స్థూపం: కూర్పుల మధ్య తేడాలు

చరిత్రలో దిద్దుబాట్లను ఎంపిక చేసుకుంటూ తేడాలు చూడండి

Content deleted Content added

Inline

14:13, 25 అక్టోబరు 2019 నాటి కూర్పు

స్థూపం అనగా గణితంలో వచ్చే స్తంబం వంటి ఆకారం. ఇది త్రిమితీయ ఘనాకారం. ఇది పైన, క్రింది భాగాలు వృత్తాకార తలాలు గల డబ్బా వంటి నిర్మాణం^[1]. ఒక చతురస్రం భుజాన్ని, దీర్ఘచతురస్ర పొడవు లేదా వెడల్పులను అక్షంగా తీసుకొని వృత్తాకారంగా చుట్టడం వల్ల స్థూపాకారం తయారుచేయవచ్చు. ఈ స్థూపాలను స్తంబాలని కూడా వ్యవహరిస్తారు. మనం రేఖాఖండాలు గీయడానికి ఉపయోగించే రూళ్ల కర్ర కూడా స్థూపాకారంగానే ఉంటుంది. నిత్య జీవితంలో స్తంబాలు అనేక రకాల త్రిమితీయ ఆకారాలలో ఉన్నప్పటికీ గణిత శాస్త్రంలో మాత్రం పై నుండి క్రింది వరకు ఒకే చుట్టుకొలత గల సమవృత్తాకార స్థూపంగానే పరిగణించాలి^[2].

ఘనపరిమాణం

ఒక వృత్తాకార భూమి గల స్థూపం భూవ్యాసార్థం $r$ , స్థూపం ఎత్తు $h$ అయిన దాని ఘనపరిమాణం:

V = π r 2 h

.

ఈ సూత్రం లంబంగా ఉండే స్థూపాలకు వర్తిస్తుంది. ^[3]

ఈ సూత్రాన్ని కావలెరి సూత్రం ద్వారా కూడా ఉత్పాదించవచ్చు.

సాధారణంగా అదే నియమం ప్రకారం ఒక స్థూపం ఘనపరిమాణం దాని భూవైశాల్యం, ఎత్తుల లబ్దానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు దీర్ఘ స్థూపం లోని భూమి దీర్ఘ వృత్తాకారంలో ఉన్నందున దాని యొక్క దీర్ఘాక్షం $a$ , హ్రస్వాక్షం $b$ మరియు దాని ఎత్తు $h$ అయిన దాని ఘనపరిమాణం $V = Ah$ అవుతుంది. దానిలో $A$ అనేది దీర్ఘ వృత్తాకార భూమి వైశాల్యం (= $π ab$ ). సమ దీర్ఘ వృత్తాకార స్థూపం యొక్క ఈ ఫలితాన్ని సమాకలనం ద్వారా కూడా పొందవచ్చు. అందులో స్థూపం యొక్క అక్షాన్ని ధనాత్మక $x$ -అక్షంగానూ, $A (x) = A$ ను ప్రతీ దీర్ఘవృత్తాకార మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యంగా తీసుకుంటారు. అపుడు:

V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.

స్థూపాకార అక్షాలను ఉపయోగిస్తే సమ వృత్తాకార స్థూపం యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని సమాకలనం ద్వారా గణించవచ్చు.

=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz

=\pi \,r^{2}\,h.

ఉపరితల వైశాల్యం

ఒక సమ వృత్తాకార స్థూపంలో భూవ్యాసార్థం $r$ , ఎత్తు $h$ అయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం, అది నిలువుగా ఉన్నప్పుడు గల మూడు అంశాల మొత్తంగా చెప్పవచ్చు.ఆ మూడు అంశాలు:

పై భాగం వైశ్యాల్యం : $π r 2$
క్రింది భాగం వైశాల్యం: $π r 2$
వక్రతల వైశాల్యం: $2π rh$

స్థూపం యొక్క పై, క్రింది భాగాల వైశాల్యాలు సమానం. దీనిని భూవైశాల్యం ( $B$ ) అందురు. ప్రక్క తలం యొక్క వైశాల్యాన్ని వక్రతల వైశాల్యం ( $L$ ) అందురు.

పైన, క్రింద తలాలు లేని స్థూపానికి వక్ర తలం మాత్రమే ఉంటుంది. అందువలన దాని ఉపరితల వైశాల్యం:

L = 2π rh

.

ఒక ఘన సమ వృత్తాకార స్థూపం ఉపరితల వైశాల్యం దాని మూడు అంశాల మొత్తంగా చెప్పవచ్చు: పైభాగం, క్రింది భాగం మరియు ప్రక్క తలం. దాని ఉపరితల వైశాల్యం,

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r 2 = 2π r (h + r) = π d (r + h)

,

అందులో $d = 2 r$ అనునది స్థూపం పైభాగం లేదా క్రింది భాగం యొక్క వ్యాసం. ^[4]

మూలాలు

↑ κύλινδρος Archived 2013-07-30 at the Wayback Machine, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
↑ "స్థూప ఘనపరిమాణం తెలుసుకోడం ఎలా? | Prajasakti::Telugu Daily". www.prajasakti.com. Retrieved 2019-08-29.
↑ Wentworth & Smith 1913, p. 359
↑ Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2013), Calculus With Applications, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 178, ISBN 9781461479468, archived from the original on 2018-02-06.

[1] κύλινδρος Archived 2013-07-30 at the Wayback Machine, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus

[2] "స్థూప ఘనపరిమాణం తెలుసుకోడం ఎలా? | Prajasakti::Telugu Daily". www.prajasakti.com. Retrieved 2019-08-29.

