సహస్రాబ్ద బహుమతి సమస్యలు

క్లే గణిత సమాఖ్య 2000వ సంవత్సరంలో పేర్కొన్న ఏడు గణిత సమస్యలని సహస్రాబ్ద బహుమతి సమస్యలుగా వర్ణిస్తారు. ఈ సమస్యలు బర్చ్, స్విన్నర్టన్-డయర్ ప్రతిపాదన, హాడ్జ్ ప్రతిపాదన, నేవియర్-స్టోక్స్ ఉనికి, సున్నితత్వం, పీ వర్సెస్ ఎన్పీ సమస్య, పాంకేర్ ప్రతిపాదన, రీమన్ ప్రతిపాదన, యాంగ్-మిల్స్ ఉనికి, భారం. వీటిల్లో సరైన పరిష్కారము కనుగొన్న వారికి 1 మిల్లియన్ యూ ఎస్ డాలర్లు బహుమతిగా ఆ సంస్థ ఇస్తుంది.

ఇప్పటి వరకు అయితే, ఈ సహస్రాబ్ద బహుమతి సమస్యలలో పరిష్కారిచబడ్డది కేవలం పాంకేర్ ప్రతిపాదన. రష్యా గణిత శాస్త్రవేత్త గ్రిగోరీ పెరెల్మాన్ చేత 2003లో పరిష్కారిచబడ్డది.

పరిష్కారిచబడ్డ సమస్య

పాంకేర్ ప్రతిపాదన

2వ పరిమాణములో(డైమెంషన్ లో), ఒక గోళము అనేది ఓ నిర్భంద కేవల-సంబంధిత ఉపరితలము(క్లోస్డ్ సింప్లీ కనక్టెడ్ సర్ఫేస్) అని వర్ణించవచ్చు. పాంకేర్ ప్రతిపాదన ప్రకారము ఇది 3వ పరిమాణములో కుడా వర్తిస్తుంది. 3-మానిఫోల్డ్ లని అన్నిటిని వర్గీకరించడము అనే మరింత సాధారీకరన సమస్యలో ఇది కేంద్ర బిందువు. కచ్చితముగా సూత్రీకరించినచో ఈ ప్రతిపాదన ఇలాగ చెప్పవచ్చు:

ప్రతి కేవల-సంబంధిత నిర్భంద 3-మానిఫోల్డ్ 3-గోళానికి స్వమార్పరీకరించబదుతుంది(హోమియోమార్ఫిక్)

ఈ ప్రతిపాదనకు 2003లో గ్రిగోరి పెరెల్మాన్ చెత రుజువు(ప్రూఫ్) ఇవ్వబడింది. రిచర్డ్ హామిల్టన్ యొక్క ఆధారముగా పెరెల్మాన్ దీనిని కనుగొన్నారు; 2006 ఆగస్ట్ లో దీని సమీక్ష పూర్తి అయ్యింది. అప్పుడు పెరెల్మాన్ గణిత శాస్త్ర అతి ముఖ్య పురస్కారమైన ఫీల్డ్స్ పతకానికి ఎంపిక అయ్యరు, కాని దాన్ని అయన తిరస్కరించారు. మార్చ్ 18 2010న, ఆయనకి సహస్రాబ్ద బహుమతి ఒక మిల్లియన్ డాలర్లతో పురస్కరించబడ్డారు, కాని ఆయన దానిని, క్లే గణిత సంస్త యొక్క పురస్కారన్ని కుడా తిరస్కరించారు. ఇంటర్ఫాక్స్ పత్రికా సంస్థతో పెరెల్మాన్ ఆ పురస్కారము యొక్క సరితూగని నియమాల కారణముగా అల చేసారు అని వ్యాఖ్యానించారు. ఇంటర్ఫాక్స్ తో, పెరెల్మాన్ ఆయన సమస్య పూరనానికి పడ్డ దోహదం హామిల్టన్ యొక్క దానికి ఏ మాత్రము ఎక్కువ కాదు అని భావిస్తున్నరు అని చెప్పరు.

ఈ సమస్య యొక్క అధికారిక ప్రకటన కర్త హెన్రీ పాంకేర్.

