త్రిభుజం: కూర్పుల మధ్య తేడాలు
K.Venkataramana (చర్చ | రచనలు) |
K.Venkataramana (చర్చ | రచనలు) |
||
పంక్తి 135: | పంక్తి 135: | ||
</table> |
</table> |
||
==బాహ్య కేంద్రాలు== |
==బాహ్య కేంద్రాలు== |
||
[[Image:Incircle and Excircles.svg|right|thumb| |
[[Image:Incircle and Excircles.svg|right|thumb|200px| ఒక త్రిభుజం(నలుపు రంగు) నకు అంతర వృత్తం(నీలి రంగు), బాహ్య వృత్తాలు(ఆరెంజ్ రంగు) వాటి కేంద్రాలు (J<sub>A</sub>,J<sub>B</sub>,J<sub>C</sub>),అంతర కోణ సమద్విఖండన రేఖలు(ఎరుపు రంగు), బాహ్యకోణ సమద్విఖండన రేఖలు(ఆకుపచ్చ రంగు)]] |
||
* [[జ్యామితి]] లో బాహ్యవృత్తము అనునది త్రిభుజం లో ఒక భుజము మరియు మిగిలిన రెండు భుజాలు పొడిగించగా యేర్పదిన రేఖ లను స్పృసిస్తూ పోయే వృత్తము. యివి త్రిభుజానికి మూడు వుంటాయి. |
* [[జ్యామితి]] లో బాహ్యవృత్తము అనునది త్రిభుజం లో ఒక భుజము మరియు మిగిలిన రెండు భుజాలు పొడిగించగా యేర్పదిన రేఖ లను స్పృసిస్తూ పోయే వృత్తము. యివి త్రిభుజానికి మూడు వుంటాయి. |
11:09, 16 జనవరి 2013 నాటి కూర్పు
ఈ వ్యాసం లేదా వ్యాసభాగాన్ని విస్తరించవలసి ఉంది. సముచితమైన సమాచారంతో వ్యాసాన్ని విస్తరించండి. విస్తరణ పూర్తయిన తర్వాత, ఈ నోటీసును తీసివేయండి. |
త్రిభుజం | |
---|---|
కుటుంబం | బహుభుజులు |
రకం | త్రిభుజం |
భుజాలు | AB,BC,CA లేదా c,a,b |
శీర్షాలు | A,B,C |
కోణాల మొత్తం | 180 డిగ్రీలు |
ఒక సమతలంలో మూడు భుజాలు గల సరళ సంవృత పటము ను త్రిభుజం అందురు. దీనిని త్రికోణం, త్రిభుజం లేదా త్రిభుజి (Triangle) అని అంటారు. దీనిని ముక్కోణం అని కూడా అనవచ్చును. A, B, మరియు C శీర్ఘాలుగా గల త్రిభుజాన్ని గా సూచిస్తారు.
లక్షణాలు
- ఇది మూడు భుజములు కలిగియుంటుంది.
- ఈ భుజములను AB, BC,CA గా రెండు బిందువులతో లెదా AB కి ఎదురుగా గల భుజాన్ని 'c' గాను, BC భుజానికి ఎదురుగా గల భుజాన్ని 'a' గాను, అదేవిధంగా CA భుజానికి ఎదురుగా గలభుజాన్ని 'b' తోను సూచిస్తారు.
- ఇది మూడు శీర్షములు కలిగి యుంటుంది. వీటిని ఆంగ్లం లో గల పెద్ద ఆక్షరాలు(capital letters) తో సూచిస్తారు.
- ఇది మూడు కోణములు కలిగి ఉంటుంది.
- ఇది సమతలాన్ని మూడు భాగాలుగా విభజిస్తుంది. అవి అంతరం,బాహ్యం,త్రిభుజం.
- రెండు భుజముల మొత్తం మూడవ భుజం కన్నా ఎక్కువ ఉంటుంది.
- రెందు భుజముల భేదం మూడవ భుజం కన్నా తక్కువ ఉంటుంది.
- ఒక త్రిభుజం లోని మూడు కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు లేదా "పై" రేడియనులు
- త్రిభుజ నిర్మాణానికి మూడు స్వతంత్ర కొలతలు కావాలి. అవి
- మూడు భుజాలు
- రెండు భుజాలు, ఒక కోణం
- ఒక భుజం, రెండు కోణాలు
త్రిభుజాలు రకాలు
భుజాల కొలతలు ఆధారంగా
భుజాల కొలతలు ఆధారంగా త్రిభుజములు మూడు రకములు
- సమబాహు త్రిభుజం
- సమద్విబాహు త్రిభుజం
- విషమబాహు త్రిభుజం
సమత్రికోణం | ద్విసమత్రికోణం | విషమ బాహు |
- మూడు భుజాలు సమానమైతే దానిని 'సమబాహు త్రిభుజం' లేదా సమకోణత్రిభుజం అంటారు. యిందులో ప్రతి కోణం 60 డిగ్రీలు ఉంటుంది.
- ఏవైనా రెండు భుజాలు సమానమైతే దానిని సమద్విబాహు త్రిభుజం అని అంటారు. అందులో రెండు కోణాలు (లేదా రెండు భుజాలు) కూడా సమానంగా ఉంటాయి.సమాన భుజాల ఎదురుగా ఉండే కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.సమాన ఆసన్న కోణాలు కలిగియున్న భుజమును "భూమి" అందురు. యిందిలో భూకోణాలు సమానం.
- మూడు విభిన్న భుజాలు కలిగిన త్రిభుజాన్ని విషమ బాహు త్రిభుజం అందురు. దీనిలో కోణాలు కూడా వేర్వేరుగా ఉంటాయి.
కోణాల కొలతలు ఆధారంగా
కోణల కొలతలు ఆధారంగా త్రిభుజాలు మూడురకములు
- అల్పకోణ త్రిభుజం (లఘుకోణ త్రిభుజం)
- లంబకోణ త్రిభుజం (సమకోణ త్రిభుజం)
- అధిక కోణ త్రిభుజం (గురుకోణ త్రిభుజం)
లంబత్రికోణం | గురు కోణ త్రిభుజం | లఘు కోణ త్రిభుజం |
- ప్రతి కోణమూ 90 డిగ్రీలకన్న తక్కువైతే, ఆ త్రిభుజాన్ని లఘు కోణ త్రిభుజం అంటారు.
- ఒక కోణం గనుక 90 డిగ్రీలు ఉన్నట్లయితే దానిని 'లంబ త్రికోణం' (లేదా) 'లంబ కోణ త్రిభుజం' అంటారు. ప్రసిద్ధి చెందిన పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ఈ విధమైన త్రికోణానికి వర్తిస్తుంది. లంబకోణం ఎదురుగా ఉన్న భుజమును కర్ణం అందురు. ఈ త్రిభుజంలో కర్ణం మీది వర్గం మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గముల మొత్తమునకు సమానము.
- ఏ కోణమైనా 90 డిగ్రీలకన్న ఎక్కువ ఉంటే, ఆ త్రిభుజాన్ని గురు కోణ త్రిభుజం అంటారు. ఈ త్రిభుజంలో పెద్దకోణం ఎదురుగా గల భుజం పెద్ద భుజం అవుతుంది.
త్రిభుజాల సర్వసమానత్వం
భు.భు.భు నియమం
ఒక త్రిభుజంలో మూడు భుజాల కొలతలు రెండవ త్రిభుజంలో మూడు భుజాల కొలతల కు సమానంగా ఉంటే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.
భు.కో.భు నియమం
ఒక త్రిభుజంలో రెండు భుజాలు, ఒక కోణం రెండవ త్రిభుజంలో రెండు భుజాలు, ఒక కోణం నకు సమానంగా ఉన్నచో అవి సర్వసమానాలు.
కో.భు.కో.నియమం
ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజం రెండు కోణాలు రెండవ త్రిభుజంలో ఒక భుజం రెండు కోణాలకు సమానమైన అవి సర్వ సమానాలు.
లం.క.భు నియమం
ఒక లంబ కోణ త్రిభుజంలో లంబకోణము,కర్ణం,భుజం వేరొక త్రిభుజంలో లంబ కోణం,కర్ణము,భుజం లకు సమానమైన అవి సర్వసమానాలు.
