ అంటారు. దీనిని Greatest Common Factor అని కూడ పిలుస్తారు.

రెండుగానీ అంతకంటే ఎక్కువ గానీ సంఖ్యల సామాన్య భాజకంలోని గరిష్ఠ భాజకాన్ని ఆ సంఖ్యల గరిష్ట సామాన్య భాజకం అంటారు. రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు క, చ ఉన్నాయనుకుందాం. ఇప్పుడు క, చ ల ని రెండింటిని నిశ్శేషంగా భాగించగలిగే కారణాంకాలలో గరిష్ఠ సంఖ్య ఏదో అదే ఈ రెండింటి గసాభా.

ఉదాహరణకి, గసాభా (20, 16) = 4. ఇక్కడ 20 కీ 16 కీ 4 కంటె పెద్దవయిన కారణాంకాలు ఉన్నాయి కాని, రెండింటికి ఉమ్మడిగా ఉన్న కారణాంకాలలో 4 అతి పెద్దది.

దీనిని రెండు రకాలుగా విలువ కట్టవచ్చు:

• భాగహార పద్ధతి: మొదట పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో భాగించాలి. ఈ క్రమంలో వచ్చిన శేషాలతో భాజకాలను భాగించుకుంటూ పోవాలి. శేషం సున్నా ఇచ్చే భాజకమే గ.సా.భా అవుతుంది.
• కారణాంకాల పద్ధతి: రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల గ.సా.భా కనుక్కోవడానికి, ఆ సంఖ్యలను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజించాలి. ఆ తర్వాత వాటిలోని ఉమ్మడి కారణాంకాల లబ్ధమే గ.సా.భా అవుతుంది.

నిర్వచనాలు

Divisor = విభాజకం = భిన్నంలో హారం = పంచవలసిన భాగాలు
Dividend = విభాజ్యం = భిన్నంలో లవం = పంచవలసిన మొత్తం
Remainder = శేషం = భాగారం చెయ్యగా మిగిలినది = పంచగా మిగిలినది
Quotient = లబ్దం = ఒకొక్కరికి వచ్చిన భాగం

==గణన సూత్రం 1: విభాజకాలు ఉపయోగించి==
విభాజ్యం = (విభాజకం) * లబ్దం + శేషం
dividend = (divisor) * (quotient) + remainder

ఉదాహరణ1: గసాభా (32, 5) = ?

• ఇచ్చిన రెండు సంఖ్యలలో పెద్ద దానిని విభాజ్యం అను. చిన్న దానిని విభాజకం అను:

విభాజ్యం = 32, విభాజకం = 5

• విభాజ్యాన్ని విభాజకం చేత భాగించి, పై సమీకరణాన్ని పూర్తి చెయ్యి:

32 = 5 * 6 + 2

• పాత విభాజకాన్ని విభాజ్యంగాను, శేషాన్ని కొత్త విభాజకంగాను రాసి పై సమీకరణాన్ని మళ్, మళ్లా, శేషం 0 అయేవరకు పూర్తి చెయ్యి:

5 = 2 * 2 + 1
2 = 1 * 2 + 0

• చివరికి మిగిలినది గసాభా. అనగా, ఇక్కడ గసాభా = 1

ఉదాహరణ 2: గసాభా (108, 30) = ?

108 = 30 * 3 + 18
30 = 18 * 1 + 12
18 = 12 * 1 + 6
12 = 6 * 2 + 0

• కనుక గసాభా (108, 30) = 6

గణన సూత్రం 2: ప్రధాన కారణాంకాలు ఉపయోగించి

ఉదాహరణ 1: గసాభా (24, 18) = ?

• ఇచ్చిన సంఖ్యలని ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయి

24 = 2 * 2 * 2 * 3
18 = 2 * 3 * 3

• రెండింటిలోను ఉమ్మడిగా ఉన్న కారణాంకాలని గుర్తించు (ఇక్కడ బొద్దు అక్షరాలతో చూపిద్దాం)

24 = 2 * 2 * 2 * 3
18 = 2 * 3 * 3

• ఉమ్మడి కారణాంకాలని గుణించు.

ఇక్కడ 2, 3 ఉమ్మడి కారణాంకాలు. వీటిని గుణించగా 6 వచ్చింది. కనుక
గసాభా (24, 18) = 6

గసాభా విలువ కట్టడానికి కూట క్రమణిక

ఉదాహరణకి పైన చూపిన విభజన పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ దిగువ చూపిన కూట క్రమణిక (en:pseudocode) రాయవచ్చు:

function gcd(a, b)
    while b ≠ 0
       t := b
       b := a mod b
       a := t
    return a