ఏకరూప విభాజనం నిర్వచనం - ఇది సాధారణ సంభావ్యతా విభాజనం .ఇందులో పరిమిత సంఖ్య అవకాశాలు ఉంటూ అన్ని ఒకే సంభావ్యతతో ఉంటాయి.దీనిని అన్నింటికీ సమాన అవకాశాలు ఉన్న ప్రయోగంలో ఫలితాలు నమూనా (model) కోసం ఉపయోగిస్తారు.[ 1]
విచ్ఛిన్న ఏకరూప యాదృచ్ఛిక చలరాశి X యొక్క సంభావ్యత ద్రవ్య ప్రమేయం
P
(
X
=
k
)
=
1
N
;
k
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
.
.
,
N
{\displaystyle P(X=k)={\frac {1}{N}};k=1,2,3,.....,N}
సంచిత (cumulative) విభాజన ప్రమేయం
P
(
X
≤
k
)
=
k
N
;
k
=
1
,
2
,
3
,
…
,
N
{\displaystyle P(X\leq k)={\frac {k}{N}};k=1,2,3,\ldots ,N}
అంకమధ్యమం =
E
(
x
)
=
∑
x
p
(
x
)
=
1
N
[
1
+
2
+
3
+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
N
]
{\displaystyle E(x)=\sum xp(x)={\frac {1}{N}}[1+2+3+.........+N]}
=
1
N
N
(
N
+
1
)
2
{\displaystyle ={\frac {1}{N}}{\frac {N(N+1)}{2}}}
=
N
+
1
2
{\displaystyle ={\frac {N+1}{2}}}
విస్తృతి:
=E (x^2) -[E (x) ]^2
E
(
x
2
)
=
∑
x
2
p
(
x
)
=
1
N
[
1
2
+
2
2
+
3
2
+
…
+
N
2
]
{\displaystyle E(x^{2})=\sum x^{2}p(x)={\frac {1}{N}}[1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +N^{2}]}
=
1
N
N
(
N
+
1
)
(
2
N
+
1
)
6
=
(
N
+
1
)
(
2
N
+
1
)
6
{\displaystyle ={\frac {1}{N}}{\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}={\frac {(N+1)(2N+1)}{6}}}
var (x) = E (x²) -[E (x) ]²
=
(
N
+
1
)
(
2
N
+
1
)
6
{\displaystyle ={\frac {(N+1)(2N+1)}{6}}}
(
N
+
1
)
4
2
{\displaystyle {\frac {(N+1)}{4}}^{2}}
=
(
N
+
1
)
(
N
−
1
)
12
{\displaystyle ={\frac {(N+1)(N-1)}{12}}}
v
a
r
(
x
)
=
(
N
2
−
1
)
12
{\displaystyle var(x)={\frac {({N^{2}}-1)}{12}}}
విభాజనం యొక్క ఘాతికోత్పాదక ప్రమేయం
M
x
(
t
)
=
E
(
e
t
x
)
=
∑
e
t
x
P
(
X
=
x
)
{\displaystyle M_{x}(t)=E(e^{tx})=\sum e^{tx}P(X=x)}
=
∑
e
t
x
1
N
=
1
N
(
e
t
+
e
2
t
+
.
.
.
.
.
.
.
.
+
e
N
t
)
{\displaystyle =\sum e^{tx}{\frac {1}{N}}={\frac {1}{N}}(e^{t}+e^{2t}+........+e^{Nt})}
=
1
N
e
t
x
(
1
+
e
t
+
e
2
t
+
.
.
.
.
.
.
.
.
+
e
(
N
−
1
)
t
)
{\displaystyle ={\frac {1}{N}}e^{tx}(1+e^{t}+e^{2t}+........+e^{({N-1)}t})}
=
e
t
N
(
1
−
e
N
t
)
1
−
e
t
{\displaystyle ={\frac {e^{t}}{N}}{\frac {(1-e^{Nt})}{1-e^{t}}}}
=>
M
x
(
t
)
=
e
t
N
(
1
−
e
N
t
)
1
−
e
t
{\displaystyle M_{x}(t)={\frac {e^{t}}{N}}{\frac {(1-e^{Nt})}{1-e^{t}}}}
ఇది ఏకరుప విభాజనం యొక్క ఘాతికోత్పాదక ప్రమేయం .