చుట్టుకొలత
త్రిభుజ భజాల మొత్తాన్ని త్రిభుజ చుట్టుకొలత ఆంటారు.AB,BC,CA లు త్రిభుజ భుజాలైన AB+BC+CA అనునది త్రిభుజ చుట్టుకొలత అవుతుంది.
త్రిభుజ వైశాల్యం
ఒక త్రిభుజం ఆక్రమించే స్థల పరిమాణాన్ని త్రిభుజ వైశల్యం అందురు.
భూమి ఎత్తు యిచ్చినపుడు త్రిభుజ వైశాల్యం
ఒక త్రిభుజం యొక్క క్రింది భుజమును "భూమి"(base) అందురు. భూమి నుండి ఎదుటి శీర్షము నకు గీయబదిన రేఖా ఖండము యొక్క పొడవు ఆ త్రిభుజం యొక్క "ఎత్తు" అవుతుంది. భూమి మరియు ఎత్తుల లబ్దం లో సగము ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం అవుతుంది.
త్రిభుజ భూమి "b" మరియు ఎత్తు "h" అయినపుడు
త్రిభుజ వైశాల్యము = చదరపు యూనిట్లు.
మూడు భుజాలు యిచ్చినపుడు త్రిభుజ వైశాల్యం
త్రిభుజ భుజాలు a,b,c అయినపుడు వాటి సరాసరి (a+b+c)/2 అవుతుంది. ఈ సరాసరిని "s" గా తీసుకుంటే త్రిభుజ వైశాల్యం s,(s-a),(s-b),(s-c) ల లబ్దానికి వర్గమూలానికి సమానమవుతుంది.
మద్యగత రేఖలు,గురుత్వ కేంద్రం
త్రిభుజములో ఒక భుజం మధ్య బిందువు నుండి ఎదుటి శీర్షానికి గీచిన రేఖాఖండాన్ని మద్యగత రేఖ అందురు. త్రిభుజం లో మద్యగత రెఖలు మిళితములు.ఆ మిళిత బిందువును గురుత్వ కేంద్రం అందురు. దీనిని "G" తో సూచిస్తారు. గురుత్వ కేంద్రం మద్యగత రేఖను 1:2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
- త్రిభుజంలో D,E,F లు వరుసగా BC,CA,AB భుజాల మద్య బిందువులు.
- పటంలో AD,BE,CF లు త్రిభుజ మద్యగతరేఖలు.
- వాటి మిళిత బిందువు గురుత్వకేంద్రం(G) అవుతుంది.
- AG:GD = 2:1
- BG:GE = 2:1
- CG:GF = 2:1
లంబ రేఖలు, లంబకేంద్రం
- త్రిభుజంలో ప్రతి శీర్షం నుండి ఎదుటి భుజమునకు గీయబడిన లంబమును "లంబరేఖ" లేక ఉన్నతి అందురు.
- త్రిభుజ ఉన్నతులు మిళిత రేఖలు. ఈ మిళిత బిందువును లంబ కేంద్రము అందురు. దీనిని "H" తో సూచిస్తారు.
- BC భుజమునకు ఉన్నతి AD
- AB భుజమునకు ఉన్నతి CF
- AC భుజమునకు ఉన్నతి BE
- త్రిభుజ ఉన్నతుల మిళిత బిందువు "H" దాని లంబ కేంద్రం అవుతుంది.
పరివృత్త కేంద్రం
వృత్తము యొక్క మూడు శీర్షముల గుండా పోవు వృత్తాన్ని పరివృత్తం అందురు. త్రిభుజ మూడు భుజాల లంబ సమద్విఖండన రేఖల మిళిత బిందువు పరివృత్త కేంద్రం అవుతుంది. దీనిని "S" తో సూచిస్తారు. పరివృత్త కేంద్రం నుండి త్రిభుజ శీర్షాలు సమాన దూరంలో ఉంటాయి.
- లఘు కోణ త్రిభుజంలో పరివృత్త కేంద్రం త్రిభుజ అంతరం లో ఉంటుంది.
