ఏకరూప విభాజనం

ఏకరూప విభాజనం

నిర్వచనం - ఇది సాధారణ సంభావ్యతా విభాజనం.ఇందులో పరిమిత సంఖ్య అవకాశాలు ఉంటూ అన్ని ఒకే సంభావ్యతతో ఉంటాయి.దీనిని అన్నింటికీ సమాన అవకాశాలు ఉన్న ప్రయోగంలో ఫలితాలు నమూనా (model) కోసం ఉపయోగిస్తారు.

విచ్ఛిన్న ఏకరూప యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క సంభావ్యత ద్రవ్య ప్రమేయం

$P(X=k)={\frac {1}{N}};k=1,2,3,.....,N$

సంచిత (cumulative) విభాజన ప్రమేయం

$P(X\leq k)={\frac {k}{N}};k=1,2,3,\ldots ,N$

అంకమధ్యమం, విస్తృతి

అంకమధ్యమం=$E(x)=\sum xp(x)={\frac {1}{N}}[1+2+3+.........+N]$

$={\frac {1}{N}}{\frac {N(N+1)}{2}}$ 

$={\frac {N+1}{2}}$

విస్తృతి:

=E (x^2) -[E (x) ]^2

$E(x^{2})=\sum x^{2}p(x)={\frac {1}{N}}[1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +N^{2}]$

$={\frac {1}{N}}{\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}={\frac {(N+1)(2N+1)}{6}}$

var (x) = E (x²) -[E (x) ]²

$={\frac {(N+1)(2N+1)}{6}}$ =${\frac {(N+1)}{4}}^{2}$

$={\frac {(N+1)(N-1)}{12}}$

$var(x)={\frac {({N^{2}}-1)}{12}}$

ఘతికోత్పాదక ప్రమేయం

విభాజనం యొక్క ఘాతికోత్పాదక ప్రమేయం

$M_{x}(t)=E(e^{tx})=\sum e^{tx}P(X=x)$

$=\sum e^{tx}{\frac {1}{N}}={\frac {1}{N}}(e^{t}+e^{2t}+........+e^{Nt})$

$={\frac {1}{N}}e^{tx}(1+e^{t}+e^{2t}+........+e^{({N-1)}t})$

$={\frac {e^{t}}{N}}{\frac {(1-e^{Nt})}{1-e^{t}}}$

=>$M_{x}(t)={\frac {e^{t}}{N}}{\frac {(1-e^{Nt})}{1-e^{t}}}$

ఇది ఏకరుప విభాజనం యొక్క ఘాతికోత్పాదక ప్రమేయం .

లాక్షణిక ప్రమేయం

లాక్షణిక ప్రమేయాన్ని తీసుకుంటే

$\varphi _{X}(t)=E[e^{itX}]=\sum _{x=1}^{N}e^{itX}P(x=x)$

$=\sum e^{itx}{\frac {1}{N}}={\frac {1}{N}}{(e^{it}+e^{2it}+e^{3it}+\ldots +e^{Nit})}$

$={\frac {1}{N}}e^{it}{(1+e^{it}+e^{2it}+e^{3it}+\ldots +e^{(N-1)it})}$

=>$\varphi _{X}(t)={\frac {e^{it}}{N}}{\frac {1-e^{Nit}}{1-e^{it}}}$

ఇది ఏకరుప విభాజనం యొక్క లక్షణిక ప్రమేయం .

సంభావ్యతోత్పాదక ప్రమేయం

సంభావ్యతోత్పాదక ప్రమేయ గణన సమాసం కోసం

$P_{x}(s)=E(s^{x})=\sum s^{x}p_{x}$ను ఉపయోగిస్తాం.

ఏకరుప విభజనం యొక్క సంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం

$P(X=x)={\frac {1}{N}}$

$=\sum _{x}s^{x}p_{x}$

$=\sum _{x=1}^{N}s^{x}.{\frac {1}{N}}={\frac {1}{N}}\sum _{x=1}^{N}s^{x}$

$={\frac {1}{N}}{(s+s^{2}+s^{3}+\ldots +s^{N})}$

$={\frac {1}{N}}{\frac {s(1-s^{N})}{(1-s)}}$

=>$P_{x}(s)={\frac {1}{N}}{\frac {s(1-s^{N})}{(1-s)}}$

ఇది ఏకరుప విభజనం యొక్కసంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం.