జీనో
 జీనో నిజం, అబద్ధంలకు దారితీసే ద్వారాలను యువకులకు చూపుతున్న దృశ్యం. ఎల్ ఎస్కోరియల్ లైబ్రరీ (మాడ్రిడ్) లో వున్న కుడ్య చిత్రం. | |
| జననం | క్రీ.పూ. 495 ఎలియా |
|---|---|
| మరణం | క్రీ.పూ. 430 (సుమారు వయస్సు 65 సంవత్సరాలు) ఎలియా లేదా సిసిలీ లోని సైరక్యూస్ |
| యుగం | సోక్రటీస్ పూర్వకాలానికి చెందిన ఫిలాసఫీ |
| ప్రాంతం | పాశ్చాత్య తత్వశాస్త్రం |
| తత్వ శాస్త్ర పాఠశాలలు | ఎలియాటిక్ స్కూల్ |
| ప్రధాన అభిరుచులు | ఆది భౌతికశాస్త్రం (Metaphysics), సత్తా శాస్త్రం (Ontology) |
| ప్రసిద్ధ ప్రసిద్ధ ఆలోచనలు | జీనో యొక్క పారడాక్స్ |
ప్రభావితులు
| |
ప్రభావితమైనవారు
| |
జీనో సోక్రటిస్ పూర్వ కాలానికి చెందిన ఒక ప్రసిద్ధ గ్రీకు తత్వవేత్త. జీనో అఫ్ ఎలియా గా పిలవబడ్డ ఇతను క్రీ.పూ. 490-430 సంవత్సరాల మధ్య జీవించాడు.[1] దక్షిణ ఇటలీకు చెందిన ఎలియా నగరంలో నివసించేవాడు. స్థితివాది. ప్రసిద్ధ ఎలియా దార్శనికుడు అయిన పార్మెనిడిస్ యొక్క ముఖ్య శిష్యుడు, ప్రధాన సమర్ధకుడు. తన గురువు పార్మెనిడిస్ స్థాపించిన ఎలియా స్కూల్ కు ప్రతినిధి. తర్కశాస్త్రంలో వాదతర్కం (Dialectic) ను తొలిసారిగా ప్రవేశపెట్టినవానిగా జీనోను పరిగణిస్తారు.[2] గణితంలో అనంతం (infinity) భావనను చర్చించిన మొదటి తత్వవేత్త ఇతనే. చలనాన్ని అసాధ్యంగా పేర్కొంటూ, చలనంపై అతను లేవనెత్తిన నాలుగు విషయాలు జీనో విరోధాభాసలు (Paradoxes)గా చరిత్రలో ప్రసిద్ధి పొందాయి. బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్ వంటి బ్రిటీష్ తాత్వికుడు ఇతనిని అపారమైన సూక్ష్మ, లోతైన ప్రజ్ఞాశీలిగా అభివర్ణించాడు.[3]
ప్రారంభజీవితం
[మార్చు]జీనో జీవిత విశేషాలకు సంబందించిన కొద్ది వివరాలు మాత్రమే మనకు అందుబాటులో ఉన్నాయి. అతని మరణానంతరం ఒక శతాబ్దకాలం తరువాత అతని జీవిత చరిత్ర వ్రాయబడింది. అందులో పేర్కొన్న అతని జీవిత విశేషాలు, ప్లేటో యొక్క 'పార్మెనిడిస్ ప్రస్తావనల' నుండి గ్రహించబడ్డాయి.[4] అరిస్టాటిల్ యొక్క భౌతిక శాస్త్రంలో కూడా జీనో గురించిన ప్రస్తావనలు కనిపిస్తాయి.[5]
జీనో క్రీ.పూ. 490 ప్రాంతంలో దక్షిణ ఇటలీలోని ఎలియా నగరంలో జన్మించాడు. తండ్రి టెలీటగోరస్. ఎలియా నగరంలో ఆనాటి ప్రసిద్ధ గ్రీకు తత్వవేత్త అయిన పార్మెనిడిస్ వద్ద విద్య నభ్యసించాడు. గురువు పార్మెనిడిస్ స్థాపించిన ఎలియా స్కూల్ కు ప్రతినిధిగా, అతని ప్రియ శిష్యుడిగా, స్నేహితుడిగా మెలిగాడు. గురువు బోధించిన ఏకత్వ సిద్ధాంతాన్ని బలంగా సమర్ధించాడు. ఎలినాలో వున్నప్పుడే జీనో కొన్ని రచనలు చేసాడని వాటిలో నలభైకి పైగా విరోధాభాసలను పేర్కొన్నాడని తెలుస్తుంది.
ప్లేటో తన పార్మెనిడిస్ సంభాషణలలో భాగంగా ఒకసారి జీనో, పార్మెనిడిస్ ల యొక్క ఏథెన్స్ సందర్శనను వివరించడం జరిగింది. ఆ సమయంలో పార్మెనిడిస్ వయస్సు "సుమారు 65 సంవత్సరాలు", జీనో వయస్సు "దాదాపు 40" కాగా సోక్రటీస్ "నవ యువకుడు"గా వున్నాడని తెలియచేసాడు.[6] అప్పటికి సోక్రటీస్ వయస్సును 20 సంవత్సరాలుగా ఊహించి, సోక్రటీస్ పుట్టిన తేదీని క్రీస్తుపూర్వం 469 గా పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, జీనో పుట్టిన తేదీ సుమారుగా క్రీ.పూ 490 అవుతుంది. యువకుడిగా జీనో మంచి ఒడ్డు, పొడుగుతో, చూడటానికి ఆకర్షణీయంగా ఉండేవాడని, పార్మెనిడిస్ అతన్ని శిష్యుడిగా ఎంతో అభిమానించేవాడని ప్లేటో పేర్కొన్నాడు.[6]
గ్రీకు తాత్వికుల చరిత్రకారుడైన డయోజెనెస్ లార్టియస్, తన "లైవ్స్ అండ్ ఒపీనియన్స్ ఆఫ్ ఎమినెంట్ ఫిలాసఫర్స్" గ్రంధంలో జీనో జీవితానికి సంబంధించి నమ్మశక్యంగా లేని కొన్ని వివరాలను పేర్కొన్నాడు.[7] దాని ప్రకారం జీనో, టెలీటగోరస్ యొక్క కుమారుడని, గురువు పార్మెనిడిస్ యొక్క దత్తపుత్రుని ద్వంద వాదనా నిపుణత కారణంగా, ఎలియా నిరంకుశ పాలకుని చేతిలో జీనో బందీ అయి చంపబడ్డాడని తెలియచేసాడు. అయితే జీనో మరణించిన 700 సంవత్సరాల తరువాత లార్టియస్ చే చెప్పబడిన ఈ వివరాలు అంత నమ్మదగినవి కావు.