- లంబ కోణ త్రిభుజంలో పరివృత్త కేంద్రం దాని కర్ణం మద్య బిందువు వద్ద ఉండును.
- అధిక కోణ త్రిభుజంలో పరివృత్త కేంద్రం వృత్తం వెలుపల ఉంటుంది.
అంతర వృత్త కేంద్రం
త్రిభుజ భుజాల నుండి సమాన దూరంలో గల బిందువును త్రిభుజ అంతర కేంద్రం అందురు. త్రిభుజ కోణ సమద్విఖండన రేఖల మిళిత బిందువు దాని అంతర వృత్త కేంద్రం అవుతుంది. దీనినుండి త్రిభుజ భుజాలు సమాన దూరంలో ఉంటాయి. దీనిని "I" తో సూచిస్తారు.యిది ఎల్లప్పుడూ త్రిభుజ అంతరంలోనే ఉంటుంది.
మద్యగత రేఖల మిళిత బిందువు గురుత్వ కేంద్రం. | త్రిభుజ ఉన్నతుల మిళిత బిందువు లంబ కేంద్రం | పరివృత్త కేంద్రం | అంతర కేంద్రం |
బాహ్య కేంద్రాలు
- జ్యామితి లో బాహ్యవృత్తము అనునది త్రిభుజం లో ఒక భుజము మరియు మిగిలిన రెండు భుజాలు పొడిగించగా యేర్పదిన రేఖ లను స్పృసిస్తూ పోయే వృత్తము. యివి త్రిభుజానికి మూడు వుంటాయి.
- త్రిభుజంలో ఒక అంతర కోణం యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ మరియు భాహ్య కోణాల సమద్విఖండన రేఖల ఖండన బిందువు బాహ్య వృత్త కేంద్రం అవుతుంది.
- యివి పటంలో చూపబడినట్లు (JA,JB,JC) లు
- ప్రతి బాహ్య వృత్తానికి ఒకభుజం స్పర్శరేఖ. మరియు మిగిలిన రెండు భుజాలను పొడిగించే రేఖలు కూడా స్పర్శరేఖలు.
నవ బిందు వృత్తం
ఒక త్రిభుజంలో గల ఈ దిగువనీయబడిన తొమ్మిది బిందువుల గుండా పోతు వృత్తమును నవ బిందు వృత్తం అందురు.
- త్రిభుజంలో గల భుజము ల మధ్య బిందువులు (3)
- త్రిభుజం యొక్క శీర్షం నుండి ఎదుటి భుజానికి గీయబడిన లంబములు, త్రిభుజం యొక్క భుజంపై కలిసే బిందువులు(లంబ పాదములు) (3)
- త్రిభుజప్రతీ శీర్షం నుండి లంబ కేంద్రం నకు మధ్య బిందువులు (3)
పై 9 బిందువుల గుండ పోవు వృత్తమును నవ బిందు వృత్తం అందురు.(nine-point circle)
తొమ్మిది బిందువుల గుర్తింపు
పై పటంలో వృత్తము తొమ్మిది జ్యామితీయ బిందువులైన గుండా పోయినది. ఈ బిందువులలో D, E, మరియు F లు త్రిభుజ భుజాల మధ్య బిందువులు. G, H, మరియు I బిందువులు త్రిభుజ భుజాలపై గల లంబ పాదములు. J, K, మరియు L బిందువులు త్రిభుజ శీర్షములైన "A","B" మరియు "C" లనుండి లంబకేంద్రం(S) కు గల రేఖాఖండం యొక్క మధ్య బిందువులు.
- అల్ప కోణ త్రిభుజంలో భుజాల మధ్య బిందువులు, లంబకెంద్రాలు త్రిభుజం పైన ఉంటాయి. అధిక కోణ త్రిభుజంలో రెడు భుజాల లంబకేద్రాలు త్రిభుజం బయట ఉంటాయి. అయినా నవ బిందు వృత్తం ఈ తొమ్మిది బిందువుల గుండా పోతుంది.
ఆయిలర్ రేఖ
జ్యామితి లో ఆయిలర్ రేఖ అనునది త్రిభుజంలో ఈ క్రింది నాలుగు బిందువుల గుండా పోవు రేఖ.
