లాప్లాస్ సమీకరణం

లాప్లాస్ సమీకరణము

Laplace's Equation on an annulus (inner radius r=2 and outer radius R=4) with Dirichlet Boundary Conditions: u (r=2)=0 and u (R=4)=4sin (5*θ)

లా ప్లాస్ సూత్రకర్త.

గణితశాస్త్రంలో, లాప్లాస్‌యొక్క సమీకరణం రెండో ఆర్డర్ పాక్షిక అవకలన సమీకరణం. మొదట దాని లక్షణాలను అధ్యయనం చేసిన పియర్-సైమన్ లాప్లాస్ (Pierre-Simon Laplace) పేరు వీటికి పెట్టబడింది.

$\nabla ^{2}\varphi =0\qquad {\mbox{or}}\qquad \Delta \varphi =0$

ఇక్కడ ∆ = ∇² లాప్లాస్ఆపరేటర్, φ స్కేలార్ ఫన్క్షన్.

లాప్లాస్ సమీకరణం, పాయిజన్ సమీకరణం దీర్ఘవృత్తాకార పాక్షిక అవకలన సమీకరణాల అత్యంత సాధారణ ఉదాహరణలు. లాప్లాస్సమీకరణం పరిష్కారాల యొక్క సాధారణ సిద్ధాంతం సంభావ్య సిద్ధాంతం అంటారు. లాప్లాస్ సమీకరణానికి కొన్ని పరిష్కారాలు హార్మోనిక్ఫంక్షన్. వీటిని కచ్చితంగా విద్యుత్ గురుత్వాకర్షణ, ద్రవం శక్మం ప్రవర్తన వివరించడానికి ఉపయోగించవచ్చు ఎందుకంటే విజ్ఞానశాస్త్రం యొక్క అనేక రంగాలలో, విద్యుదయస్కాంతత్వం, ఖగోళశాస్త్రం, ద్రవడైనమిక్స్రంగాలలో ఇవి ముఖ్యమైనవి. వేడి ప్రసరణ యొక్క అధ్యయనంలో, లాప్లాస్ మీకరణం స్థిరమైన వేడి సమీకరణం ఉంది.

నిర్వచనము

మూడుకోణాలలో 1) కార్టీసియన్ అక్షాంశాలలో

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.$

2) స్థూపాకార అక్షాంశాలలో

$\Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0$

3) గోళాకార అక్షాంశాలలో

$\Delta f={\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho ^{2}{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$

4) కర్వ్ లీనియరు అక్షాంశాలలో

$\Delta f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{ki}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,$

లేదా

$\Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\mathrm {det} \{g_{ij}\}).$

సరిహద్దునియమాలు

లాప్లాస్ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాలుసమీకరణం సంతృప్తి ఉన్న డొమైన్ పరిధిలోని విశ్లేషణాత్మకంగా ఉంటాయి.ఏ రెండు విధులు లాప్లాస్ యొక్క సమీకరణం పరిష్కారాలను ఉంటే వాటి మొత్తం కూడా ఒక పరిష్కారం ఉండాలి.ఈ లక్షణాలను నియమక సూత్రం అంటారు.

లాప్లాస్ ఆపరేటర్ వేడి సమీకరణం లో కనిపిస్తుంది కాబట్టి, ఈక్రింది విధంగా ఈ సమస్యకు ఒక భౌతిక అంచనా చేయవచ్చు:సరిహద్దు స్థితిలో ఇచ్చిన వివరాల ప్రకారం డొమైన్ యొక్క సరిహద్దు మీద ఉష్ణోగ్రత పరిష్కరించబడింది .

ఎలెక్ట్రోస్టాటిక్స్లో లాప్లాస్‌ సమీకరణం

$E=-\nabla V$

ఖాళీప్రదేశంలో ఏ ఎలెక్ట్రో సంభావ్య లాప్లాస్‌ సమీకరణం అయినా సున్నాకు సమానంగా ఉండాలి. విద్యుత్‌పొటాన్షియలో ఒక్క ప్రవణతతో విద్యుత్‌ క్షేత్ర విలువ తెలుసును. ఆవేశసాంద్రత, విద్యుత్ పొటన్షియల్ సబంధించినపాయిజన్‌యొక్క సమీకరణం పొందటానికి విద్యుత్ క్షేత్ర విభేదం తీసుకోవాలి.

$\nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

ఖాళీస్థలంలో (ρ = 0) పాయిజన్ సమీకరణం లాప్లాస్‌ సమీకరణంగా మార్చబడింది.