డయోజెనెస్ లార్టియస్ ప్రకారం నియర్చస్ అనే నిరంకుశ పాలకుడిని పడగొట్టడానికి జీనో ఒక కుట్ర పన్నాడని,[8] అది కాస్తా విఫలం కావడంతో బందీయై హింసించబడ్డాడని తెలుస్తుంది.[9] లాటిన్ చరిత్రకారుడు వాలెరియస్ మాగ్జిమస్ ప్రకారం, ఆ కుట్రలో పాల్గొన్న తన సహచరుల వివరాలు రాబట్టడం కోసం తనను హింసిస్తున్నప్పుడు, జీనో వారి పేర్లను వెల్లడించడానికి నిరాకరించాడు. పైగా తనకొక రహస్యం తెలుసని అది వింటే నియర్చస్ కు ఉపయోగకరంగా ఉంటుందని నమ్మబలికాడు. అది వినడం కోసం నియర్చస్ తన చెవిని ముందుకు వంచడంతో జీనో అతని చెవిని కొరికివేసాడు. ఈ విధంగా జీనో "తన ప్రాణాలు కోల్పోయేవరకు, ఆ నిరంకుశుడి చెవి తెగిపడేవరకూ అతన్ని వదిలిపెట్టలేదు."[10][11] దీనిని సమర్ధిస్తూ డెమెట్రియస్ అదే పేరున్న వ్యక్తుల వివరాలలో ముక్కు కొరికివేయబడిన ఉదంతం వున్నట్లు పేర్కొన్నాడు.[12]
ఎలియాకు చెందిన ఇతర నిరంకుశ ప్రభువులతో కూడా జీనోకు ఘర్షణ పూరిత సంబంధాలు ఉండవచ్చు. లార్టియస్, హెరాక్లైడ్స్ లెంబస్, సాటిరస్ తదితర గ్రీకు చరిత్రకారులు ప్రకారం ఆనాటి కుట్ర పూరిత సంఘటనలు నియర్చస్ కు వ్యతిరేకంగా కాకుండా, డయోమెడన్‌ కు వ్యతిరేకంగా జరిగాయని తెలుస్తుంది.[8] వాలెరియస్ మాగ్జిమస్ తన చారిత్రిక సంకలన గ్రంధంలో, ఫలారిస్ అనే క్రూరునికి వ్యతిరేకంగా జరిగిన కుట్రలో జీనో ప్రమేయాన్ని వివరించాడు, కాని జీనో పుట్టకముందే ఫలారిస్ మరణించినందున ఇది అసంభవం అని తేలుతుంది.[11][13] ప్లూటార్క్ తత్వవేత్త ప్రకారం, డెమిలస్‌ అనే క్రూరుడిని అంతం చేయడానికి జీనో ప్రయత్నించాడని, కానీ అది విఫలమవడంతో జీనో "తన నాలుకను పళ్లతో కొరికి, ఆ నిరంకుశుని ముఖంలో ఉమ్మివేసాడని తెలుస్తుంది.[14] మొత్తంమీద జీనో, ఆనాటి ఎలియా నిరంకుశ పాలకులతో ఘర్షణ వైఖిరి అవలంబించాడని, ఆ కారణంగా తన ప్రాణాలు కోల్పోయి ఉండవచ్చని తెలుస్తుంది.
జీనో తత్త్వం
[మార్చు]జీనో తత్వంపై అతని గురువు పార్మెనిడిస్ బోధించిన ఏకత్వ సిద్ధాంతం ప్రభావం గాఢంగా వుంది. తన కాలంలో వ్యాపితమైన అనేక సత్తా సిద్ధాంతాలను, బహుత్వ వాదాలను ఖండిస్తూ, తన గురువు స్థితివాదాన్ని బలంగా సమర్ధించాడు. సృష్టిలో ప్రతీదీ చలనశీలం. నిత్యం మారేది సత్యం కాజాలదు. కాబట్టి చలనశీలమైనదేదీ సత్యం కాజాలదు. విశ్వవ్యాపితమైన చలనశీలతకు అతీతంగా ఈ సృష్టిలో ఎదో ఒక శాశ్వతమైన స్థితి వుండి తీరాలి. అదే సత్యం. అయితే గతి అశాశ్వతమైనది, స్థితి శాశ్వతమైనది కాబట్టి స్థితి అనేది స్థితి నుండే ఉద్భవించాలి. ఈ విధంగా జీనో స్థితివాదిగా లేదా స్థిరతా వాదిగా గురువుకి ప్రధాన సమర్ధకుడిగా ఉండేవాడు. ఇతని దృష్టిలో మనకు కనిపించే ప్రపంచమంతా ఒక భ్రమ. ఈ భ్రమాత్మకమైన ప్రపంచంలో చలనం (Motion), బహుత్వం (Plurality) రెండూ వున్నాయి. అయితే చలనం, బహుత్వం రెండూ భ్రమలే కాబట్టి అవి అవాస్తవాలు. అయితే వాస్తవం ఏమిటి? చలనరహితమైన, బహుత్వరహితమైన ఏకత్వమే వాస్తవం. దీనికి సమర్ధనగా చలనం అనే ఊహాత్మక ప్రతిపాదన (Assumption) రెండు పరస్పర విరుద్ధ భావనలకు దారితీస్తుందని, అందువలన చలనాన్ని ఒక భ్రమగా అవాస్తవంగా పేర్కొన్నాడు. అదేవిధంగా బహుత్వం అనే ప్రతిపాదన కూడా రెండు పరస్పర విరుద్ధ భావనలకు దారితీస్తుంది కాబట్టి బహుత్వాన్ని సైతం ఒక భ్రమగా అవాస్తవంగా పేర్కొన్నాడు. వీటికి రుజువులుగా పారడాక్స్ లను ఉదహరించాడు. ఈ విధంగా చలన, బహుత్వాలను అవాస్తవాలుగా తెలుపుతూ చలనరహితమైన, బహుత్వరహితమైన ఏకత్వమే వాస్తవం అని బోధించాడు. ఏదైనా ఒక ప్రతిపాదన, రెండు పరస్పర విరుద్ధ భావనలకు దారితీసినట్లయితే, అసలు ప్రతిపాదనే లోపభూయిష్టమని జీనో వాదించడం ఇక్కడ గమనార్హం. జీనో ప్రకారం సత్త (Being) అనేది వైరుధ్య రహితం. అందుచేత వైరుధ్య పూరిత సత్త అనేది ఒక అభాసాత్మక (non-existence) సత్త అవుతుంది
రచనలు
[మార్చు]జీనో రచనలను, అనేకమంది ప్రాచీన గ్రీకు రచయితలు తమ గ్రంధాలలో ప్రస్తావించినప్పటికీ, ప్రస్తుతం అతని రచనలు అలభ్యం. చలనం గురించిన జీనో వాదనలకు ప్రధాన ఆధారాలు, అరిస్టాటిల్, సిలిసియాకు చెందిన సింప్లిసియస్ రచనల నుండి మాత్రమే మనకు లభ్యం అవుతున్నాయి.[15] దక్షిణ ఇటలీ లోని ఎలీనా నగరవాసి అయిన జీనో తన గురువు పార్మెనిడిస్ తో కలసి ఏథెన్స్ నగరాన్ని సందర్శించిన సందర్భంలోనే అతని రచనలు తొలిసారిగా ఏథెన్స్ నగరానికి పరిచయమయ్యాయని ప్లేటో పేర్కొన్నాడు.[6] "గురువు పార్మెనిడిస్ యొక్క వాదనలను పరిరక్షించడమే తన రచనల ఉద్దేశ్యమని జీనో చెప్పినట్లు ప్లేటో పేర్కొన్నాడు. జీనో యువకుడిగా వున్నప్పుడు ఎలినా నగరంలో వ్రాయబడిన అతని రచనలు, గ్రంథ చౌర్యానికి గురై అతని అనుమతి లేకుండా ప్రచురించబడ్డాయని తెలుస్తుంది.
