డీఅలంబర్ట్ సూత్రము

వికీపీడియా నుండి
Jump to navigation Jump to search

సాంకేతిక పదాల అర్థాలు[మార్చు]

  • అందరికీ సులభంగా అర్థం అవాలనే ఉద్దేశంతో ఇక్కడ వాడిన సాంకేతిక పదాల అర్థాలు ముందుగా ఈ దిగువ చూచునది.
  • acceleration = త్వరణం; సంవేగం
  • force = బలం
  • mass = తండం, గురుత్వం
  • momentum = భారగతి, రయజాతం
  • particle = రేణువు
  • system = వ్యవస్థ
  • vector = దిశమాణి, సదిశరాసి
  • velocity = వడి, ధృతిగతి
  • virtual = కాల్పనిక, మిథ్యా
  • work = పని, కర్మ
డీఅలంబర్ట్

డాలంబర్ట్ సూత్రం[మార్చు]

డాలంబర్ట్ సూత్రం లేదా లగ్రాంజ్-డాలంబర్ట్ సూత్రం, సంప్రదాయక యంత్రశాస్త్రం (classical mechanics) యొక్క మూలసూత్రం. ఈ సూత్రాన్ని ఫ్రెంచ్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త, గణితజ్ఞుడు అయిన డాలంబర్ట్ పేరు మీద స్థిర పరిచారు. న్యూటన్ ప్రవచించిన రెండవ చలన సూత్రం చెప్పేదే ఈ డాలంబర్ట్ సూత్రం కూడా చెబుతోంది; మరొక కోణంలో చెబుతోంది.

స్థిర వ్యవస్థలలో (static systems) కాల్పనిక కర్మ (virtual work) సూత్రం ఎంత ప్రాముఖ్యత సంతరించుకుందో, అదే విధంగా చలన వ్యవస్థలలో (dynamic systems) ఈ డాలంబర్ట్ సూత్రం ప్రాముఖ్యత సంతరించుకుంది. ఒక చలన వ్యవస్థలో అనేక రేణువులు (particles) లేదా తండాలు (masses) ఉన్నాయనుకుందాం. వీటిని mi అని సూచిద్దాం. ఇవి బాహ్య బలాల ప్రభావంలో ఉన్నాయని అనుకుందాం. అంటే ప్రతి mi మీద Fi అనే బాహ్య బలం పని చేస్తోందని అనుకుందాం. ఇక్కడ బొద్దుగా ఉన్న F సదిశరాసి, అనగా బాహ్యబలం యొక్క దిశనీ (direction), వేగాన్నీ (speed) సూచిస్తుంది. ప్రతి mi మీద Fi అనే బలం ప్రయోగించబడడం వల్ల ఈ వ్యవస్థ అంతా కాల్పనిక స్థానభ్రంశం (virtual displacement) చెందిందనుకుందాం. ఎంత ప్రాప్తికి? ఈ స్థానభ్రంశం విలువ δri అనుకుందాం. ఇక్కడ బొద్దుగా ఉన్న r సదిశరాసి, అనగా స్థానభ్రంశం జరిగిన దిశనీ, వేగాన్నీ సూచిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో ఈ దిగువ ఇచ్చిన సమీకరణం చెల్లుతుంది.

ఈ సమీకరణంలో

ఈ వ్యవస్థలో చలరాశుల పాదాంకంగా కనిపించే ఈ పూర్ణాంకం వివిధ రేణువులని సూచించడానికి ఉపయోగిస్తుంది. అనగా, i=1 అయితే ఒకటవ రేణువు, i=2 అయితే రెండవ రేణువు, వగైరా.
రేణువు i మీద అనువర్తిస్తున్న మొత్తం బలం. ఈ మొత్తాన్ని సదిశరాసుల బీజగణితం ఉపయోగించి వెలకట్టాలి.
రేణువు i యొక్క గురుత్వం (ద్రవ్య రాసి).
రేణువు i యొక్క త్వరణం (వేగవృద్ధి).
  రేణువు i యొక్క రయజాతాన్ని (వేగవృద్ధిని) తీసుకుని దాని కాల ఉత్పన్నం వెలకట్టగా వచ్చింది.
రేణువు i యొక్క కాల్పనిక స్థానభ్రంశం. ఇది సదిశరాసి; దీని ఇనికి త్లపడానికి ఆ రేణువు త్రిమాత్రక ప్రదేశంలో ఎక్కడ ఉందో చెప్పడానికి 3 నిరూపకాల వెంట వెళ్లాలి.

ఈ సూత్రం అర్థం[మార్చు]

పైన ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని సాంకేతిక భాషలో ఇలా వర్ణించవచ్చు: కొన్ని ఆసేధ బలాల (constraining forces, ఇక్కడ Fi) సమక్షంలో, జడత్వ బలాలతో (inertial forces, ఇక్కడ త్వరణాలు) ప్రభావితం అయిన n రేణువులు ఉన్న వ్యవస్థలో ఆసేధ బలాలు చేసే పని శూన్యం. ఈ వాక్యంలోని భావం సామాన్యుల భాషలో అర్థం కావడానికి చిన్న ఉదాహరణని చూద్దాం. ఒక వాలు బల్ల మీద ఒక వస్తువు జారుతున్నాదనుకుందాం. ఈ పరిస్థితిలో వస్తువు బల్ల మీద ఉండాలంటే వస్తువుని బల్ల బలంగా బయటకి నెట్టాలి. ఇది ఇక్కడ అసేధ బలం. ఈ బలం ఎల్లప్పుడు వాలు తలానికి లంబ దిశలోనే ఉంటుంది అని సూత్రం చెబుతోంది.

అసేధం చేసే పని ఏమిటి? కదలిక మీద ఆంక్ష విధించడం. ఈ ఆంక్ష ఒక బలం రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది. గోడకి ఎదురుగా నడుచుకుంటూ పోతే గోడ అడ్డు వచ్చి కదలికకి అవరోధం కలిగిస్తుంది. ఈ అవరోధం బలం రూపంలో వచ్చి ముఖాన్ని గుద్దుకుంటే బుర్రకి బొప్పి కడుతుంది.

కదలిక మీద ఆంక్షలు ఉన్న రేణు సమూహాల చలనశీలాన్ని వర్ణించవలసి వచ్చినప్పుడు ఈ సూత్రం బాగా ఉపయోగపడుతుంది. ఈ సూత్రంతో మొదలు పెట్టి ఆయిలర్-లగ్రాంజ్ సమీకరణాలని ఉత్పత్తి చెయ్యడం తేలిక.

మూలాలు[మార్చు]

[1] D'Alembert's Principle: The Original Formulation and Application in Jean d'Alembert's Tradé de Dynamique (1743) Lanczos, Cornelius (1970). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). New York: Dover Publications Inc. p. 92. ISBN 0-486-65067-7

ఇవి కూడా చూడండి[మార్చు]

  • "Conservation laws of dynamical systems via d'alembert's principle".