రీమాన్ దత్తాంశం

“జీటా ప్రమేయం యొక్క శూన్యస్థానాలు (zeros of the zeta function) లేదా మూలాలు (roots) అన్నీ (నిజ, రుణ రేఖ మీద కనబడే సాధారణ మూలాలని మినహాయించి) సంకీర్ణ లేదా జంట తలంలో (అనగా, complex plane లో) x = ½ అనే రేఖ మీదే గుమిగూడి ఉన్నాయి” అన్నది నిజమే సుమా అని రీమాన్ ఒక అమూల్య అభిప్రాయం వెలిబుచ్చేరు - రుజువు చెయ్యకుండా! ఇలా "రీమాన్ ఉటంకించిన శిష్టాభిప్రాయం (conjecture) ఒప్పే” అని రుజువు చేస్తే క్లే మేథమేటికల్ ఇన్‌స్టిటూట్ (Clay Mathematical Institute) వారు మిలియను డాలర్లు ఇస్తామని 2000 లో ప్రకటన చేసేరు. ఇక్కడ శిష్టాభిప్రాయం (conjecture) అన్నా దత్తాంశం (hypothesis) అన్నా అర్థం ఒక్కటే.

రీమాన్ (Georg Friedrich Bernhard Riemann, September 17, 1826 – July 20, 1866) తన 28 వ ఏట, అనగా 1854లో, చేసిన ప్రసంగాన్ని ఆధారంగా చేసుకుని అయిన్ స్టయిన్ తన సార్వత్రిక సాపేక్ష సిద్ధాంతం (General Theory of Relativity) అనే మహా సౌధాన్ని లేవనెత్తేరు. అదే వ్యక్తి అయిదేళ్లు పోయిన తరువాత, 1859 లో కేవలం పది పుటలు పొడుగున్న ఒక పరిశోధనా పత్రాన్ని ప్రచురించి గణిత ప్రపంచాన్ని అదరగొట్టేరు. ఆ పత్రంలోనే ఆయన తన శిష్టాభిప్రాయాన్ని వెలిబుచ్చేరు. చిత్రం ఏమిటంటే సంఖ్యా వాదం (Number Theory) లో ఆయన రాసిన ఏకైక పరిశోధనా పత్రం ఇది.

అప్పటికే ఎంతో పేరు మోసిన ప్రధాన సంఖ్యా సిద్ధాంతం (The Prime Number Theorem) మీద ఈ శిష్టాభిప్రాయం ఎంతో ప్రభావం చూపడం వల్ల, ఈ సమస్యని పరిష్కరించవలసిన అవసరం కీలకం అయి కూర్చుంది. ఈ ప్రధాన సంఖ్యా సిద్ధాంతానికి పెద్ద ప్రవరే ఉంది. ఇచ్చిన ఒక “సరిహద్దు” సంఖ్య x ని మించకుండా ప్రధాన సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో ఊహించి ఉరమరగా చెబుతుంది ఈ సిద్ధాంతం. ఈ ఉరమర మద్దింపుకి లెజాండర్ ఒక సూత్రాన్ని ఇస్తే దానిని కాసింత మెరుగు పరచి గౌస్ (Johann Carl Friedrich Gauss, 30 April 1777 – 23 February 1855), తన 18 వ ఏట, మరొక సూత్రాన్ని ప్రవచించేరు. నిజ రేఖ మీద ఒక హద్దుని ఇస్తే, ఆ హద్దుని మించకుండా ఆ రేఖ మీద ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయో ఉరమరగా చెబుతుంది ఈ సూత్రం. గౌస్ అంచనాని మరింత మెరుగు పరచి రీమాన్ (గౌస్ శిష్యుడు) మరొక సూత్రం ఇచ్చేరు. ఈ సూత్రం పనిచేస్తున్నట్లే ఉంది కాని పునాదులు ఎంత దిట్టంగా ఉన్నాయో తెలియదు. పునాదులు దిట్టంగా ఉండాలంటే రీమాన్ వెలిబుచ్చిన శిష్టాభిప్రాయం నిజం అవాలి. అప్పుడు గౌస్ ఇచ్చిన ఆ ఉరమర లెక్కలో “దోషం” (error) ఎంత ఉందో లెక్క కట్టవచ్చు.

ఉదాహరణగా x అనే "హద్దు" ని మించకుండా ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయో ఆ సంఖ్యని n(x) అనే ప్రమేయం (function) తో సూచిద్దాం. ఈ n(x) ఉరమరగా x/ ln x అంత ఉంటుంది అన్నారు లెజాండర్. మచ్చుకి x = 100 అయితే, 100/ ln 100 = 21.7 కనుక 100 లోపున ఉరమరగా 22 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయని ఈ సూత్రం అంచనా వేస్తోంది. నిజానికి 100 లోపున 25 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి (లెక్క వేసి చూసుకోడం కష్టం కాదు). కనుక ఈ అంచనాలో దోషం 22 - 25 లేదా “వందింట -3” లేదా 3 శాతం. మరొక మచ్చుగా హద్దు x = 1000, 000,000 అయితే మన అంచనా 109/ ln 109 = 50,847,534. నిజానికి బిలియను హద్దు లోపున 48,254,942 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి (ఇది మీరు లెక్క వేసి చూసుకోలేరు కాబట్టి నా మాట నమ్మండి.) కనుక లెజాండర్ అంచనాలో దోషం 48,254,942 - 50,847,534 = -2,592,592 లేదా 0.25 శాతం. ఈ లెజాండర్ లెక్కని గౌస్ మెరుగు పరచేరు. నిజ రేఖ (real line) మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ గౌస్ అంచనా మెరుగవుతుంది (ఈ దిగువ పట్టిక చూడండి). రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయమే రుజువయితే ఈ అంచనాని పట్టికలో చూపినట్లు ఇంకా మెరుగు పరచవచ్చు. అదీ రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయం ప్రాముఖ్యతకి కారణం.

x	n(x)	లెజాండర్ లెక్కలో దోషం	గౌస్ లెక్కలో దోషం	రీమాన్ లెక్కలో దోషం	-
10	4	0	2	-
100	25	-3	5	1
1000	168	-23	10	0
1000000	78498	-6116	130	29
1000000000	50847534	-62592592	1701	-79