జీనో రచనలలో తొలి వాదన లోని మొదటి సిద్ధాంత సారాంశాన్ని ప్లేటో ఈ విధంగా తెలియచేసాడు. సత్తా (Being) అనేది బహుత్వంగా ఉంటే, అది ఒకేలా, భిన్నంగా కూడా ఉండాలి. ఇది అసంభవం, ఎందుకంటే ఒకేలా వున్నవి ఎప్పుడూ విభిన్నంగానూ వుండవు. భిన్నమైనవి ఎప్పుడూ ఒకేలాగా కూడా వుండవు కాబట్టి.[6] ("If the being is many, it must be both like and unlike, and this is impossible, for neither can the like be unlike, nor the unlike like.") జీనో ప్రకారం సత్త వైరుధ్య రహితంగా ఉంటుంది. అందుచేత వైరుధ్య పూరిత సత్త అనేది ఒక అభాసాత్మక (non-existence) సత్త అవుతుంది.
నవ్య ప్లేటోవాదకుడైన ప్రోక్లస్, "ప్లేటో యొక్క పార్మెనిడిస్" పై చేసిన వ్యాఖ్యానం ప్రకారం జీనో నలభైకి పైగా "వైరుధ్యాలను లేవనెత్తే వాదనలు" చేసాడని తెలుస్తుంది.[16] అయితే వీటిలో ఇప్పుడు కేవలం తొమ్మిది వాదనలు మాత్రమే మనకు లభ్యం అవుతున్నాయి.
తర్కశాస్త్రంలో జీనో చేసిన వాదనలు, 'అసంబద్ద సూక్ష్మీకరణం’ (Reductio ad absurdum) అనే తార్కిక రుజువు పద్ధతికి సంబందించిన తొలి ఉదాహరణలు కావచ్చు. ఈ రకమైన తార్కిక పద్దతిని మొదటిసారిగా ప్రవేశపెట్టినవాడు పార్మెనిడిస్. తరువాత కాలంలో ఈ పధ్ధతి ఎపిచైరెమా (Epicheirema) అని పిలువబడింది. అరిస్టాటిల్ తన VII వ పుస్తకంలో, ఎపిచెరోమాను ఒక "ద్వంద న్యాయ వాక్యం" (డైలెక్టీక్ సిలజిజం) గా అభివర్ణించాడు. ఇది పరోక్ష పద్దతిలో చేసే వాదన. దీని ప్రకారం వాదనలో తాను నిరూపించాల్సిన అసలు విషయానికి సరిగ్గా ఒక వ్యతిరిక్తమైన (opposite) భావాన్ని ముందుగా మనసులో ఊహించుకొని, వాదనలో ఆ ‘వ్యతిరేక భావం’ ఒక తప్పుడు ముగింపు (False conclusion) కు దారి తీస్తుందని తేల్చివేయడం ద్వారా అసలు విషయమే సరైనదని నిరూపించడం జరుగుతుంది. కొన్ని శతాబ్దాల అనంతరం సెనెకా ది యంగర్ అనే తాత్వికుడు ఈ రకమైన తార్కిక వాదనను ఇలా వ్యాఖ్యానించాడు: "నేను పార్మెనిడిస్ తో ఏకీభవిస్తే, ఒకటి తప్ప ఏదీ మిగలలేదు; నేను జీనోతో ఏకీభవిస్తే కనీసం ఒక్కటి కూడా మిగలలేదు."[17]
ఇప్పటివరకు లభించిన చారిత్రిక ఆధారాలు ప్రకారం గణితంలో అనంతం (infinity) యొక్క భావనను చర్చించిన మొదటి తత్వవేత్తగా జీనో పరిగణించబడుతున్నాడు.
జీనో యొక్క పారడాక్స్
[మార్చు]అరిస్టాటిల్ యొక్క ఫిజిక్స్ గ్రంధంలో వివరించబడిన ఇతని చలన వ్యతిరేక వాదనలు జీనో విరోధాభాసలు (Paradoxes)గా చరిత్రలో అత్యంత ప్రసిద్ధి పొందాయి.[18] జీనో చలనాన్ని ఒక భ్రమగా అవాస్తవంగా పేర్కొంటూ, చలనంపై నాలుగు విషయాలు ప్రతిపాదించాడు. జీనో యొక్క విరోధాభాసలుగా ఇవి గత రెండు సహస్రాబ్దాలకు పైగా తత్వవేత్తలు, గణిత శాస్త్రవేత్తలు, భౌతిక శాస్త్రవేత్తలను ఆకర్షించాయి, అబ్బురపరిచాయి, సవాలు చేసాయి, ప్రభావితం చేసాయి, ప్రేరణ నిచ్చాయి, కుపితులను చేసాయి, రంజింప చేసాయి.