పరిష్కారిచబడని సమస్యలు

పీ వర్సెస్ ఎన్పీ సమస్య

ఒక అల్గోరిథం త్వరగా ఇచ్చిన పరిష్కారాన్ని (అంటే, బహుపది సమయంలో) ధ్రువీకరించే అన్ని సమస్యలకు, వేరోక అల్గోరిథం ఆ పరిష్కారాన్ని త్వరగా కనుగొనడము అనేది సాధ్యమా కాదానే ప్రశ్న. ముందుది NP అని పిలవబడే సమస్యల వర్గాన్ని, తరువాతది వర్ణించేది Pను, అనగా NP లోని అన్ని సమస్యలు Pలో కూడా ఉన్నాయా అని ప్రశ్నించడానికి సమానం. ఇది గణితం, ఇతర సైద్ధాంతిక కంప్యూటర్ సైన్స్లో అత్యంత ముఖ్యమైన బహిరంగ ప్రశ్నలలో ఒకటిగా పరిగణించబడుతుంది, ఎందుకంటే దీనికి గణితంలోను, జీవశాస్త్రం, తత్వశాస్త్రం, గూఢ లిపి శాస్త్రములోను ఇతర సమస్యలకు భారి పరిణామాలకి దారి తీస్తుంది. Pలో లేని ఒక NP సమస్య యొక్క సాధారణ ఉదాహరణ బూలియన్ సంతృప్తి సమస్య.

చాలామంది గణితవేత్తలు, కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్తలు పీ ≠ ఎన్పీ అని అంచనా వెస్తారు; కాని, ఇంకా అది రుజువు కావాల్సి ఉంది.

ఈ సమస్య యొక్క అధికారిక ప్రకటన కర్త స్టీఫెన్ కుక్.

హాడ్జ్ ప్రతిపాదన

ప్రక్షేప బీజీయ రకాలకి బీజీయ చక్రాల యొక్క హేతుబద్ధమైన సరళ కలయికలు హాడ్జ్ చక్రాలు అని హాడ్జ్ ప్రతిపాదన పేర్కొంటుంది

ఈ సమస్య యొక్క అధికారిక ప్రకటన కర్త పియేర్ డెలీన్.

రీమన్ ప్రతిపాదన

రీమన్ ప్రతిపాదన ప్రకారము అన్ని రీమన్ జీటా సమీకరణం యొక్క అల్పము కాని సున్నాల (నాన్ ట్రివియల్ జీరోస్) విశ్లేషణాత్మక కొనసాగింపుకి చెందే నిజ భాగము ¹/₂. దీని రుజువు లేక ఖండన, సంఖ్యా శాస్త్రములో చాలా చిక్కులు కలగజెయ్యగలిగేది, ముఖ్యముగా ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క సరిపంపకం. ఇది హిల్బెర్ట్ యొక్క యనిమిదవ సమస్య, అయినా కుడా ఇది ఒక శతాబ్దము తరువాత ఇంకా పరిష్కరించబడని ఒక ముఖ్యమైన సమస్య.

ఈ సమస్య యొక్క అధికారిక ప్రకటన కర్త ఎంరీకొ బొంబియేరి.

యాంగ్-మిల్స్ ఉనికి, భారం

భౌతిక శాస్త్రములో, అసలైన యాంగ్-మిల్స్ సిద్ధంతము మాక్స్వెల్ల్ విద్యుదయస్కాంతము యొక్క సాధారీకరణము. అనగా, ఖ్రోమో-విద్యుదయస్కాంత క్షేత్రం దానికదే చార్జీలు మోస్తాయి. అసలైన క్షేత్ర సిద్ధాంతము అయినందున దాని పరిష్కారాలు కాంతి వెగముతో ప్రయాణిస్తాయి, దాని పరిమాణ శాస్త్ర అంతరములో అది బరువులేని కణాలని (గ్లూవాన్) విర్ణించాలి. కాని రంగు నిర్బంధం యొక్క ప్రదిపాదించిన దృగ్విషయం ద్వారా కేవలము గ్లూవాంన్ల యొక్క బంధ స్థితులని పరిమతిస్తుంది, దీని వల్ల బరువు ఉన్న కణాలు రూపుదిద్దుకుంటాయి. ఇది ఒక బరువు భేదము. నిర్బంధం యొక్క మరొక అంశం యసింప్టాటిక్ స్వేచ్ఛ, అది పరమాణు యాంగ్-మిల్స్ సిద్ధంతముని ఊహించదగ్గదానిగ మారుస్తుంది, యెటువంటి తక్కువ శక్తి ప్రమాణాలకి పరిమితులు లేకుండా. అసలు ఇక్కడి అసలు సమస్య ఎంటంటే, పరమాణు యాంగ్-మిల్స్ సిద్ధంతముని, బరువు భేదాన్ని సరిగ్గా స్థాపించడము.

