కెప్లర్ సమీకరణము

ఐదు వేరువేరు వైపరీత్యాల మధ్య 0, 1 ని కెప్లర్ నియమము ద్వారా పరీక్షరించవచ్చు

భౌతిక శాస్త్రము ప్రకారం, ఒక కక్ష్యలో తిరుగుతున్న వస్తువు పై కక్ష్య కేంద్ర బలాలు, వివిధ జ్యామితి ధర్మములను కెప్లర్ యొక్క సమీకరణము తెలియజేస్తుంది. కెప్లర్ సమీకరణము మొదటిగా యొహానెస్ కెప్లర్ (Johannes Kepler) చే తన ఆస్ట్రొనమి నొవ (Astronomia nova) లోని 60వ అధ్యాయంలో, 1609 లో, ఉత్పాదించబడింది. తరువాత 1621 లో ఎపిటొమీ అఫ్ కొపర్నికన్ ఆస్ట్రొనమి లోని 5 వ పుస్తకం లో కూడ ప్రస్తావించబడింది. ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి కెప్లర్ ఒక పునరుత్థాన పద్ధతి (iterative method)ని కూడా సూచించేరు. ఈ సమీకరణము భౌతిక, గణిత శా స్త్రములలో, ప్రత్యేకించి ఖగోళ యాంత్రిక శాస్త్రములో, ముఖ్యమైన పాత్రను పోషించింది.

కెప్లర్ సమీకరణము

ఖగోళ యంత్రగతి శాస్త్రంలో ఒక కేంద్రం నుండి ప్రసరిస్తూన్న బలం ప్రభావం వల్ల ఒక కక్ష్య వెంబడి తిరుగుతూన్న శాల్తీ యొక్క లక్షణాలని వర్ణించే ఈ దిగువ చూపిన సమీకరణము పేరు కెప్లర్ సమీకరణం.

$M=E-\varepsilon \sin E$

ఇక్కడ M అనునది సగటు వైపరీత్యము (mean anomaly), E అనునది ఉత్కేంద్ర (eccentric anomaly) వైపరీత్యము, కాగా $\varepsilon$ అనునది వైపరీత్యము. 'ఉత్కేంద్ర వైపరీత్యము' E కెప్లరీయ కక్ష్యలో కదిలే ఒక బిందువు యొక్క స్థానమును గణించడంలో సహాయపడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఒక వస్తువు నక్షత్రసమీప బిందువు (periastron) వద్ద, అనగా అక్షాంశాలు x = a(1 − ε), y = 0, ప్రారంభ సమయము t = t₀ దగ్గర, ఉందనుకుంటే, ఆ వస్తువు మరే ఇతర సమయంలోనైనా ఎక్కడ ఉందో గణించడానికి ముందస్తుగా ఆ వస్తువు యొక్క సగటు వైపరీత్యము M ను, సగటు కదలిక (mean motion) n ను M = n(t − t₀) అనే సూత్రమును ఉపయొగించి కనుగొనవచ్చు. ఇక్కడ "సగటు కదలిక" అంటే కక్ష్య వెంబడి ఒక చుట్టూ తిరగడానికి పట్టే సగటు కోణీయ జోరు (angular speed). తరువాత కెప్లర్ సమీకరణమును ఉపయొగించి E ను కనుగొనవచ్చు, తరువాత అక్షాంశాలను కనుక్కోడానికి ఈ దిగువ సమీకరణములు ఉపయోగించాలి.

${\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos E-\varepsilon )\\y&=&b\sin E\end{array}}$

ఇక్కడ సైన్ (sine) అనునది బీజాతీత ప్రమేయము కనుక కెప్లర్ సమీకరణముని బీజాతీత (transcendental) సమీకరణము అంటారు. కనుక బీజగణిత (algebraic) పద్ధతులని ఉపయోగించి E ని కనుగొనలేము. సంఖ్యావాచక విశ్లేషణ (numerical analysis) కాని, శ్రేణి విస్తరణ (series expansion) కాని సాధారణముగా E ను కనుగొడానికి అవసరము.

ప్రత్యామ్నాయ రూపాలు

కెప్లర్ సమీకరణమునకు అనేక రూపాలు ఉన్నాయి. ప్రతీ రూపము కక్ష్య యొక్క నిర్దిష్ట లక్షణంతో సంబంధము కలిగి ఉంటుంది. ప్రామాణిక కెప్లర్ సమీకరణము దీర్ఘ వృత్తాకార కక్ష్యల కోసము ఉపయొగిస్తారు (0 ≤ ε < 1). అతివలయ (hyperbolic) కెప్లర్ సమీకరణమును అతివలయ కక్ష్యల్లో ఉపయొగిస్తారు (ε >> 1). త్రైజ్య (radial) కెప్లర్ సమీకరణం (అనగా, ε = 1) వాడితే సరళ సంచారగతులు వస్తాయి. ఈ ε = 0 అయినప్పుడు కక్ష్య వృత్తాకారముగా ఉంటుంది.