జీనో వాదనలను అరిస్టాటిల్ రెండు శీర్షికలు క్రింద విభజించాడు. అవి 1. చలనాన్ని (Motion) నిరాకరించినవి 2. బహుత్వాన్ని (Plurality) నిరాకరించినవి
జీనో ప్రకారం చలనం అనేది కేవలం ఒక భ్రమ. అవాస్తవమైనది. చలనానికి సంబందించిన అతని పారడాక్స్ లు, చలనం అనే ఊహాత్మక ప్రతిపాదన (assumption) వైరుధ్యానికి దారితీస్తుందనే దానికి రుజువులుగా చెప్పబడ్డాయి. అదేవిధంగా బహుత్వం కూడా అవాస్తవమైనదని, పదార్ధాల యొక్క బహుత్వాన్ని భావించడం తార్కికంగా అసాధ్యమని జీనో భావిస్తాడు. దానికి రుజువులుగా బహుత్వానికి సంబందించిన పారడాక్స్ లను ముందుంచుతాడు. చలనాన్ని నిరాకరించే జీనో వాదనకు ఆధారం, కాలపరంగా అనంతం, నిరంతరం అనే రెండు భావాల సమన్వయింపును కాదనడంలోనే వుంది.అలాగే బహుత్వాన్ని నిరాకరించే జీనో వాదనకు ఆధారం, కాలపరంగా అనంతం, నిరంతరం - ఈ రెండు భావాలకు గల అవకాశాలను తోసిపుచ్చడంలోనే వుంది.
చలనానికి సంబందించిన జీనో విరోధాభాసలు
[మార్చు]దేశ కాలాలు (space and time) రెండూ అవిచ్ఛన్నంగా (continuous) ఉన్నాయనుకొంటే, ఆ సంభావనతో చలనం అసాధ్యం అని పేర్కొంటూ దానికి రుజువుగా జీనో క్రింది రెండు పారడాక్స్ లను ఉదాహరణగా చూపుతాడు.
- డైకోటమి పారడాక్స్
- అకిలెస్-తాబేలు పారడాక్స్
దేశ కాలాలు (space and time) రెండూ అవిచ్ఛన్నంగా కాకుండా విచ్చిన్నంగా (discrete) ఉన్నాయనుకొంటే, ఆ సంభావనతో కూడా చలనం అసాధ్యం అని పేర్కొంటూ దానికి రుజువుగా జీనో క్రింది రెండు పారడాక్స్ లను ఉదాహరణగా చూపుతాడు.
- ఎగురుతున్న బాణం పారడాక్స్
- స్టేడియం పారడాక్స్
డైకోటమి పారడాక్స్
[మార్చు]
ఏదైనా ఒక దూరాన్ని చేరే ముందు ఆ దూరంలో సగం దూరాన్ని అధిగమించాలి. మిగిలిన సగ దూరాన్ని చేరడానికి ముందు అందులో సగదూరాన్ని అధిగమించాలి. ఇలా అనంతంగా సాగుతుంది. అందువలన చలనం అసాధ్యమని జీనో వాదన.[19]
ఉదాహరణకు అట్లాంటా అనే స్త్రీ ఒకానొక మార్గంలో చివర వరకు నడవాలని కోరుకుంటున్నది అనుకుందాం. ఆమె అక్కడికి చేరుకోకముందే, ఆమె అక్కడకు సగం దూరం వెళ్ళాలి. ఆమె అక్కడకు సగం దూరం వెళ్ళడానికి ముందు, ఆమె అక్కడకు పావువంతు దూరం వెళ్ళాలి. పావువంతు దూరం ప్రయాణించడానికి ముందు, ఆమె ఎనిమిదవ వంతు దూరం ప్రయాణించాలి; ఎనిమిదవ వంతు దూరానికి ముందు, పదహారవ వంతు; ఈ విధంగా .... అనంతంగా సాగుతుంది.
ఈ సీక్వెన్సీ రెండవ సమస్యను కూడా రేకెత్తిస్తుంది,ఎందుకంటే ఆమె నడవడానికి మొదటి దూరం (first distance) అంటూ ఏమీ లేదు, దీనికి కారణం ఏదైనా (పరిమితమైన) మొదటి దూరాన్ని సగానికి విభజించవచ్చు కాబట్టి అది అన్నింటికంటే మొదటిది కాదు. అందువల్ల, ఆమె ప్రయాణం కూడా ప్రారంభించలేదు. దీనికి విరుద్ధమైన ముగింపు (paradoxical conclusion) ఏమిటంటే, ఏదైనా పరిమిత దూరానికి ప్రయాణాన్ని ఎప్పటికీ పూర్తి చేయలేము సరికదా లేదా ప్రారంభించనూ లేము, కాబట్టి అన్ని చలనాలు ఒక భ్రమగా ఉండాలి.[20]
ఇలా దూరాన్ని రెండు భాగాలుగా పదే పదే విభజిస్తూ వుండటం వల్ల ఈ వాదనను "డైకోటమి" అని పిలుస్తారు. దీనినే "రేస్ కోర్సు పారడాక్స్ " అని కూడా అంటారు.
స్థలం (space) అనంతంగా విభజితం కాబట్టి ఈ ప్రక్రియను నిరవధికంగా కొనసాగవచ్చు. కనుక జీనో ప్రకారం మనం ఏదైనా దూరం (అది ఎంత అతి చిన్న దూరమైనప్పటికీ) ప్రయాణించాలంటే, దానికంటే ముందుగా అనంతమైన ప్రయాణాలను పూర్తి చేయాల్సిన అవసరం ఉందని అనిపిస్తుంది. జీనో వాదనను అంశాలవారీగా క్రింది విధంగా చెప్పవచ్చు.
1. ఏదైనా దూరాన్ని అనంతమైన అతి చిన్న దూరాలుగా (infinitely many smaller distances) విభజించవచ్చు.
2. ఏదైనా ఒక బిందువు (point) x నుండి y అనే బిందువుకు వెళ్ళడానికి, x నుండి y కి మధ్యన విభజించబడే అన్ని దూరాల గుండా వెళ్ళాలి.
3. ఒక పరిమిత సమయంలో ఒక బిందువు నుండి మరొక బిందువుకు వెళ్లడానికి, ఒక పరిమిత సమయంలోనే అనంతమైన చాలా దూరాలకు ప్రయాణించాలి. (1,2 ల నుండి)
4. పరిమిత సమయంలో అనంతమైన చాలా దూరాలు ప్రయాణించడం అసాధ్యం.
