కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం

{2, 3, 4, 5, 7} ల ఉపసమితులన్నింటి కనిష్ట సామాన్య గుణిజాలను చూపించే వెన్ డయాగ్రం

రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పూర్ణాంకాల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం అనేది, ఆ పూర్ణాంకాలన్నింటి చేత నిశ్శేషంగా భాగింపబడే అతిచిన్న పూర్ణాంకం. సంక్షిప్తంగా దీన్ని కసాగు అంటారు. ఇంగ్లీషులో దీన్ని Least Common Multiple అనీ, సంక్షిప్తంగా LCM అనీ అంటారు.

ఉదాహరణకి, 2,3 అనే రెండూ పూర్ణాంకాల చేత నిశ్శేషంగా భాగించడానికి వీలయే సంఖ్యలన్నిటిలోను 6 అతి చిన్నది. కసాగు (2, 3) = 6. రెండు కంటె ఎక్కువ పూర్ణ సంఖ్యలకి కూడ కసాగు లెక్కకట్టవచ్చు. ఉదాహరణకి {2, 3, 4, 5} ల కసాగు 60.

సూచించే విధానం

ఈ వ్యాసంలో కొన్ని సార్లు a, b అనే పూర్ణాంకాల క.సా.గును lcm (a, b) గా సూచిస్తారు. పాత పుస్తకములలో దీనిని [a, b].> గానూ, జె.ప్రోగ్రామింగ్ లాంగ్వేజ్ లో దీనిని a*.b గాను సూచిస్తారు.

గుణిజాల పద్ధతిలో కసాగు కనుగొనుట

ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క గుణిజాలను (factors) విడివిడిగా వ్రాసి, ఆ గుంపులలో ఉమ్మడిగా ఉన్న గుణిజాలను తీసుకొని, వాటిలో కనిష్ఠంగా ఉన్న సంఖ్యని ఆ సంఖ్యల క.సా.గు అంటారు.

ఉదాహరణ

4, 6 ల క.సా.గు ఎంత?

4 యొక్క గుణిజాలు:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, ...

6 యొక్క గుణిజాలు:

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...

4, 6 ల ఉమ్మడి గుణిజాలు:

12, 24, 36, 48, 60, 72, ....

పైన గల ఉమ్మడి గుణిజాలలో కనిష్ఠమైనది 12 కావున ఆ సంఖ్యల క.సా.గు 12 అవుతుంది.

ప్రధాన విభాజకాలు ఉపయోగించి కసాగు లెక్కకట్టడం

సంఖ్యల ప్రధాన కారణాంకాలను (prime factors) కనుగొని ఆ గుంపుల నుండి ఎక్కువ ఘాతాంకాలు ఉన్న ప్రధాన కారణాంకాలను తీసుకొంటే వాటి లబ్ధమే క.సా.గు అవుతుంది.

12, 30 ల కసాగు కనుగొనుట.

12 యొక్క ప్రధాన విభాజకాలు: 12 = 2 X 2 X 3 =2² X 3¹ X 5⁰
30 యొక్క ప్రధాన విభాజకాలు: 30 = 2 X 3 X 5 =2¹ X 3¹ X 5¹
ఈ రెండు గుంపుల నుండి ఎక్కువ ఘాతాంకాలు ఉన్న ప్రధాన కారణాంకాలని తీసుకుంటే 2² X 3¹ X 5¹ = 60 కనుక క.సా.గు 60 అవుతుంది.

24,300 ల క.సా.గు కనుగొనుట.

24 యొక్క ప్రధాన విభాజకాలు: 24 = 2 X 2 X 2 X 3 =2³ X 3¹ X 5⁰
300 యొక్క ప్రధాన విభాజకాలు: 300 = 2 X 2 X 3 X 5 X 5 =2² X 3¹ X 5²
ఈ రెండు గుంపుల నుండి ఎక్కువ ఘాతాంకాలు ఉన్న ప్రధాన కారణాంకాలని తీసుకుంటే 2³ X 3¹ X 5² = 600 కనుక క.సా.గు 600 అవుతుంది.

గ.సా.భా ఉపయోగించి క.సా.గు లెక్కకట్టడం

$\operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}.$

ఉదాహరణ

$\operatorname {lcm} (21,6)={21\cdot 6 \over \operatorname {gcd} (21,6)}={21\cdot 6 \over \operatorname {gcd} (3,6)}={21\cdot 6 \over 3}={\frac {126}{3}}=42.$

ఉపయోగాలు

సరళ భిన్నాలను కూడేటపుడు, తీసివేసేటపుడు, పోల్చేటపుడూ వాటి హారాల కసాగును (దీన్ని కనిష్ట సామాన్య హారం అని కూడా అంటారు) వాడతారు. ఎందుకంటే ఈ భిన్నాలన్నిటినీ ఈ కసాగునే హారంగా వాడి సూచించవచ్చు. ఉదాహరణకు,

${2 \over 21}+{1 \over 6}={4 \over 42}+{7 \over 42}={11 \over 42}$

ఇక్కడ 42 ను హారంగా ఎందుకు వాడామంటే, అది 21, 6 ల కసాగు కాబట్టి.

గేర్ల సమస్య

ఓ యంత్రంలో రెండు గేర్లు, వాటిలో ఒకదానికి m పళ్ళు, రెండో దానికి n పళ్ళూ ఉన్నాయనుకుందాం. ఆ గేర్లను, వాటి కేంద్రాల కలిపే సరళ రేఖ మీద గుర్తించారు. గేర్లు తిరగడం మొదలైనపుడు, మొదటి గేరు ఆ సరళరేఖపై తిరిగి అదే స్థానానికి రావడానికి ఎన్ని చుట్లు తిరగాలి అనేది ఆ రెండింటి కసాగును - $\operatorname {lcm} (m,n)$ - బట్టి తెలుసుకోవచ్చు. మొదటి గేరు ${\textstyle {\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}}}$ చుట్లు తిరగాల్సి ఉంటుంది. ఆ సమయానికి రెండవ గేరు ${\textstyle {\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}}$ చుట్లు తిరిగి ఉంటుంది.

గ్రహాల అలైన్‌మెంటు

ఓ నక్షత్రం చుట్టూ పరిభ్రమించే మూడు హ్రహాల కక్ష్యా వ్యవధులు l, m, n అనుకుందాం. ఈ మూడూ పూర్ణాంకాలే అనుకుందాం. ఈ గ్రహాలు మూడూ ఒకే రేఖపై వచ్చాక పరిభ్రమణం మొదలుపెట్టాయనుకుందాం. మళ్ళీ ఈ మూడూ ఒకే రేఖపైకి రావడానికి ఈ మూడింటి కసాగు - $\operatorname {lcm} (l,m,n)$ - సమయం పడుతుంది. ఈ సమయంలో ఈ మూడూ నక్షత్రం చుట్టూ వరసగా ${\textstyle {\frac {\operatorname {lcm} (l,m,n)}{l}}}$, ${\textstyle {\frac {\operatorname {lcm} (l,m,n)}{m}}}$ , ${\textstyle {\frac {\operatorname {lcm} (l,m,n)}{n}}}$ పరిభ్రమణాలు చేసి ఉంటాయి.

మూలాలు

వనరులు

• Burton, David M. (1970). A First Course in Rings and Ideals. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00731-2.
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN 0-387-94777-9
• Grillet, Pierre Antoine (2007). Abstract Algebra (2nd ed.). New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-71568-1.
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5
• Landau, Edmund (1966), Elementary Number Theory, New York: Chelsea
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766