క్వాంటమ్‌ యంత్రశాస్త్ర సమీకరణాల జాబితా

వికీపీడియా నుండి
Jump to navigation Jump to search

ఈ వ్యాసం క్వాంటమ్ యంత్రశాస్త్ర సమీకరణాలను సూచిస్తుంది.

తరంగధర్మము[మార్చు]

క్వాంటమ్ యంత్రశాస్త్రంలో ప్రధానంగా వాడబడే స్థిరరాశి - ప్లాంక్ స్థిరరాశి.h.

సిద్ధాంతం చిహ్నం సమీకరణం ఎస్ఐ యూనిట్లు డైమెన్షన్
తరంగధర్మం ψ, Ψ ష్రోడింగర్ సమీకరణం ద్వారా సందర్భం, కణాల సంఖ్యననుసరించి మారుతుంది
తరంగధర్మం - సంభావ్య సాంద్రత ధర్మము ρ m−3 [L]−3
తరంగధర్మం సంభావ్య ప్రవాహం j అసాపేక్షము, బాహ్య ప్రసరణావరణము లేదు

స్టార్ చిహ్నం * సంయుగమి సంఖ్య

m−2 s−1 [T]−1 [L]−2

సమీకరణాలు[మార్చు]

తరంగ-రేణువు ద్వైతము మరియు సమయ పరిణామము[మార్చు]

గుణము లేదా ప్రభావ అభిదాన సమీకరణము
ప్లాంక్-ఐంస్టీన్ సమీకరణము మరియు డీబ్రోగ్లీ తరంగ ధైర్ఘ్యం సంబంధాలు P = (E/c, p) అనేది ఉద్వేగము,
K = (ω/c, k) అనేది తరంగ నాభిశ్రుతి,
E = అణువు యొక్క శక్తి,
ω = 2πf అనేది కోణీయ కంపవేగము మరియు అణువు యొక్క కంపవేగము,
ħ = 2π/h అనేది ప్లాంక్స్ స్థిరాంకము
c = కాంతి వేగము
ష్రోడింగర్ సమీకరణము
Ψ = అణువు యొక్క తరంగ క్రియ
Ĥ = హెమిల్టోనియన్ కారకం,
E =ఐజిన్ శక్తి యొక్క పద్ధతి,
i అనేది ఊహాత్మక యూనిట్
t = సమయం
జనరల్ సమయంపై ఆధారపడి కేసు:

సమయ స్వతంత్ర అభియొగము: \hat{H}\Psi = E\Psi

హైసెంబర్గ్ సమీకరణము

 = పరిశీలించదగిన గునం యొక్క కారకము
[ ] అనేది విద్యుత్ప్రవాహపరివర్తకము
\langle \, \rangle అనేది సగటు

\frac{d}{dt}\hat{A} (t) =\frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{A} (t) ]+\frac{\partial \hat{A} (t) }{\partial t}, హైసంబర్గ్ చిత్రములో సమయం పరిణామం (Ehrenfest theorem)

m = ద్రవ్యరాశి,
V = స్థితిశక్తి,
r = స్థానము,
p = కణం యొక్క ఉరవడి.

\frac{d}{dt}\langle \hat{A}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat{A}, \hat{H}] \rangle+ \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle

గతిబలము మరియు స్థానం;

m\frac{d}{dt}\langle \mathbf{r}\rangle = \langle \mathbf{p} \rangle

\frac{d}{dt}\langle \mathbf{p}\rangle = -\langle \nabla V \rangle సాపేక్ష కాని సమయ స్వతంత్ర స్కాడింగర్ సమీకరణము

సంబంధిత స్క్రొడింగర్ సమీకరణాలు మరియు wavefunction పరిష్కారాలను రూపాలు, క్రింద క్లుప్తంగా హమిల్టనియన్ యొక్క వివిధ రూపాలుగ చూపబడుతుంది. ఒక ప్రాదేశిక పరిమాణం విషయంలో నోటీసు, ఒక కణము, పాక్షిక ఉత్పన్న ఒక సాధారణ ఉత్పన్న తగ్గిస్తుంది. ఒక అణువు N అణువులతో ఒక పరిణామం \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V (x) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2} + V (x) \begin{align}\hat{H} &= \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{p}_n^2}{2m_n} + V (x_1, x_2, \cdots x_N) \\ & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} + V (x_1, x_2, \cdots x_N) \end{align}

కణ n యొక్క స్థానం ఎక్కడ XN ఉంది. E\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}\Psi + V\Psi E\Psi = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}\Psi + V\Psi \, . \Psi (x, t) =\psi (x) e^{-iEt/\hbar} \, .