5. పరిమిత సమయంలో ఒక బిందువు నుండి మరొక బిందువుకు వెళ్లడం అసాధ్యం. (3,4)
అకిలెస్-తాబేలు పారడాక్స్
[మార్చు]
జీనో ప్రకారం ఒక రేసులో, అతివేగంగా పరిగెత్తేవాడు తనకంటే ముందుగా అతి నెమ్మదిగా వెళ్ళేవాడిని ఎప్పుటికీ అధిగమించలేడు, ఎందుకంటే వెంబడించే వ్యక్తి, నెమ్మదిగా వెళుతున్న వ్యక్తి యొక్క ప్రారంభ స్థానానికి (starting point) మొదట చేరుకోవాలి కనుక, తద్వారా నెమ్మదిగా వెళ్ళేవాడు ఎల్లప్పుడూ ఆధిక్యతలోనే ఉంటాడు.
అకిలెస్-తాబేలు అనే పారడాక్స్ లో అతివేగంగా పరిగెత్తగల అకిలెస్ అనే వీరుడు, ఒక తాబేలుతో రన్నింగ్ రేస్ లో పాల్గొంటాడు అనుకొందాం. అకిలెస్ కంటే ముందుగా తాబేలు 100 మీటర్లు ప్రారంభ దూరంలో వుంది అనుకొందాం. పరుగుపందెం ప్రారంభమైంది. కొంత పరిమిత సమయం తరువాత, అకిలెస్ 100 మీటర్లు పరిగెత్తి, ఆ తాబేలు ప్రారంభ స్థానానికి చేరుకొంటాడు. ఈ సమయంలో, తాబేలు చాలా తక్కువ దూరం (2 మీటర్లు) ముందుకు నడుస్తుంది. ఆ దూరం నడపడానికి అకిలెస్‌కు మరికొంత సమయం పడుతుంది, ఆ సమయానికి తాబేలు మరింత ముందుకు సాగుతుంది; తాబేలు ముందుకు కదులుతున్నప్పుడు ఈ మూడవ స్థానానికి చేరుకోవడానికి అకిలెస్‌కు ఇంకొద్ది సమయం పడుతుంది. ఆ కొద్ధి సమయంలోను తాబేలు మరింత ముందుకు సాగుతుంది అంటే ప్రతిసారి అకిలెస్ తాబేలు ప్రారంభ స్థానానికి చేరుకుంటున్నప్పుడెల్లా, ఆ తాబేలును అందుకోవడానికి మరి కొద్ది దూరం ప్రయాణించవలసి వస్తుంది. ఈ విధంగా అకిలెస్ ఏదోవిధంగా తాబేలు వున్న చోటికి చేరుకొన్నప్పుడెల్లా, ఆ తాబేలు అతనికన్నా ముందంజలోనే (పరిమిత దూరంలో అయినప్పటికీ) ఉంటుంది. ఈ వాదన డైకోటోమి మాదిరిగానే ఉంటుందని అరిస్టాటిల్ గుర్తించాడు.[21] అయితే, ఇది డైకోటోమి మాదిరిగా చలనం ఒక అవాస్తవమనే స్పష్టమైన తార్కిక ముగింపుకు దారితీయదు.
ఎగురుతున్న బాణం పారడాక్స్
[మార్చు]
దేశ కాలాలు (space and time) రెండూ విచ్ఛన్నంగా ఉన్నాయనుకొన్నప్పుడు కూడా చలనం అసాధ్యం అని పేర్కొంటూ దానికి రుజువుగా జీనో ఎగురుతున్న బాణం పారడాక్స్ ను ఉదహరిస్తాడు.
జీనో ప్రకారం చలనం సంభవించాలంటే ఒక వస్తువు యొక్క స్థానం (position) లో మార్పు రావాలి. దీనికి వివరిస్తూ గాలిలో దూసుకుపోతున్న ఒక బాణాన్ని ఉదాహరిస్తాడు. ఏదైనా ఒక (స్వల్పకాలిక) క్షణంలో, బాణం అది ఉన్న చోట లేదా లేని చోటికి కదలదని పేర్కొన్నాడు. ఆ బాణం, అది లేని చోటికి కదలలేదు, ఎందుకంటే అది అక్కడికి వెళ్ళడానికి కాలం గడిచిపోవడం లేదు. అలాగే అది ఉన్న చోటికి కూడా వెళ్ళలేదు, ఎందుకంటే అది ఇప్పటికే అక్కడ ఉంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ప్రతి క్షణంలో, ఆ బాణం వున్న స్థానంలో కదలికలు సంభవించవు. కాలం అనేది పూర్తిగా తక్షణాల కూర్పు కాబట్టి ఇలా ప్రతీ క్షణంలోనూ ఏ వస్తువు కదలకుండా ఉంటే, ఇక ఆ వస్తువుకు చలనం ఉండదు.
జీనో వాదనను అంశాలవారీగా క్రింది విధంగా తెలపవచ్చు. ఒక ఎగురుతున్న బాణం (flying arrow), I అనే కాల వ్యవధిలో చలనంలో వుంది అనుకొంటే
1. బాణం అది వున్న స్థలం (space) లో మార్పు పొందనంతవరకూ, ఆ బాణం విశ్రాంతి స్థితిలో వుంటుంది.
2. I కాల వ్యవధిలో వున్న ప్రతీ (స్వల్పకాలిక) క్షణం t వద్ద, బాణం ఒకే స్థలాన్ని ఆక్రమిస్తుంది.
3. I కాల వ్యవధిలో వున్న ప్రతీ క్షణం t వద్ద, బాణం t వద్ద విశ్రాంతి స్థితిలో వుంటుంది. (1,2 ల నుండి)
4. బాణం ఎల్లప్పుడూ తక్షణాల వద్ద ఉంటుంది.
5. కాలవ్యవధి అనేది పూర్తిగా తక్షణాల కూర్పు.(3,4 ల నుండి)
6. కనుక బాణం I కాల వ్యవధిలో చలనం లేకుండా వుంటుంది. అంటే ఎగురుతున్న బాణానికి చలనం లేదు.
