Jump to content

బెర్నౌలీ సూత్రం

వికీపీడియా నుండి
ఒక వెంచురి మీటర్ గుండా ప్రవహిస్తున్న గాలి. ద్రవ పీడనం తగ్గి, గతి శక్తి పెరగడం వల్ల రెండు నీటి స్తంభాల ఎత్తుల్లో తేడా కనిపిస్తుంది.
ప్రయోగశాలలో ఉపయోగించే వెంచురి మీటర్ వీడియో

బెర్నౌలీ సూత్రం అనేది ద్రవ గతిశాస్త్రం లోని ఒక ముఖ్యమైన సూత్రం. ఇది ద్రవంలోని పీడనం, వేగం, ఎత్తు మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని వివరిస్తుంది. ఉదాహరణకు, సమాంతరంగా ప్రవహిస్తున్న ద్రవంలో వేగం పెరిగినప్పుడు, అదే సమయంలో స్థిర పీడనం (static pressure) తగ్గుతుంది.[1][2]

ఈ సూత్రానికి స్విస్ గణిత శాస్త్రవేత్త, భౌతిక శాస్త్రవేత్త డేనియల్ బెర్నౌలీ పేరు పెట్టబడింది. ఆయన 1738లో ప్రచురించిన Hydrodynamica అనే గ్రంథంలో ఈ సూత్రాన్ని వివరించాడు.[3]

ప్రవాహ వేగం పెరిగినప్పుడు పీడనం తగ్గుతుందని బెర్నౌలీ నిర్ధారించినప్పటికీ, 1752లో లియోనార్డ్ ఆయిలర్ సాధారణంగా ఉపయోగించే రూపంలో బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఉత్పన్నం చేశాడు.[4][5]

బెర్నౌలీ సూత్రాన్ని శక్తి నిశ్చత్వ సూత్రం (conservation of energy) నుండి ఉత్పన్నం చేయవచ్చు. ఈ సూత్రం ప్రకారం, స్థిర ప్రవాహం (steady flow) లో స్నిగ్ధత (viscosity) ప్రభావాలు లేని ప్రతి బిందువులో ద్రవం యొక్క మొత్తం శక్తి సమానంగా ఉంటుంది. అంటే, గతి శక్తి (kinetic energy), స్థితి శక్తి (potential energy), అంతర్గత శక్తి (internal energy)ల మొత్తం స్థిరంగా ఉంటుంది.[2]

అందువల్ల ద్రవం యొక్క వేగం పెరిగితే, దాని గతి శక్తి కూడా పెరుగుతుంది. ఈ పెరుగుదలతో పాటు దాని స్థితి శక్తి (స్థిర పీడనంతో సహా), అంతర్గత శక్తుల మొత్తం తగ్గుతుంది. అంటే, వేగం పెరగడం, పీడనం తగ్గడం ఒకేసారి జరుగుతాయి.

ద్రవం ఒక నిల్వ తొట్టె (reservoir) నుండి ప్రవహిస్తున్నట్లయితే, మొత్తం శక్తి అన్ని ప్రాంతాల్లో సమానంగా ఉంటుంది. ఎందుకంటే నిల్వ తొట్టెలో ప్రతి ఘనపరిమాణానికి గల శక్తి—అంటే పీడనం, గురుత్వ స్థితి శక్తి (ρgh)ల మొత్తం—అన్ని చోట్ల ఒకే విలువను కలిగి ఉంటుంది.[6]

బెర్నౌలీ సూత్రాన్ని ఐజాక్ న్యూటన్ యొక్క రెండవ చలన నియమం నుండి కూడా నేరుగా ఉత్పన్నం చేయవచ్చు. ఒక ద్రవం అధిక పీడనం ఉన్న ప్రాంతం నుండి తక్కువ పీడనం ఉన్న ప్రాంతం వైపు సమాంతరంగా ప్రవహిస్తున్నప్పుడు, ద్రవం వెనుక భాగంపై ముందు భాగంతో పోలిస్తే ఎక్కువ పీడనం పనిచేస్తుంది. ఫలితంగా ద్రవ ఘనపరిమాణంపై ఒక నికర బలం ఏర్పడి, అది ప్రవాహ రేఖ (streamline) వెంట ద్రవాన్ని వేగవంతం చేస్తుంది.[7]

ద్రవ కణాలపై ప్రధానంగా పీడన బలాలు, వాటి స్వంత బరువు మాత్రమే పనిచేస్తాయి. ఒక ద్రవం సమాంతరంగా ప్రవహిస్తూ, ప్రవాహ రేఖలోని ఒక భాగంలో వేగం పెరుగుతుంటే, ఆ ద్రవం అధిక పీడనం ఉన్న ప్రాంతం నుండి తక్కువ పీడనం ఉన్న ప్రాంతానికి చేరిందని అర్థం. అదే విధంగా, ద్రవ వేగం తగ్గుతుంటే, అది తక్కువ పీడనం ఉన్న ప్రాంతం నుండి అధిక పీడనం ఉన్న ప్రాంతానికి చేరిందని అర్థం.