ఇది ఒక పరిమిత L2-కట్టుబాటు ఉంది కాబట్టి (ఇది ఒక బైండ్ రాష్ట్ర ఉంటే) పరిష్కారము, అనంతం వద్ద పెరగవు ఉండాలి లేదా ఒక నెమ్మదిగా వికర్షణ కట్టుబాటు (ఇది ఒక క్రమణిక యొక్క భాగం ఉంటే - మరో పరిమితి ఉంది) :[1] \| \psi \|^2 = \int |\psi (x) |^2\, dx.\, \Psi = e^{-iEt/\hbar}\psi (x_1, x_2\cdots x_N)

అన్యోన్య కాని సూక్ష్మకణాలు

\Psi = e^{-i{E t/\hbar}}\prod_{n=1}^N\psi (x_n) \,, \quad V (x_1, x_2, \cdots x_N) = \sum_{n=1}^N V (x_n) \, . Three dimensions \begin{align}\hat{H} & = \frac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m} + V (\mathbf{r}) \\ & = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V (\mathbf{r}) \end{align}

ఆ అణువుల యొక్క స్థానం r = (x, y, z). \begin{align} \hat{H} & = \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{\mathbf{p}}_n\cdot\hat{\mathbf{p}}_n}{2m_n} + V (\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \cdots\mathbf{r}_N) \\ & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\nabla_n^2 + V (\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \cdots\mathbf{r}_N) \end{align}

ఆ అణువుల యొక్క స్థానం r n = (xn, yn, zn), andసంబంధిత స్థానం అక్షాలు ఉపయోగించి కణ n కోసం లాప్లేసియన్ సూత్రం

\nabla_n^2=\frac{\partial^2}{{\partial x_n}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y_n}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial z_n}^2} E\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi E\Psi = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\nabla_n^2\Psi + V\Psi \Psi = \psi (\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar} \Psi = e^{-iEt/\hbar}\psi (\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2\cdots \mathbf{r}_N)

అన్యోన్య కాని సూక్ష్మకణాలు

\Psi = e^{-i{E t/\hbar}}\prod_{n=1}^N\psi (\mathbf{r}_n) \,, \quad V (\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \cdots \mathbf{r}_N) = \sum_{n=1}^N V (\mathbf{r}_n)

సాపేక్ష కాని సమయ ఆదారిత స్కాడింగర్ సమీకరణం మళ్ళీ, సంబంధిత స్క్రొడింగర్ సమీకరణాలు మరియు పరిష్కారాలు రూపాలు, హమిల్టనియన్ ఆధారంగా వివిధ రూపాలు క్రింద ఇవ్వబడింది ఒక అణువు N అణువులతో ఒకే పరిమాణము \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V (x, t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V (x, t) \hat{H} = \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{p}_n^2}{2m_n} + V (x_1, x_2, \cdots x_N, t) = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} + V (x_1, x_2, \cdots x_N, t)

కణ n యొక్క స్థానం ఇక్కడ XN మీద ఉంటే i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi + V\Psi i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}\Psi + V\Psi \, . \Psi = \Psi (x, t) \Psi = \Psi (x_1, x_2\cdots x_N, t) Three dimensions \begin{align}\hat{H} & = \frac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m} + V (\mathbf{r}, t) \\ & = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V (\mathbf{r}, t) \\ \end{align} \begin{align} \hat{H} & = \sum_{n=1}^{N}\frac{\hat{\mathbf{p}}_n\cdot\hat{\mathbf{p}}_n}{2m_n} + V (\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \cdots\mathbf{r}_N, t) \\ & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\nabla_n^2 + V (\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \cdots\mathbf{r}_N, t) \end{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{m_n}\nabla_n^2\Psi + V\Psi

ఈ చివరి సమీకరణానికి ఎక్కువ పరిమాణం ఉన్నది, [2] కాబట్టి పరిష్కారాలను చూసేందుకు సులభం కాదు. \Psi = \Psi (\mathbf{r}, t) \Psi = \Psi (\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \cdots\mathbf{r}_N, t) ఛాయాచిత్ర వికరణోధ్గారం గుణధర్మము/ప్రభావం నోమేన్క్లేచర్ సమీకరణము కాంతివిద్యుత్ సమీకరణం

