కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం

కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం అన్నది ఇంగ్లీషులోని Least Common Multiple కి ముక్కస్య ముక్క అనువాదం. దీనిని ఇంగ్లీషులో సంక్షిప్తంగా LCM అనిన్నీ తెలుగులో కసాగు అనిన్నీ అంటారు.

రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు క, చ ఉన్నాయనుకుందాం. ఇప్పుడు క, చ ల చేత నిశ్శేషంగా భాగించబడే కనిష్ఠ సంఖ్య ఏదో అదే ఈ రెండింటి కసాగు.
ఉదాహరణకి, కసాగు (2, 3) = 6. ఎందుకంటే 2 చేత, 3 చేత నిశ్శేషంగా భాగించడానికి వీలయే సంఖ్యలన్నిటిలోను 6 అతి చిన్నది.

రెండు కంటె ఎక్కువ పూర్ణ సంఖ్యలకి కూడ కసాగు లెక్కకట్టవచ్చు.
ఉదాహరణకి కసాగు (క, చ, ట, త) = కసాగు (కసాగు (కసాగు (క, చ), ట), త)

సూచించే విధానం

ఈ వ్యాసంలో కొన్ని సార్లు a, b అనే పూర్ణాంకాల క.సా.గును lcm (a, b) గా సూచిస్తారు. పాత పుస్తకములలో దీనిని [a, b].> గానూ, జె.ప్రోగ్రామింగ్ లాంగ్వేజ్ లో దీనిని a*.b గాను సూచిస్తారు.

గుణిజాల పద్ధతిలో క.సాగు కనుగొనుట

ఇచ్చిన సంఖ్యల యొక్క గుణిజాలను (factors) విడివిడిగా వ్రాసి, ఆ గుంపులలో ఉమ్మడిగా ఉన్న గుణిజాలను తీసుకొని, వాటిలో కనిష్ఠంగా ఉన్న సంఖ్యని ఆ సంఖ్యల క.సా.గు అంటారు.

ఉదాహరణ

4, 6 ల క.సా.గు ఎంత?

4 యొక్క గుణిజాలు:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, ...

6 యొక్క గుణిజాలు:

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...

4, 6 ల ఉమ్మడి గుణిజాలు:

12, 24, 36, 48, 60, 72, ....

పైన గల ఉమ్మడి గుణిజాలలో కనిష్ఠమైనది 12 కావున ఆ సంఖ్యల క.సా.గు 12 అవుతుంది.

ప్రధాన విభాజకాలు ఉపయోగించి కసాగు లెక్కకట్టడం

సంఖ్యల ప్రధాన కారణాంకాలను (prime factors) కనుగొని ఆ గుంపుల నుండి ఎక్కువ ఘాతాంకాలు ఉన్న ప్రధాన కారణాంకాలను తీసుకొంటే వాటి లబ్ధమే క.సా.గు అవుతుంది.

12, 30 ల కసాగు కనుగొనుట.

12 యొక్క ప్రధాన విభాజకాలు: 12 = 2 X 2 X 3 =2² X 3¹ X 5⁰
30 యొక్క ప్రధాన విభాజకాలు: 30 = 2 X 3 X 5 =2¹ X 3¹ X 5¹
ఈ రెండు గుంపుల నుండి ఎక్కువ ఘాతాంకాలు ఉన్న ప్రధాన కారణాంకాలని తీసుకుంటే 2² X 3¹ X 5¹ = 60 కనుక క.సా.గు 60 అవుతుంది.

24,300 ల క.సా.గు కనుగొనుట.

24 యొక్క ప్రధాన విభాజకాలు: 24 = 2 X 2 X 2 X 3 =2³ X 3¹ X 5⁰
300 యొక్క ప్రధాన విభాజకాలు: 300 = 2 X 2 X 3 X 5 X 5 =2² X 3¹ X 5²
ఈ రెండు గుంపుల నుండి ఎక్కువ ఘాతాంకాలు ఉన్న ప్రధాన కారణాంకాలని తీసుకుంటే 2³ X 3¹ X 5² = 600 కనుక క.సా.గు 600 అవుతుంది.

గ.సా.భా ఉపయోగించి క.సా.గు లెక్కకట్టడం

$\operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}.$

ఉదాహరణ

$\operatorname {lcm} (21,6)={21\cdot 6 \over \operatorname {gcd} (21,6)}={21\cdot 6 \over \operatorname {gcd} (3,6)}={21\cdot 6 \over 3}={\frac {126}{3}}=42.$