అందువల్ల, సమాంతరంగా ప్రవహించే ద్రవంలో:

  • అత్యధిక వేగం ఉన్న చోట పీడనం అత్యల్పంగా ఉంటుంది.
  • అత్యల్ప వేగం ఉన్న చోట పీడనం అత్యధికంగా ఉంటుంది.[8]
ప్రవాహ దిశలో, ప్రవేశ భాగం (1) వద్ద స్థిర పీడనం (static pressure) సంకుచిత భాగం (2) కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. అలాగే, "1" వద్ద ద్రవ వేగం "2" వద్ద కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే "1" వద్ద అడ్డ విభాగ వైశాల్యం (cross-sectional area) "2" కంటే పెద్దదిగా ఉంటుంది.

ఈ సూత్రానికి ఒక సాధారణ ఉదాహరణ వెంచురి ప్రభావం. పై చిత్రంలో చూపినట్లుగా, పైపు సంకుచితమయ్యే ప్రాంతంలో ద్రవం ప్రవహించే విభాగ వైశాల్యం తగ్గుతుంది. ద్రవ ప్రవాహ పరిమాణం స్థిరంగా ఉండటం వల్ల, ఆ ప్రాంతంలో ద్రవ వేగం పెరుగుతుంది. వేగం పెరగడంతో అక్కడి పీడనం తగ్గుతుంది. అందువల్ల సంకుచిత భాగంలో పీడనం తక్కువగా, విశాల భాగంలో పీడనం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

బెర్నౌలీ సూత్రం సమఎంట్రోపీ (ఇసెంట్రోపిక్) ప్రవాహాలకు మాత్రమే ఖచ్చితంగా వర్తిస్తుంది. అంటే అపరివర్తనీయ ప్రక్రియలు (ఉదాహరణకు అల్లకల్లోల ప్రవాహం), అడియాబాటిక్ కాని ప్రక్రియలు (ఉదాహరణకు ఉష్ణ వికిరణం) ప్రభావాలు చాలా స్వల్పంగా ఉండి నిర్లక్ష్యం చేయదగిన స్థాయిలో ఉన్నప్పుడు ఈ సూత్రం వర్తిస్తుంది.

అయితే, ఈ పరిమితులలో అనేక రకాల ప్రవాహాలకు బెర్నౌలీ సూత్రాన్ని అన్వయించవచ్చు. అందువల్ల బెర్నౌలీ సమీకరణానికి వివిధ రూపాలు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి.

బెర్నౌలీ సమీకరణం యొక్క సరళ రూపం సంకోచించలేని ప్రవాహాలకు (incompressible flows) వర్తిస్తుంది. ఉదాహరణకు:

ఇవన్నీ ఈ సరళ సమీకరణంతో విశ్లేషించవచ్చు.

అయితే, అధిక మాక్ సంఖ్యల వద్ద ప్రవహించే సంకోచనీయ ప్రవాహాల (compressible flows) కోసం మరింత అభివృద్ధి చెందిన బెర్నౌలీ సమీకరణ రూపాలను ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది. ఎందుకంటే అటువంటి పరిస్థితుల్లో ద్రవం లేదా వాయువు యొక్క సాంద్రత (density) గణనీయంగా మారుతుంది, సరళ సమీకరణం సరిపోదు.

అనువర్తనాలు

[మార్చు]
పీడనం, ఉష్ణోగ్రత తగ్గడంతో పాటు సాపేక్ష ఆర్ద్రత పెరగడం వల్ల Airbus A340 విమానం రెక్క పైభాగంలో ఏర్పడిన ఘనీభవనం
వస్త్ర పదార్థాలను పట్టుకోవడానికి ఉపయోగించే మార్పు చేసిన బెర్నౌలీ-ఆధారిత గ్రిప్పర్ చుట్టూ పొగతో చూపించిన గాలి ప్రవాహం.[9] [10] గాలి ప్రవాహాన్ని మళ్లించడం ద్వారా, రోబోట్లు పదార్థాలను పట్టుకుని నిర్వహించే సమయంలో కలిగే కంపనాలను తగ్గించవచ్చు.