[3] Wentworth & Smith 1913, p. 359

[4] Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2013), Calculus With Applications, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 178, ISBN 9781461479468, archived from the original on 2018-02-06.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ పంక్తి 4: / పంక్తి 4: @@
 [[దస్త్రం:Empty tin can2009-01-19.jpg|thumb|స్థూపాకారంగా ఉన్న ఖాళీ డబ్బా|216x216px]]
 స్థూపం అనగా గణితంలో వచ్చే స్తంబం వంటి ఆకారం. ఇది త్రిమితీయ ఘనాకారం. ఇది పైన, క్రింది భాగాలు [[వృత్తము|వృత్తాకార]] తలాలు  గల డబ్బా వంటి నిర్మాణం<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dku%2Flindros κύλινδρος] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130730214825/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dku%2Flindros|date=2013-07-30}}, Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus</ref>. ఒక [[చతురస్రం]] భుజాన్ని, [[దీర్ఘ చతురస్రం|దీర్ఘచతురస్ర]] పొడవు లేదా వెడల్పులను [[అక్షం]]<nowiki/>గా తీసుకొని [[వృత్తము|వృత్తాకారం]]<nowiki/>గా చుట్టడం వల్ల స్థూపాకారం తయారుచేయవచ్చు. ఈ స్థూపాలను స్తంబాలని కూడా వ్యవహరిస్తారు. మనం రేఖాఖండాలు గీయడానికి ఉపయోగించే రూళ్ల కర్ర కూడా స్థూపాకారంగానే ఉంటుంది. నిత్య జీవితంలో స్తంబాలు అనేక రకాల త్రిమితీయ ఆకారాలలో ఉన్నప్పటికీ [[గణితము|గణిత శాస్త్రం]]<nowiki/>లో మాత్రం పై నుండి క్రింది వరకు ఒకే చుట్టుకొలత గల సమవృత్తాకార స్థూపంగానే పరిగణించాలి<ref>{{Cite web|url=http://www.prajasakti.com/Content/1712772|title=స్థూప ఘనపరిమాణం తెలుసుకోడం ఎలా? {{!}} Prajasakti::Telugu Daily|website=www.prajasakti.com|access-date=2019-08-29}}</ref>.
 === ఘనపరిమాణం ===
@@ పంక్తి 24: / పంక్తి 24: @@
 ::: <math>=\int_{0}^{h} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} s \,\, ds \, d\phi \, dz</math>
 ::: <math>=\pi\,r^2\,h.</math>
+=== ఉపరితల వైశాల్యం ===
+ఒక సమ వృత్తాకార స్థూపంలో భూవ్యాసార్థం {{math|''r''}} , ఎత్తు {{mvar|h}} అయిన దాని ఉపరితల వైశాల్యం, అది నిలువుగా ఉన్నప్పుడు గల మూడు అంశాల మొత్తంగా చెప్పవచ్చు.ఆ మూడు అంశాలు:
+* పై భాగం వైశ్యాల్యం : {{math|π''r''<sup>2</sup>}}
+* క్రింది భాగం వైశాల్యం: {{math|π''r''<sup>2</sup>}}
+* వక్రతల వైశాల్యం: {{math|2π''rh''}}
+స్థూపం యొక్క పై, క్రింది భాగాల వైశాల్యాలు సమానం. దీనిని భూవైశాల్యం ({{math|''B''}}) అందురు. ప్రక్క తలం యొక్క వైశాల్యాన్ని వక్రతల వైశాల్యం  ( {{math|''L''}}) అందురు.
+పైన, క్రింద తలాలు లేని స్థూపానికి వక్ర తలం మాత్రమే ఉంటుంది. అందువలన దాని ఉపరితల వైశాల్యం:
+: {{math|1=''L'' = 2π''rh''}}.
+ఒక ఘన సమ వృత్తాకార స్థూపం ఉపరితల వైశాల్యం దాని మూడు అంశాల మొత్తంగా చెప్పవచ్చు: పైభాగం, క్రింది భాగం మరియు ప్రక్క తలం. దాని ఉపరితల వైశాల్యం,
+: {{math|1=''A'' = ''L'' + 2''B'' = 2π''rh'' + 2π''r''<sup>2</sup> = 2π''r''(''h'' + ''r'') = π''d''(''r'' + ''h'')}},
+అందులో {{math|1=''d'' = 2''r''}} అనునది స్థూపం పైభాగం లేదా క్రింది భాగం యొక్క [[వ్యాసం (గణిత శాస్త్రము)|వ్యాసం]]. <ref>{{citation|title=Calculus With Applications|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first1=Peter D.|last1=Lax|author1-link=Peter Lax|first2=Maria Shea|last2=Terrell|publisher=Springer|year=2013|isbn=9781461479468|page=178|url=https://books.google.com/books?id=dDq3BAAAQBAJ&pg=PA178|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20180206163427/https://books.google.com/books?id=dDq3BAAAQBAJ&pg=PA178|archivedate=2018-02-06}}.</ref>
+<br />
+[[దస్త్రం:Zylinder-rohr-s.svg|thumb|242x242px|గుల్లగా ఉన్న  స్థూపం]]

స్థూపం: కూర్పుల మధ్య తేడాలు

14:13, 25 అక్టోబరు 2019 నాటి కూర్పు

ఘనపరిమాణం

ఉపరితల వైశాల్యం

మూలాలు

మార్గదర్శకపు మెనూ

వెతుకు