లాక్షణిక ప్రమేయాన్ని తీసుకుంటే
φ
X
(
t
)
=
E
[
e
i
t
X
]
=
∑
x
=
1
N
e
i
t
X
P
(
x
=
x
)
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=E[e^{itX}]=\sum _{x=1}^{N}e^{itX}P(x=x)}
=
∑
e
i
t
x
1
N
=
1
N
(
e
i
t
+
e
2
i
t
+
e
3
i
t
+
…
+
e
N
i
t
)
{\displaystyle =\sum e^{itx}{\frac {1}{N}}={\frac {1}{N}}{(e^{it}+e^{2it}+e^{3it}+\ldots +e^{Nit})}}
=
1
N
e
i
t
(
1
+
e
i
t
+
e
2
i
t
+
e
3
i
t
+
…
+
e
(
N
−
1
)
i
t
)
{\displaystyle ={\frac {1}{N}}e^{it}{(1+e^{it}+e^{2it}+e^{3it}+\ldots +e^{(N-1)it})}}
=>
φ
X
(
t
)
=
e
i
t
N
1
−
e
N
i
t
1
−
e
i
t
{\displaystyle \varphi _{X}(t)={\frac {e^{it}}{N}}{\frac {1-e^{Nit}}{1-e^{it}}}}
ఇది ఏకరుప విభాజనం యొక్క లక్షణిక ప్రమేయం .
[ మార్చు ] సంభావ్యతోత్పాదక ప్రమేయ గణన సమాసం కోసం
P
x
(
s
)
=
E
(
s
x
)
=
∑
s
x
p
x
{\displaystyle P_{x}(s)=E(s^{x})=\sum s^{x}p_{x}}
ఏకరుప విభజనం యొక్క సంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం
P
(
X
=
x
)
=
1
N
{\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{N}}}
=
∑
x
s
x
p
x
{\displaystyle =\sum _{x}s^{x}p_{x}}
=
∑
x
=
1
N
s
x
.
1
N
=
1
N
∑
x
=
1
N
s
x
{\displaystyle =\sum _{x=1}^{N}s^{x}.{\frac {1}{N}}={\frac {1}{N}}\sum _{x=1}^{N}s^{x}}
=
1
N
(
s
+
s
2
+
s
3
+
…
+
s
N
)
{\displaystyle ={\frac {1}{N}}{(s+s^{2}+s^{3}+\ldots +s^{N})}}
=
1
N
s
(
1
−
s
N
)
(
1
−
s
)
{\displaystyle ={\frac {1}{N}}{\frac {s(1-s^{N})}{(1-s)}}}
=>
P
x
(
s
)
=
1
N
s
(
1
−
s
N
)
(
1
−
s
)
{\displaystyle P_{x}(s)={\frac {1}{N}}{\frac {s(1-s^{N})}{(1-s)}}}
ఇది ఏకరుప విభజనం యొక్కసంభావ్యతా ద్రవ్య ప్రమేయం.
↑ తెలుగు అకాడమి (2012) హైదరాబాద్, page=337
![{\displaystyle E(x)=\sum xp(x)={\frac {1}{N}}[1+2+3+.........+N]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5583c97cfbc62324121f7b39b41887678766cd34)
![{\displaystyle E(x^{2})=\sum x^{2}p(x)={\frac {1}{N}}[1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +N^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f408a2a9063846b021ae76fe4776f0c671b9ad1)
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=E[e^{itX}]=\sum _{x=1}^{N}e^{itX}P(x=x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1436a91796d80ec9c4e7bbd3263e0704c62e3fe8)