ఈ సమస్య యొక్క అధికారిక ప్రకటన కర్తలు ఆర్థర్ జాఫ్, ఎడ్వార్డ్ విట్టెన్.

నేవియర్-స్టోక్స్ ఉనికి, సున్నితత్వం

నేవియర్-స్టోక్స్ సమీకరణాలు ద్రవ్యాల కదలికను వర్ణిస్తాయి, ద్రవ్య యాంత్రిక శాస్త్రములోని స్తంభాలలో అవి ఒకటి. అయితే, వారి పరిష్కారాల సిద్ధాంతపరమైన అవగాహన అసంపూర్తిగా ఉంది. ప్రత్యేకించి, నేవియర్-స్టోక్స్ సమీకరణాల పరిష్కారాలు తరచూ టర్బ్యులెంస్ ని కూడి ఉంటుంది. వీటికి సైన్స్, ఇంజనీరింగ్లో అపారమైన ప్రాముఖ్యత ఉన్నప్పటికీ, వీటి సాధారణ పరిష్కారాలు భౌతికశాస్త్రంలో పరిష్కారించని సమస్యలలో ఒకటిగా మిగిలి ఉన్నాయి.

నేవియర్-స్టోక్స్ పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలని కూడా ఎన్నడూ నిరూపించబడలేదు. కొన్ని ప్రారంభ పరిస్థితులకి త్రిమితీయ సమీకరణాల వ్యవస్థ కోసం, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మృదువైన పరిష్కారాలు ఎల్లప్పుడూ ఉనికిలో ఉన్నాయని రుజువు చెయ్యలేదు. అదే కాక అవి ఉనికిలో ఉంటే, అవి ఒక యూనిట్ ద్రవ్యరాశికి తగ్గ హద్దుల్లో ఉందె శక్తి అని కుడా రుజువు చెయ్యలేదు. ఇది నేవియర్-స్టోక్స్ ఉనికి, సున్నితత్వం సమస్య అని పిలుస్తారు.

ఈ సమీకరణాల యొక్క అంతర్దృష్టిని అందించే ఒక గణిత శాస్త్ర సిద్ధాంతానికి పురోగతిని సాధించడమే అసలు సమస్య. అది కొన్ని పరిస్థుతులని అనుసరించి మృదువైన, ప్రపంచవ్యాప్తంగా నిర్వచించిన పరిష్కారాలు ఉన్నయని రుజువు చేయ్యడము లెదా అవి ఎప్పుడూ ఉనికిలో ఉండక సమీకరణాలు విచ్ఛిన్నమవుతాయని.

ఈ సమస్య యొక్క అధికారిక ప్రకటన కర్త చార్ల్స్ ఫెఫ్ఫర్మాన్.

బర్చ్, స్విన్నర్టన్-డయర్ ప్రతిపాదన

బర్చ్, స్విన్నర్టన్-డయర్ ప్రతిపాదన హేతుబద్ధ సంఖ్యల మీద దీర్ఘవృత్తాకార వక్రతలను నిర్వచించడానికి కొన్ని రకాలైన సమీకరణాకతో వ్యవహరిస్తుంది. అటువంటి సమీకరణాలకి పరిమిత లెక అపరిమిత హేతుబద్ధ పరిష్కారలు ఉంటాయా లేదా అనేదానికి ఒక తేలికైన విధానము ఉంది అని ఈ ప్రతిపాదన చెపుతుంది. హిల్బెర్ట్ యొక్క పదవ సమస్య దీని మరింత సాధారనీక్రుతమైన సమీకరణానికి సంబంధించింది. ఒక వేల అది రుజువైన యడల ఒక సమీకరణానికి అసలు పరిషారాలు ఉంటాయా లెదా అన్నదానికి ఎటువంటి దారీ ఉండదు.

ఈ సమస్య యొక్క అధికారిక ప్రకటన కర్త ఆండ్రూ వైల్స్.