ఆధునిక దైనందిన జీవితంలో కనిపించే అనేక సంఘటనలను బెర్నౌలీ సూత్రం సహాయంతో విజయవంతంగా వివరించవచ్చు. వాస్తవానికి ఏ ద్రవమూ పూర్తిగా స్నిగ్ధతలేనిది (inviscid) కాకపోయినా,[11] చాలా సందర్భాల్లో బెర్నౌలీ సూత్రం మంచి సుమారుగా ఫలితాలను అందిస్తుంది.

  • విమాన రెక్కపై పనిచేసే లిఫ్ట్ బలంను లెక్కించడానికి బెర్నౌలీ సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, విమానం రెక్క పైభాగం మీదుగా ప్రవహించే గాలి, దిగువ భాగం మీదుగా ప్రవహించే గాలికంటే ఎక్కువ వేగంతో కదులుతున్నట్లయితే, బెర్నౌలీ సూత్రం ప్రకారం పైభాగంలోని పీడనం దిగువ భాగంలోని పీడనం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.[1] ఈ పీడన వ్యత్యాసం కారణంగా రెక్కపైకి లేపే బలం (lift force) ఉత్పన్నమవుతుంది.[12] ఒక రెక్క పైభాగం, దిగువ భాగం చుట్టూ గాలి వేగాల పంపిణీ తెలిసి ఉంటే, బెర్నౌలీ సమీకరణాలను ఉపయోగించి లిఫ్ట్ బలాన్ని మంచి ఖచ్చితత్వంతో గణించవచ్చు.[13] విమానయానానికి ఉపయోగించే మొదటి మానవ నిర్మిత రెక్కలు రూపొందించబడకముందే, ఈ గణిత సూత్రాలను డేనియల్ బెర్నౌలీ ప్రతిపాదించాడు.
  • అనేక పిస్టన్ ఇంజిన్‌లలో ఉపయోగించే కార్బ్యురేటర్ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రం, గాలి ప్రవాహంలో ఒక సంకుచిత భాగాన్ని (throat) సృష్టించడం ద్వారా తక్కువ పీడన ప్రాంతాన్ని ఏర్పరచడం. ఈ తక్కువ పీడనం ఇంధనాన్ని కార్బ్యురేటర్‌లోకి లాగి, లోపలికి ప్రవేశించే గాలితో బాగా కలిసేలా చేస్తుంది. గొంతు భాగంలో గాలి అత్యధిక వేగంతో ప్రవహించడంతో అక్కడ పీడనం అత్యల్పంగా ఉంటుందని బెర్నౌలీ సూత్రం వివరిస్తుంది. కార్బ్యురేటర్ రూపకల్పనను బట్టి, వెంచూరి ప్రభావం వల్ల ఏర్పడే రెండు స్థిర పీడనాల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని ఉపయోగించి ఇంధన ప్రవాహాన్ని ప్రేరేపించవచ్చు.
  • విమానంలోని పిటాట్ ట్యూబ్, స్టాటిక్ పోర్ట్లను విమానం యొక్క వాయువేగం కొలవడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఈ రెండు పరికరాలు ఎయిర్‌స్పీడ్ సూచికతో అనుసంధానించబడి ఉంటాయి. అది విమానాన్ని దాటి ప్రవహించే గాలి యొక్క డైనమిక్ పీడనాన్ని కొలుస్తుంది. బెర్నౌలీ సూత్రం ఆధారంగా ఈ సూచికను క్రమాంకనం (calibration) చేస్తారు, తద్వారా అది సరైన సూచిత వాయువేగాన్ని (indicated airspeed) చూపిస్తుంది.[1]
  • ద్రవ ప్రవాహ వేగాన్ని వెంచూరి మీటర్ లేదా ఒరిఫిస్ ప్లేట్ వంటి పరికరాలతో కొలవవచ్చు. ఇవి పైప్‌లైన్‌లో అమర్చబడి ప్రవాహ మార్గం వ్యాసాన్ని తగ్గిస్తాయి. అసంకోచనీయ ద్రవంలో వ్యాసం తగ్గితే ప్రవాహ వేగం పెరుగుతుందని నిరంతరత్వ సమీకరణం (continuity equation) చూపిస్తుంది. ఆపై బెర్నౌలీ సూత్రం ప్రకారం ఆ ప్రాంతంలో పీడనం తగ్గాలి. ఈ దృగ్విషయాన్ని వెంచూరి ప్రభావం అంటారు.
  • అడుగుభాగంలో రంధ్రం లేదా కుళాయి ఉన్న ట్యాంక్ నుండి ద్రవం బయటకు ప్రవహించే గరిష్ఠ రేటును బెర్నౌలీ సమీకరణం ద్వారా నేరుగా లెక్కించవచ్చు. ఈ రేటు ట్యాంక్‌లోని ద్రవ ఎత్తు వర్గమూలానికి అనుపాతంగా ఉంటుంది. దీనినే టోరిసెల్లీ నియమం అంటారు. ఇది బెర్నౌలీ సూత్రానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ద్రవ స్నిగ్ధత (viscosity) పెరిగితే ఈ ప్రవాహ రేటు తగ్గుతుంది; దీనిని డిశ్చార్జ్ గుణకం (discharge coefficient) ద్వారా వ్యక్తీకరిస్తారు, ఇది రేనాల్డ్స్ సంఖ్య, రంధ్ర ఆకారంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.[14]
  • బెర్నౌలీ గ్రిప్ ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, ఒక ఉపరితలం, గ్రిప్పర్ మధ్య ప్రత్యక్ష స్పర్శ లేకుండానే ఆకర్షణ బలాన్ని సృష్టిస్తుంది. ఈ విధానం పారిశ్రామిక రోబోటిక్స్‌లో సున్నితమైన వస్తువులను హాని చేయకుండా పట్టుకోవడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.[15]