- గురుత్వ కేంద్రము ( త్రిభుజ మధ్యగత రేఖల మిళిత బిందువు)
- లంబ కేంద్రము (త్రిభుజ ఉన్నతుల మిళిత బిందువు)
- పరివృత్త కేంద్రము (త్రిభుజ భుజాల లంబ సమద్విఖండన రేఖల మిళిత బిందువు
- నవ బిందు వృత్త కేంద్రం (త్రిభుజ నవ బిందు వృత్తం యొక్క కేంద్రం)
- పై నాలుగు బిందువులు సరేఖీయాలని 1765 లో లియొనార్డో ఆయిలర్ అనే ప్రఖ్యాత గణిత శాస్త్రవేత్త కనుగొన్నాడు. ఆయన పేరుమీత ఆ బిందువుల గుండా పోవు రేఖను ఆయిలర్ రేఖ అందురు.
- సమబాహు త్రిభుజంలో పై నాలుగు బిందువులు ఏకీభవిస్తాయి.
- యితర త్రిభుజాలలో నాలుగు బిందువులూ ఏకీభవించవు. అందువలన ఆయిలర్ రేఖ వ్యవస్థీకృతమవుతుంది.
- నవ బిందు వృత్త కేంద్రం ఎల్లపుడూ లంబ కేంద్రము మరియు పరివృత్త కేంద్రం మధ్య మాత్రమే ఉంటుంది.
- గురుత్వ కేంద్రము,పరివృత్త కేంద్రం మధ్య దూరం ఎల్లపుడూ గురుత్వ కేంద్రం,లంబకేంద్రం ల మధ్య దూరంలో సగం ఉంటుంది.
త్రిభుజ సంఖ్యలు
త్రిభుజ సంఖ్య అనగా ఒక సమబాహు త్రిభుజం యేర్పరచుటకు కావలసిన వస్తువుల సంఖ్య. "1" అను సంఖ్య త్రిభుజ సంఖ్య. రెండు వస్తువులు భుజంగా గల త్రిభుజం యేర్పరచాలంటే మూడు వస్తువులు కావాలి. అందువలన "3" త్రిభుజ సంఖ్య. మూడు వస్తువులు భుజంగా గల సమబాహు త్రిభుజం యేర్పరచాలంటే ఆరు వస్తువులు కావాలి. అందువలన "6" త్రిభుజ సంఖ్య అవుతుంది. అదేవిధంగా "n" వస్తువులు గల సమబాహు త్రిభుజం కావాలంటే "n" మరియు దాని తర్వాత సంఖ్య "n+1" లబ్దంలో సగ భాగము త్రిభుజ సంఖ్య అవుతుంది. పటంలో వివిధ త్రిభుజ సంఖ్యలను చూపడం జరిగినది.
కొన్ని త్రిభుజ సంఖ్యలను దిగువనీయబడినవి:
ఉపయోగాలు
నిత్య జీవితంలో వాడకం
- ఎర్ర త్రికోణం భారతదేశంలో కుటుంబ నియంత్రణకు గుర్తుగా వాడతారు.
- పచ్చ త్రికోణం పర్యావరణ పరిరక్షణకు గుర్తుగా వాడుతారు.
- ట్రాఫిక్ గుర్తులలో త్రికోణం విరివిగా వాడబడుతుంది. అది సులభంగా కంటికి ఆనుతుంది గనుక.
- త్రికోణం అనేక సందర్భాలలోనూ, సంప్రదాయాలలోనూ వేర్వేరు అర్ధాలకు సంకేతంగా వాడబడింది.
ఇవి కూడా చూడండి
రేఖా గణితం - బహుభుజిలు |
---|
త్రిభుజం • చతుర్భుజి • పంచభుజి •షడ్భుజి • సప్తభుజి • అష్టభుజి • నవభుజి • దశభుజి • ఏకాదశభుజి • Dodecagon • Triskaidecagon • Pentadecagon • Hexadecagon • Heptadecagon • Enneadecagon • Icosagon • Chiliagon • Myriagon |