ఫెర్మా సూత్రం

ఫెర్మాట్ సూత్రం స్నెల్ నియమానికి మూలం.

ఆప్టిక్స్ లో, ఫెర్మా సూత్రం లేదా కనీస సమయ సూత్రం ప్రకారం రెండు బిందువుల మధ్యనున్న దూరాన్ని కాంతి రేఖ కనిష్ఠ సమయంలో ప్రయాణిస్తుంది. ఈ సూత్రాన్ని కొన్నిసార్లు కాంతి రేఖ నిర్వచనంగా ఉపయెగిస్తారు. కానీ పైన చెప్పబడినది సాంప్రదాయ నిర్వచనం. ఆధునిక నిర్వచనం ప్రకారం కాంతిరేఖలు స్థిర ధ్రువణ పొడవు మార్గాన్ని మార్గ వ్యత్యాసాలననుసరించి ప్రయాణిస్తాయి. మరొక విధంగా చెప్పాలంటే కాంతి రేఖలు ప్రయాణించే మార్గానికి సమాంతరంగా వేరొక మార్గంలో ప్రయాణించడానికి కూడా అంతే సమయం పడుతుంది. అద్దం ద్వారా పరావర్తనము చెందే, వివిధ మాధ్యమాల ద్వారా వక్రీభవనము పొందే, సంపూర్ణ అంతఃప్రతిబింబము చెందే కాంతి కిరణాల ధర్మములను ఫెర్మా సూత్రం ద్వారా విశ్లేషించవచ్చు. గణితశాస్త్రపరంగా ఈ సూత్రం హైజెన్ సూత్రాన్ని అనుసరిస్తుంది. స్నెల్ నియమం, పరావర్తన నియమాలను ఈ సూత్రం ద్వారా కనుగొనవచ్చు. ఫెర్మా సూత్రం స్వరూపం కూడా హామిల్టన్ సూత్రపు స్వరూపానికి సమానంగా ఉంటుంది, ఇది హేమిల్టోనియన్ ఆప్టిక్స్ కి ఆధారం.

ఆధునిక రూపాంతరం

ఒక విద్యుదయస్కాంత తరంగం A, B అనే రెండు బిందువుల మధ్య గల మర్గాన్ని ప్రయాణించడానికి తీసుకునే సమయం T అనుకుంటే, ఆ T ని ఈ విధంగా సమీకరించవచ్చు.

$T=\int _{\mathbf {t_{0}} }^{\mathbf {t_{1}} }\,dt={\frac {1}{c}}\int _{\mathbf {t_{0}} }^{\mathbf {t_{1}} }{\frac {c}{v}}{\frac {ds}{dt}}\,dt={\frac {1}{c}}\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds\$

ఇక్కడ c శూన్యంలో కాంతి వేగం, dѕ కిరణం యొక్క స్థానభ్రంశం, v = ds/dt ఒక మాధ్యమంలో కాంతి వేగము, n = c/v మాధ్యమం యొక్క వక్రీభవన సూచిక, $t_{0}$ Α వద్ద ప్రారంభ సమయం, $t_{1}$ Β వద్ద చేరుకొను సమయం.

A, B బిందువుల మధ్య ఒక కాంతి రేఖ యొక్క ధ్రువణ మార్గ పొడవు, S ను ఈ విధంగా సమీకరించవచ్చు

$S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds\$

ఈ విలువ, ప్రయాణించడానికి తీసుకునే సమయం, "S"="c""Τ" సమీకరణం ద్వారా సమీకరించబడింది.

సమయాని పరిగణించని కారణంగా ఆప్టికల్ మార్గం పొడవు పూర్తిగా జ్యామితీయ పరిమాణం. కాంతి ప్రయాణ సమయంలోని ఒక అత్యంతము, రెండు బిందువులు Α, B ల మధ్య ఆప్టికల్ మార్గం పొడవు యొక్క అత్యంతమునకు సమానము. ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు పియరీ డి ఫెర్మాట్ ప్రతిపాదించిన చారిత్రక రూపంలో అసంపూర్తిగా ఉంది.

వేరియెషనల్ ఫెర్మాట్ సూత్రం ఆధునిక ప్రకటన, రెండు స్ధిర బిందువులు A, B మధ్య కాంతి మార్గం యొక్క ఆప్టికల్ పొడవు ఒక అత్యంతము.పదార్థం యొక్క ఆప్టికల్ పొడవుని రిఫ్రాక్టివ్ ఇండెక్సతో గుణించిన భౌతిక పొడవు అని నిర్వచిస్తారు.

ఈ ప్రకారం సాంకేతిక పదకోశాన్ని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు,

$\delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=0$

సాధారణంగా, రిఫ్రాక్టివ్ ఇండెక్స్ స్థానం యొక్క స్కేలార్ ఫీల్డ్ $n=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\$లో యూక్లిడ్ స్పేస్, అంటే, స్పేస్ లో ఉంది. ఆ కాంతి ఇప్పుడు x₃ అక్షం వెంట ప్రయాణించే ఒక భాగం ఉంది ఊహిస్తూ, ఒక కాంతి కిరణ మార్గంలో $s=\left(x_{1}\left(x_{3}\right),x_{2}\left(x_{3}\right),x_{3}\right)\$

చరిత్ర

గ్రీకు గణితశాస్త్రజ్ఞుడు హెరాన్ ప్రతిపాదన ప్రకారం రెండు బిందువులు A, B వద్ద రెండు అద్దాలను పెట్టి కాంతి రేఖను A నుండి B కి ప్రసరిస్తే కాంతిరేఖ అనంతమైన పరావర్తనాలు చెందుతుంది. ఆ సమయమ్లో ఆ కాంతిరేఖ ఎంచుకునే మార్గం అన్నిటికన్నా చిన్నది. 1021 లో ఇబ్న్ అల్ హయ్తం, 1662 లో ఫెర్మా కూడా కాంతి అతి తక్కువ దూరం గల మార్గంలోనే ప్రయాణిస్తుందని ప్రతిపాదించారు.

ఇవి కూడా చూడండి

1. స్నెల్ నియమం
2. కాంతి
3. కాంతి కిరణాలు
4. కనిష్ఠాతిక్రమణ

బయట లంకెలు

1. Fermat's principle, caustics, and the classification of gravitational lens images,
2. On Fermat's principle in general relativity. II. The conformally stationary case