గమనికలు

[మార్చు]

మూలాలు

[మార్చు]
  1. 1 2 3 Clancy, L.J. (1975). Aerodynamics. Wiley. ISBN 978-0-470-15837-1.
  2. 1 2 Batchelor, G.K. (2000). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
  3. ↑ "Hydrodynamica". Britannica Online Encyclopedia. Retrieved 2008-10-30.
  4. ↑ Anderson, J.D. (2016), "Some reflections on the history of fluid dynamics", in Johnson, R.W. (ed.), Handbook of fluid dynamics (2nd ed.), CRC Press, ISBN 9781439849576
  5. ↑ Darrigol, O.; Frisch, U. (2008), "From Newton's mechanics to Euler's equations", Physica D: Nonlinear Phenomena, 237 (14–17): 1855–1869, Bibcode:2008PhyD..237.1855D, doi:10.1016/j.physd.2007.08.003
  6. ↑ Streeter, Victor Lyle (1966). Fluid mechanics. New York: McGraw-Hill.
  7. ↑ Babinsky, Holger (November 2003), "How do wings work?", Physics Education, 38 (6): 497–503, Bibcode:2003PhyEd..38..497B, doi:10.1088/0031-9120/38/6/001, S2CID 1657792
  8. ↑ Resnick, R.; Halliday, D. (1960). Physics. John Wiley & Sons. section 18–4.
  9. ↑ Mykhailyshyn, R.; Savkiv, V.; Majewicz Fey, A.; Xiao, J. (2023). "Gripping device for textile materials". IEEE Transactions on Automation Science and Engineering. 20 (4): 2397–2408. Bibcode:2023ITASE..20.2397M. doi:10.1109/TASE.2022.3208796.
  10. ↑ Mykhailyshyn, R.; Romancik, J.; Harada, K.; Majewicz Fey, A. (2025). "Vibration Vanquished: Enhancing Grasping of Deformable Objects with Jet Gripper Technology". 2025 IEEE 21st International Conference on Automation Science and Engineering (CASE). pp. 2874–2880. doi:10.1109/CASE58245.2025.11164006. ISBN 979-8-3315-2246-9.
  11. ↑ Thomas, John E. (May 2010). "The Nearly Perfect Fermi Gas". Physics Today. 63 (5): 34–37. Bibcode:2010PhT....63e..34T. doi:10.1063/1.3431329.
  12. ↑ Resnick, R.; Halliday, D. (1960). Physics. New York: John Wiley & Sons. section 18–5.
  13. ↑ Eastlake, Charles N. (March 2002). "An Aerodynamicist's View of Lift, Bernoulli, and Newton". The Physics Teacher. 40 (3): 166–173. Bibcode:2002PhTea..40..166E. doi:10.1119/1.1466553.
  14. ↑ Mechanical Engineering Reference Manual (9th ed.).
  15. ↑ Mykhailyshyn, R.; Savkiv, V.; Maruschak, P.; Xiao, J. (2022). "A Systematic Review on Pneumatic Gripping Devices for Industrial Robots". Transport. 37 (3): 201–231. doi:10.3846/transport.2022.17110.

బాహ్య లింకులు

[మార్చు]
"https://te.wikipedia.org/w/index.php?title=బెర్నౌలీ_సూత్రం&oldid=4889622" నుండి వెలికితీశారు