Kmax =బయట ఎలక్ట్రాన్ యొక్క గరిష్ఠ గతిశక్తి (J)
h =ప్లాంక్ స్థిరాంకం,
f = సంఘటన ఫోటాన్లు ఫ్రీక్వెన్సీ (Hz = s−1)
φ, Φ = పదార్థం యొక్క పని ఫంక్షన్ ఫోటాన్లు సంఘటన ఉన్నాయి (J)

K_\mathrm{max} = hf - \Phi\, \! థ్రెషోల్డ్ ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు

φ, Φ = పదార్థం యొక్క పని ఫంక్షన్ ఫోటాన్లు సంఘటన ఉన్నాయి (J)
f0, νం =థ్రెషోల్డ్ ఫ్రీక్వెన్సీ (Hz = s−1)

దీనిని ప్రయోగం ద్వారా మాత్రమేచూడవచ్చు.

డీబ్రోగ్లీ సంబంధాలు వీటి మధ్య ఉన్న సంబంధాలను తెలియజేస్తుంది;

\phi = hf_0\, \! Photon momentum

p = ఫోటాన్ యొక్క పరిమాణం (kg m s−1)
f = ఫోటాన్ యొక్క కంపవేగము (Hz = s−1)
λ = ఫోటాన్ యొక్క తరంగ ధైర్ఘ్యం (m)

డీబ్రోగ్లీ సంబంధాలు: p = hf/c = h/\lambda\, \! ఇష్టాంశ అనిశ్చితి గుణధర్మము లేదా నోమెంక్లేచర్ సమీకరణ ప్రభావం హైసంబర్గ్ సాపేక్ష కాని సూత్రాలు

n = ఫోటాన్ల సంఖ్య
φ = తరంగ దశ
[, ] = విద్యుత్ప్రవాహపరివర్తకము

పరిమాణక స్థానం

\sigma (x) \sigma (p) \ge \frac{\hbar}{2} \, \!

Energy-time \sigma (E) \sigma (t) \ge \frac{\hbar}{2} \, \!

Number-phase \sigma (n) \sigma (\phi) \ge \frac{\hbar}{2} \, \! Dispersion of observable

A = గమనిక (eigenvalues of operator)


\begin{align} \sigma (A) ^2 & = \langle (A-\langle A \rangle) ^2\rangle \\ & = \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2 \end{align} జనరల్ అనిశ్చితి సంబంధం

A, B = గమనికలు (eigenvalues of operator)

\sigma (A) \sigma (B) \geq \frac{1}{2}\langle i[\hat{A}, \hat{B}] \rangle ప్రాబబిలిటీ పంపకాలు సంపత్తి లేదా నోమెంక్లేచుర్ సమీకరణ ప్రభావము రాష్ట్రాల సాంద్రత N (E) = 8\sqrt{2}\pi m^{3/2}E^{1/2}/h^3\, \! ఫెర్మి డిరాక్ డిస్ట్రిబ్యుషన్

P (Ei) = సంభావ్యత యొక్కశక్తి Ei
g (Ei) = శక్తి క్షీణించుటEi
μ =రసాయన విభవము

P (E_i) = g (E_i) / (e^{ (E-\mu) /kT}+1) \, \! బోస్ ఐంస్టీన్ డిస్ట్రిబ్యూషంస్ (bosons) P (E_i) = g (E_i) / (e^{ (E_i-\mu) /kT}-1) \, \! కోణతతి ప్రధాన వ్యాసంs: కోణీయవేగము ఆపరేటర్లు మరియుక్వాంటం సంఖ్య గుణధర్మము లేదా నోమాంక్లేచర్ సమీకరణ ప్రభావం కోణీయ ఉద్వేగము క్వాంటంల సంఖ్య

s = స్పిన్ క్వాంటం సంఖ్య 
ms =స్పిన్ అయస్కాంత క్వాంటం సంఖ్య స్పిన్
ℓ =అజిముథాల్ క్వాంటం సంఖ్య
mℓ =దిక్కోణ అయస్కాంత క్వాంటం సంఖ్య
mj = మొత్తం కోణీయవేగము అయస్కాంత క్వాంటం సంఖ్య
j = మొత్తం కోణీయవేగము క్వాంటం సంఖ్య

స్పిన్ ప్రలంబత:

m_s \in \{-s, -s+1\cdots s-1, s\}\, \!