మొదటి రెండు పారడాక్స్ లు స్పేస్ ని విభాగాలుగా విభజిస్తే, ఈ పారడాక్స్ మాత్రం కాలాన్ని బిందువులు (points) గా విభజించడం ద్వారా మొదలవుతుంది.[22]
స్టేడియం పారడాక్స్
[మార్చు]
_Simple_picture.jpg)
స్టేడియంలోని మూడు సమాంతర వరుసలలో, సహపంక్తిలో వున్న సమాన పొడవు గల వస్తువులను పరిగణించడం ద్వారా జెనో ఈ పారడాక్స్ ను సృష్టించాడు. ఒక ట్రాక్ లో A వస్తువులు (మూడు A-వస్తువులు క్రింద చూపబడ్డాయి), మరొక ట్రాక్ లో B వస్తువులు, మూడవ ట్రాక్ లో C వస్తువులు ఉన్నాయి. ప్రతి వస్తువు దాని ట్రాక్ వెంబడి వున్న పొరుగుదాని నుండి సమ దూరంలో వుంది. A వస్తువులు స్థిరంగా ఉంటాయి. B లు కుడి వైపుకు కదులుతున్నాయి,, C లు అదే వేగంతో ఎడమ వైపుకు కదులుతున్నాయి. అవి కదలక ముందు, కదిలిన తరువాత వున్న పరిస్థితులకు సంబంధించి రెండు స్నాప్‌షాట్‌లు ఇక్కడ ఉన్నాయి. అవి ఒక క్షణం విడివిడిగా వున్నప్పుడు తీయబడ్డాయి. B లు, C లు ఒకే వేగంతో కదులుతున్నాయి కాబట్టి, అవి A తో సహపంక్తి లోకి ఒకేసారి చేరుకొంటాయి.
రెండు స్నాప్‌షాట్‌లు మధ్య గల సమయంలో ఎడమవైపున గల C, రెండు B లను దాటింది. అంతేగాక అదే సమయంలోనే ఒక A ను కూడా దాటింది. అంటే C, ఒక A దాటడానికి ఎంత సమయం తీసుకొంటుందో, అంతే సమయంలో రెండు B లను దాటుతుంది అని తెలుస్తున్నది. C, ఒక A కంటే రెండు B లను దాటడానికి ఇంకా ఎక్కువ కాలం తీసుకోవాలి అనే సాధారణ ప్రతిపాదనకు ఇది విరుద్ధంగా వుంది.
దీనిని ఖండిస్తూ అరిస్టాటిల్ మనం ఒక వస్తువును దాటడానికి పట్టే కాలం, ఆ వస్తువు యొక్క వేగంపై ఆధారపడుతుందని నిర్ధారించాడు. ఉదాహరణకు ఒక వస్తువు మన వైపుకు వస్తున్నట్లయితే మనం దానిని తక్కువ సమయంలోనే దాటవచ్చు. అదే ఆ వస్తువు స్థిరంగా ఉంటే మనం దానిని దాటడానికి కొద్దిగ ఎక్కువ సమయం పడుతుంది. సాపేక్ష వేగాన్ని పరిగణనలో తీసుకొన్న నేటి విశ్లేషకులు అరిస్టాటిల్ నిర్ధారణతో అంగీకరిస్తున్నారు. చారిత్రాత్మకంగా ఈ చలన పారడాక్స్ పైన పేర్కొన్న మూడు పారడాక్స్ లకంటే బలహీనంగా ఉంది. ఈ పారడాక్స్ ను " స్టేడియం" (Stadium) పారడాక్స్ లేదా "కదులుతున్న వరుసల" (Moving rows) పారడాక్స్ అని పిలుస్తారు.
ప్రాచీన తత్వవేత్తలపై జీనో ప్రభావం
[మార్చు]జీనోకు ముందు, తత్వవేత్తలు వారి తత్వాన్ని కవిత్వ రూపంలో వ్యక్తీకరించేవారు. గద్య రూపంలో తన వాదనలను అభివ్యక్తీకరించిన మొదటి తత్వవేత్త జీనో. జీనో ప్రవేశపెట్టిన ఈ నూతన పద్ధతి తరువాత కాలంలో స్థిరపడి, దాదాపుగా అన్ని తత్వ, గణిత, విజ్ఞాన శాస్త్రాలు గద్య రూపంలోనే రూపొందించబడ్డాయి.
వాస్తవానికి ప్రపంచం ఎలా ఉందో? ఎలా లేదో? అనే ఆలోచనపై జీనో నూతన దృష్టిని ఏర్పరిచాడు. మనకు కనిపించే విధానంలో ప్రపంచం ఎంత అవాస్తవికంగా ఉందనే ఆలోచనలను ఆనాటి తాత్వికులలో రేకెత్తించాడు.
అణువులను అంగీకరించడంలో గ్రీకు అణువాదులను (atomists) జీనో ప్రభావితం చేసి ఉండవచ్చు.
జీనో యొక్క పారడాక్స్ మొదట క్రీ.పూ. 450 లో తత్వవేత్తలను అప్రమత్తం చేసాయి. అకిలెస్ వంటి వేగవంతమైన రన్నర్‌కు నెమ్మదిగా వెళుతున్న రన్నర్‌ను వెంబడించేటప్పుడు చేరుకోవడానికి అనంతమైన ప్రదేశాలు ఉన్నాయని జీనో వాదించినప్పటినుండి, అనంతం (Infinity) భావనను పొందికైన పద్ధతిలో ఎలా ఉపయోగించాలో అర్థం చేసుకోవడానికి తత్వ, భౌతిక, గణిత శాస్త్ర రంగాలు చాలా సతమతమయ్యాయి. జీనో వలన ప్రభావితం కావడం వలననే, అరిస్టాటిల్ జీనో పారడాక్స్ ల నుండి బయటపడటం కోసం 'వాస్తవిక అనంతం' (actual infinity), 'సంభావ్య అనంతం' (potential infinity) మధ్యగల వ్యత్యాసాన్ని తొలిసారిగా ఉపయోగించాడు. అప్పటి నుండి ఈ వ్యత్యాసంపై గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కూడా జాగ్రత్తగా దృష్టి పెట్టడం ప్రారంభించారు. ఉదాహరణకు, యూక్లిడ్స్ ఎలిమెంట్స్ లోని రుజువులు 'సంభావ్య అనంతం' పద్ధతులను మాత్రమే ఉపయోగించాయి.