అతివలయ (hyperbolic) కెప్లర్ సమీకరణము

అతివలయ కెప్లర్ సమీకరణము ఏమనగా:

:$M=\varepsilon \sinh H-H$

ఇక్కడ H అనునది అతివలయ ఉత్కేంద్ర వైపరీత్యం. ఈ సమీకరణాన్ని ఉత్పన్నం చెయ్యడానికి, కెప్లర్ యొక్క దీర్ఘవృత్త సమీకరణాన్ని -1 యొక్క వర్గమూలము తో గుణించాలి. (i=√ (−1) ఊహాత్మకం). అనగా E స్థానములో iH పెట్టాలి,

$E=iH$

$M=i\left(E-\varepsilon \sin E\right)$

త్రైజ్య (radial) కెప్లర్ సమీకరణము

త్రైజ్య కెప్లర్ సమీకరణము ఎమనగా:

$t(x)=\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1-x)}}$

ఇక్కడ t అనునది కాలమును సూచిస్తుంది., x అనునది x-అక్షము గుండా ఉండు దూరము.ఈ సమీకరణము కెప్లర్ సమీకరణమును 1/2 తో గుణించడం ద్వారా వచ్చును.

$E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}})$

, ε=1 పెట్టగా,

$t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin(E)\right].$

ను ఇస్తుంది.

విలోమ సమస్య (Inverse Problem)

E నుండి M ను సాధించడానికి మార్గం సుగమంగా ఉంటుంది. కాని M నుండి E ని సాధించడం కష్టం; ఈ సందర్భంలో సంవృత రూపంలో (closed-form) పరిష్కారం దొరకదు. అనంత శ్రేణి రూపంలోపరిష్కారం సాధించవచ్చు కాని ఆ శ్రేణి అభిసరణ చెందదు. ఈ సమశ్య ఎంత క్లిష్టతమం అంటే "దీనికి పరిష్కారం ఉందా?" అని సాక్షాత్తూ కెప్లర్ మహాశయుడే సందేహం వ్యక్తపరచేడు!

విలోమ కెప్లర్ సమీకరణము

విలోమ కెప్లర్ సమీకరణము, కెప్లర్ సమీకరణము యొక్కఅన్నీ వాస్తవ విలువల యొక్క εను పరిష్కరిచుటకు ఉంది.

$E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&\varepsilon =1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -\varepsilon \sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&\varepsilon \neq 1\end{cases}}$

పైన చూపిన అంశాలని పరిష్కరించగా -

$E={\begin{cases}\displaystyle x+{\frac {1}{60}}x^{3}+{\frac {1}{1400}}x^{5}+{\frac {1}{25200}}x^{7}+{\frac {43}{17248000}}x^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}x^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}x^{13}+\cdots \ |\ x=(6M)^{\frac {1}{3}},&\varepsilon =1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-\varepsilon }}M-{\frac {\varepsilon }{(1-\varepsilon )^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9\varepsilon ^{2}+\varepsilon )}{(1-\varepsilon )^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225\varepsilon ^{3}+54\varepsilon ^{2}+\varepsilon )}{(1-\varepsilon )^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025\varepsilon ^{4}+4131\varepsilon ^{3}+243\varepsilon ^{2}+\varepsilon )}{(1-\varepsilon )^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&\varepsilon \neq 1\end{cases}}$

ఈ శ్రేణిని Mathematica ఉపయోగించి ఈ దిగువ చూపిన విధంగా పరిష్కరించవచ్చు:

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]

InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

విలోమ త్రైజ్య కెప్లర్ సమీకరణము

విలోమ త్రైజ్య కెప్లర్ నియమము ఎమనగా:

$x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]$

నాణ్యత పరీశీలన:

$x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3931875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}$

Mathematica ఉపయోగించి ఫలితము సాధించుట కొరకు:

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

విలోమ సమస్య యొక్క సంఖ్యా పరమైన అంచనా

ఎక్కువ ఆవర్తనాలను విలోమ సమస్య చర్య యొక్క వర్గమూలము కనిపెట్టడం ద్వారా సంఖ్యాపరంగా గణిచవచ్చు.

$f(E)=E-\varepsilon \sin(E)-M(t)$

దీనిని న్యూటన్ పద్ధతి ద్వారా కూడా చేయవచ్చు.

$E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-\varepsilon \sin(E_{n})-M(t)}{1-\varepsilon \cos(E_{n})}}$

గమనిక E, M లు రేడియన్ల గనణలో ప్రమాణాలుగా ఉంటయి.

ఇవి కుడా చూడండి

• కెప్లర్ సమీకరణము

బయటి లంకెలు

• Kepler's Equation
• Solving Kepler's Equation of Elliptical Motion