Orbital: m_\ell \in \{-\ell, -\ell+1\cdots \ell-1, \ell\}\, \! m_\ell \in \{0 \cdots n-1\}\, \!

Total: \begin{align}& j = \ell +s \\ & j \in \{|\ell-s|, |\ell-s|+1 \cdots |\ell+s|-1, |\ell+s| \} \\ \end{align}\, \! కోణీయ మొమెంటం కోణీయ క్షణిక ప్రవాహముమ్యాగ్నిట్యూడ్:

S =స్పిన్,
L = కక్షీయ,
J = మొత్తం.

స్పిన్ పరిమాణము:

= \hbar\sqrt{s (s+1) }\, \!
కక్షీయ పరిమాణము: |\mathbf{L}| = \hbar\sqrt{\ell (\ell+1) }\, \!

పూర్తి పరిమాణము: \mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S}\, \!

= \hbar\sqrt{j (j+1) }\, \!

స్పిన్ కోణీయ ఉరవడి భాగాలు:

S_z = m_s \hbar\, \!

కక్ష: L_z = m_\ell \hbar\, \!

అయస్కాంత క్షణాలు:

B అనువర్తిత బాహ్య అయస్కాంత క్షేత్రం మరియు పైన క్వాంటం నంబర్లకు ఉపయోగిస్తారు. గుణధర్మము లేదా నోమాంక్లేచర్ సమీకరణ ప్రభావము కక్ష్య అయస్కాంత ద్విధ్రువ చలనం

e = విద్యుత్‌కణ అధీనం
me = ఎలక్ట్రాన్ మిగిలిన ద్రవ్యరాశి
L =ఎలక్ట్రాన్ కక్ష్య కోణీయవేగము
gమూస:Ell = కక్ష్య లాండే గ్రా-ఫాక్టర్
μB =బోర్ అయస్కాంతం

\boldsymbol{\mu}_\ell = -e\mathbf{L}/2m_e = g_\ell \frac{\mu_B}{\hbar} \mathbf{L}\, \!

z-component: \mu_{\ell, z} = -m_\ell\mu_B\, \! స్పిన్ అయస్కాంత ద్విధ్రువ చలనం

S = ఎలక్ట్రాన్ స్పిన్ కోణీయవేగము
gs = లాండే గ్రా-ఫాక్టర్ స్పిన్

\boldsymbol{\mu}_s = -e\mathbf{S}/m_e = g_s \frac{\mu_B}{\hbar} \mathbf{S}\, \!

z-component: \mu_{s, z} = -e S_z/m_e = g_seS_z/2m_e\, \! dipole moment potential

U = రంగంలో ద్విధ్రువ శక్తి

U = -\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B} = -\mu_z B\, \! హైడ్రోజన్ పరమాణువు ప్రధాన వ్యాసం:హైడ్రోజన్ పరమాణువు గుణధర్మం లేదా నోమాంక్లేచర్ సమీకరణ ప్రభావము శక్తి స్థాయిలు

En = శక్తి ఐజీన్ విలువ
n = ప్రధాన క్వాంటం సంఖ్య
e = ఎలక్ట్రాన్ ఛార్జ్
me = ఎలక్ట్రాన్ మిగిలిన ద్రవ్యరాశి
εం = ఖాళీ స్థల పర్మిట్టివిటి
h = ప్లాంక్ స్థిరాంకం

E_n = -me^4/8\epsilon_0^2h^2n^2 = 13.61eV/n^2\, \! చిత్రవర్ణము, λ = ఎలక్ట్రానిక్ పరివర్తన సమయంలో ఉద్గారిత ఫోటాన్ యొక్క తరంగదైర్ఘ్యం, Ei to Ej \frac{1}{\lambda} = R\left (\frac{1}{n_j^2} - \frac{1}{n_i^2}\right), \, n_j<n_i\, \!

ఇవి కూడా చూడండి[మార్చు]

నోట్స్[మార్చు]

  • Feynman, R.P.; Leighton, R.B.; Sand, M. (1964). "Operators". The Feynman Lectures on Physics 3. Addison-Wesley. పేజీలు. 20–7. ISBN 0-201-02115-3.
  • Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics. Kluwer Academic/Plenum Publishers. పేజీ. 141. ISBN 978-0-306-44790-7.