జీనో విరోధాభాసల గురించి అవగాహన అయిన తరువాతనే, గ్రీకు, పాశ్చాత్య మేధావులు అనంతం (infinity), అవిచ్ఛన్నత (continuity), దేశకాలాల (space and time) నిర్మాణం గురించి ఆలోచించేటప్పుడు పొరపాట్లు చేయవచ్చనే వాస్తవం గుర్తించారు. తత్ఫలితంగా వివిక్త భాగాల (discrete parts) తో కూడిన అవిచ్ఛన్న పరిమాణమనే (continuous magnitude) భావన పట్ల వారు మరింత జాగరూకతతో మెలిగారు. "అనంతం, దేశకాలాలకు సంబంధించి, ఆ నాటి నుండి నేటివరకు వెలువడిన దాదాపు అన్ని సిద్ధాంతాల యొక్క ప్రాధమిక రూపాలకు జీనో యొక్క వాదనలే కారణమయ్యాయి." అని ఇరవయ్యవ శతాబ్దంలో బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్ పేర్కొన్నాడు.
జీనో ఏదైనా నిర్దిష్టమైన కొత్త గణిత పద్ధతులను అభివృద్ధి చేశాడా అనే దానిపై వివాదం గత శతాబ్దకాలంగా కొనసాగుతోంది. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు పరోక్ష రుజువు (Reductio ad absurdum) పద్ధతిని ఉపయోగించేటట్లుగా జీనో ప్రభావితం చేసాడని కొందరు పండితులు సూచిస్తే, మరికొందరు అంగీకరించలేదు. వారి ప్రకారం పరోక్ష వాదనా పద్ధతి, తత్వ, గణిత-రెండు శాస్త్రాలలోనూ ఒకదానితో ఒకటికి సంబంధం లేకుండా స్వతంత్రంగా ఉద్భవించింది. మొత్తానికి ఈ పద్ధతి గ్రీకులదే అని, బాబిలోనియన్లకు చెందినది కాదని, అందరూ అంగీకరిస్తున్నారు.
జీనో పారడాక్స్ ల యొక్క ప్రస్తుత ప్రాముఖ్యత
[మార్చు]జీనో యొక్క పారడాక్స్ లు తరువాతి శతాబ్దాలలో పండితుల దృష్టిని ఆకర్షించాయి. 17 వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో పియరీ గ్యాస్సెండి ప్రపంచ అణువులను అనంతంగా విభజించరాదని చెప్పడానికి జీనో యొక్క పారడాక్స్ లను ప్రస్తావించాడు. 1696 లో పియరీ బేలే తన వ్యాసంలో జీనో పేర్కొన్న కారణాల వల్ల, స్పేస్ యొక్క భావన విరుద్ధమైనదని ఒక సందేహాస్పదమైన నిర్ణయానికి వచ్చాడు. 19 వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో జర్మన్ తత్వవేత్త హెగెల్, వాస్తవికత (reality) సహజంగానే విరుద్ధమైనదననే తన అభిప్రాయానికి మద్దతుగా జీనో యొక్క పారడాక్స్ లను ఉదహరించాడు.
జీనో యొక్క పారడాక్స్ లు అనంతం (infinity) భావనపై అపనమ్మకాన్ని కలిగిస్తాయి. ఈ అపనమ్మకం నిర్మాణాత్మకత (constructivism), ఫినిటిజం (finitism), అప్రామాణిక విశ్లేషణల మీద జరుగుతున్న సమకాలీన అధ్యయనాలను ప్రభావితం చేసింది. ఇవన్నీ జీనో పారడాక్స్ లను పరిశీలించే ఆలోచనా ధోరణిపై ప్రభావం చూపాయి. 19 వ శతాబ్దం చివరి వరకు గణితంలో అనంతమైన ప్రక్రియలు (Infinite processes) సిద్ధాంతరీత్యా సమస్యాత్మకంగా ఉన్నాయి. వీర్‌స్ట్రాస్, కౌచీ లకు చెందిన ఎప్సిలాన్-డెల్టా వెర్షన్ మోడల్, తర్క-కలనగణితాల ప్రమేయంతో కఠినమైన సూత్రీకరణలను అభివృద్ధి చేయడంతో అనంతమైన ప్రక్రియలతో కూడిన గణిత సమస్యలు పరిష్కరించబడ్డాయి.[23][24] 20 వ శతాబ్దంలో "సూపర్ టాస్క్‌లు (Supertasks)" అనే నూతన ఆలోచనతో, ఒక పనిని పూర్తి చేయడం అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోవడానికి ఆసక్తికరమైన తాత్విక పరిశోధన జరిగింది. తత్వశాస్త్రంలో, సూపర్ టాస్క్ అనేది ఒక పరిమిత వ్యవధిలో వరుసగా జరిగే లెక్కించదగిన (countably) అనంతమైన కార్యకలాపాల క్రమం.
గణితం, భౌతిక శాస్త్రం, తత్వశాస్త్ర రంగాలలో జీనో విరోధాభాసల యొక్క పరిష్కార పద్ధతులపై విస్తృతమైన చర్చ జరిగింది. ముఖ్యంగా తత్వశాస్త్రంలో అవిచ్ఛన్న పరిమాణం (continuous magnitude) అనేది వివిక్త పరిమాణాలతో (discrete magnitudes) తో కూడి ఉండాలా అనగా ఒక రేఖ, బిందువులతో కూడి ఉండాలా అనే దానిపై చర్చ కొనసాగింది. జీనో యొక్క పారడాక్స్ లకు ప్రత్యామ్నాయ పరిష్కారాలు ఉంటే, అప్పుడు వాటికి ఒక పరిష్కారమే ఉంటుందా లేదా బహుళ పరిష్కారాలుంటాయా లేదా ఒక ఉత్తమ పరిష్కారం ఉంటుందా అనే సమస్య రేకెత్తుతుంది. జీనో పారడాక్స్ ల యొక్క ప్రామాణిక పరిష్కారం సరైనదా, కాదా, అనేది భవిష్యత్తులో క్వాంటం మెకానిక్స్, సాధారణ సాపేక్షత సిద్ధాంతాలను ఏకీకృతం చేసే ఉత్తమ భౌతిక ప్రమాణాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
జీనో విశిష్టత
[మార్చు]తత్వశాస్త్రంలో జీనో తాత్వికత కన్నా అతని పారడాక్స్ లే అతనికి ఎనలేని గుర్తింపు తెచ్చాయి. రెండువేల సంవత్సరాలకు పైగా అవి, చింతనాపరులను, గణిత, భౌతిక శాస్త్రవేత్తలను విశేషంగా ఆకర్షించాయి. ఆలోచింపచేశాయి. ముఖ్యంగా ఇవి వాస్తవ ప్రపంచానికి సంబందించిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుల యొక్క అభిప్రాయాలను శతాబ్దాలుగా సవాలు చేశాయి.
చలనాన్ని ఒక భ్రమగా, ఆసాధ్యంగా చూపిస్తూ చలనంపై అతను లేవనెత్తిన నాలుగు వాదనలు జీనో విరోధాభాసలుగా చరిత్రలో ప్రసిద్ధి పొందాయి. అయితే జీనో చలనం యొక్క వైరుధ్య పూరిత స్వభావాన్ని సరిగానే అర్ధం చేసుకున్నప్పటికీ, దాని వైరుధ్య పూరిత లక్షణాల ఐక్యతను అర్ధం చేసుకోలేదు. ఆధునిక గణిత శాస్త్రం, ముఖ్యంగా కలన గణితం వీటిని పరిష్కరించింది. జీనో యొక్క పారడాక్స్ ల యొక్క పరిష్కారం కార్యరూపం దాల్చడానికి రెండు వేల సంవత్సరాలు పట్టినప్పటికీ, తరచుగా ఈ జీనో పారడాక్స్ లను ఒక తాత్విక సమస్య ఎలా పరిష్కరించబడుతుందనే అంశంపై కేస్ స్టడీగా సూచిస్తారు.
గణితంలో అనంతం (infinity) భావనను తొలిసారిగా చర్చించిన తత్వవేత్త జీనో. అనంతం గురించి ఇతను చేసిన వాదనలతో దానిని సరైన రీతిలో అర్థం చేసుకోవడానికి, దోషరహితంగా ఉపయోగించడానికి తత్వ, వైజ్ఞానిక రంగాలలో తీవ్ర చర్చలు జరిగాయి.
జీనో తొలుత ఏకత్వవాదిగా ఉన్నప్పటికీ క్రమేణా సంశయవాదిగా లేదా శూన్యవాదిగా మారాడని గొంపెర్జి అభిప్రాయపడ్డాడు. వాదతర్కం (Dialectic) ను తొలిసారిగా ప్రవేశపెట్టిన జీనో, తార్కికులలో తొలివాడుగా, హేతువాదులు, సోక్రటీస్ లకు దారి ఏర్పరిచినవాడుగానే కాక, ప్లేటో తార్కిక విధానానికి మార్గదర్శకుడుగా నిలిచాడని చెప్పవచ్చు.
రిఫరెన్సులు
[మార్చు]- Plato; Fowler, Harold North (1925). Plato in twelve volumes. 8, The Statesman.(Philebus).(Ion). Loeb Classical Library. trans. W. R. M. Lamb. Cambridge, Massachusetts: Harvard U.P. ISBN 978-0-434-99164-8. OCLC 222336129.
- Proclus; Morrow, Glenn R.; Dillon, John M. (1992). Proclus' Commentary on Plato's Parmenides. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02089-1. OCLC 27251522.
- Russell, Bertrand (1996). The Principles of Mathematics. New York, NY: Norton. ISBN 978-0-393-31404-5. OCLC 247299160.
- Hornschemeier, Paul (2007). The Three Paradoxes. Seattle, WA: Fantagraphics Books.
మూలాలు
[మార్చు]- ↑ Zeno of Elea - Greek philosopher and mathematician (in ఇంగ్లీష్).
- ↑ Diogenes Laërtius, 8.57, 9.25
- ↑ Russell (1996 [1903]), p. 347: "In this capricious world nothing is more capricious than posthumous fame. One of the most notable victims of posterity's lack of judgement is the Eleatic Zeno. Having invented four arguments all immeasurably subtle and profound, the grossness of subsequent philosophers pronounced him to be a mere ingenious juggler, and his arguments to be one and all sophisms. After two thousand years of continual refutation, these sophisms were reinstated, and made the foundation of a mathematical renaissance..."
- ↑ Plato (c. 380 – 367 BC). Parmenides Archived 2004-08-03 at the Wayback Machine, translated by Benjamin Jowett. Internet Classics Archive.
- ↑ Aristotle (c. mid 4th century BC), Physics 233a and 239b.
- ↑ 6.0 6.1 6.2 6.3 Plato, Parmenides 127b–e.
- ↑ Diogenes Laërtius. The Lives and Opinions of Eminent Philosophers, translated by C. D. Yonge. London: Henry G. Bohn, 1853. Scanned and edited for Peithô's Web Archived 2010-12-12 at the Wayback Machine.
- ↑ 8.0 8.1 Diogenes Laërtius, Lives of Eminent Philosophers. Book IX.5.26.
- ↑ Boethius, The Consolation of Philosophy. Book 1.III.
- ↑ Valerius Maximus, Memorable Deeds and Sayings. Foreign Stories 3. ext. 3.
- ↑ 11.0 11.1 Maximus, Valerius; Walker, Henry J. (2004). Memorable Deeds and Sayings: One Thousand Tales from Ancient Rome. Hackett Pub. p. 97. ISBN 978-0-87220-674-8.
- ↑ Diogenes Laërtius, Lives of Eminent Philosophers. Book IX.5.27.
- ↑ Valerius Maximus, Memorable Deeds and Sayings. Foreign Stories 3. ext. 2.
- ↑ Plutarch, Against Colotes.
- ↑ Cajori, Florian (1920). "The Purpose of Zeno's Arguments on Motion". Isis. 3 (1): 7–20. doi:10.1086/357889.
- ↑ Proclus, Commentary on Plato's Parmenides, p. 29.
- ↑ Zeno in The Presocratics, Philip Wheelwright ed., The Odyssey Press, 1966, pp. 106–107.
- ↑ Aristotle. Physics Archived 2011-01-06 at the Wayback Machine, translated by R.P. Hardie and R.K. Gaye. Internet Classics Archive.
- ↑ Lindberg, David (2007). The Beginnings of Western Science (2nd ed.). University of Chicago Press. p. 33. ISBN 978-0-226-48205-7.
- ↑ Huggett, Nick (2010). "Zeno's Paradoxes: 3.1 The Dichotomy". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 2011-03-07.
- ↑ Huggett, Nick (2010). "Zeno's Paradoxes: 3.2 Achilles and the Tortoise". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 2011-03-07.
- ↑ Huggett, Nick (2010). "Zeno's Paradoxes: 3.3 The Arrow". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 2011-03-07.
- ↑ Lee, Harold (1965). "Are Zeno's Paradoxes Based on a Mistake?". Mind. 74 (296). Oxford University Press: 563–570. doi:10.1093/mind/LXXIV.296.563.
- ↑ Bertrand Russell|B Russell (1956) Mathematics and the metaphysicians in "The World of Mathematics" (ed. James R. Newman|J R Newman), pp 1576-1590.