సంకీర్ణ సంఖ్యలు

గణిత శాస్త్రము లో సంకీర్ణ సంఖ్యలు ఒక రకమైన అంకెలు. వీటికి గణితంలో వినియోగం అపారం. వీటిని జంట సంఖ్యలు అని కూడా అనొచ్చు.

ముందు సంకీర్ణ లేదా జంట సంఖ్యల అవసరం ఎలా వస్తుందో తెలుసుకుందాం. నిజ రేఖ (వాస్తవ రేఖ, en:real line) మీద గుర్తు పెట్టగలిగే సంఖ్యలని నిజ సంఖ్యలు (వాస్తవ సంఖ్యలు, en:real numbers) అంటారు. నిజ రేఖ మీద ఒక చోట ఒక చుక్క పెట్టి అక్కడ 0 వేసి, అక్కడనుండి, కొలబద్ద సహాయంతో 1, 2, 3, ..... అనుకుంటూ ఓపిక ఉన్నంత సేపు కుడిపక్కకి జరుగుతూ చుక్కలు పెట్టుకుంటూ పోవచ్చు. సున్న నుండి ఎడం పక్కకి జరుగుతూ -1, -2, -3,..... అనుకుంటూ కూడా చుక్కలు పెట్టగలం. అలాగే ½, 2/3, అనుకుంటూ మనకి తోచిన నిష్ప సంఖ్యలు లేదా అకరణీయ సంఖ్యలు (en:rational numbers) ఉనికిని గుర్తు పెట్టవచ్చు. నిష్పత్తి రూపంలో రాయడానికి కుదరని √2 వంటి అనిష్ప సంఖ్యలని లేదా కరణీయ సంఖ్యలని (:en:irrational numbers), π, e, మొదలైన లోకోత్తర సంఖ్యలు లేదా బీజాతీత సంఖ్యలు (en:transcendental numbers) ని కూడా ఈ నిజ రేఖ మీద గుర్తించవచ్చు.

కల్పన సంఖ్యలు (Imaginary Numbers)

కొన్ని సందర్భాలలో – ప్రత్యేకించి సర్వసాధారణంగా ఎదురయ్యే వర్గ సమీకరణాలని పరిష్కరించే సందర్భాలలో కూడా - రుణ సంఖ్యలకి వర్గమూలం తియ్యవలసిన అవసరం వస్తూ ఉంటుంది. ఉదాహరణకి $x^{2}+2x+2=0$ అనే వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలు (roots) లేదా శూన్యస్థానాలు లేదా శూన్యాలు (zeros) లెక్క కట్టేటప్పుడు √−4 అనే గణిత ప్రక్రియ (అంటే, రుణ 4 కి వర్గమూలం తియ్యడం) చెయ్యవలసిన అవసరం వస్తుంది. ఇక్కడ √−4 అంటే "ఏ రెండు సర్వసమానమైన సంఖ్యలని గుణిస్తే ఫలితం (- 4) అవుతుంది?" అని అర్థం. ఇది అసంభవమైన పని; ఎందుకంటే రెండు సర్వసమానమైన సంఖ్యలని (రెండూ ధన అయినా, రెండూ రుణ అయినా) వాటిని గుణిస్తే వచ్చే సమాధానం ఎల్లప్పుడు ధన సంఖ్యే అవుతుంది కదా. అంటే రుణ సంఖ్యకి వర్గమూలం తియ్యడం అనే పని అసంభవం. కాని ఇలా రుణ సంఖ్యకి వర్గమూలం తియ్యవలసిన పని తరచు ఎదురవుతూ ఉంటుంది. కాని నిజ రేఖ మీద తారసపడే సంఖ్యలలో ఈ రకం లక్షణం ఉన్న సంఖ్యలు లేవు. లేదా, ఈ రకం సంఖ్యలకి నిజ రేఖ మీద చోటు లేదు. సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం, భాగహారం చేసినప్పుడు ఎదురయిన సంవృతం (closure) లాంటి పరిస్థితి కాదు ఇది. అంతకంటే విషమమైనది.

ఈ పరిస్థితిని ఎదుర్కోడానికి మనకి కొత్త జాతి సంఖ్యలు కావాలి. వాటికి ఏ లక్షణం ఉండాలి? అన్ని విధాలా సర్వసమానంగా ఉన్న రెండింటిని తీసుకుని గుణిస్తే రుణ సంఖ్య రావాలి. అదీ మన కోరిక. ఎలా ఈ కోరిక తీర్చడం?

జంట సంఖ్యలు లేదా సంకీర్ణ సంఖ్యలు (en:Complex Numbers)

"జంట సంఖ్యలు" అనే భావం ప్రవేశపెట్టడానికి ఒక ఉపమానం ఉపయోగిస్తుంది. ఒక రైతు, అతనికి సత్యం అనే మగ పిల్లాడు పుట్టేడు. సత్యం పెద్దయ్యాక ఇల్లు బోసిగా కనిపించడం మొదలు పెట్టింది. ఇంట్లో పిల్లలుంటే బాగుంటుంది కదా అని కొడుకుకి పెళ్ళి చేసేడు. కోడలు కల్పన కాపురానికి వచ్చింది. మరో ఇంట పెరిగిన పిల్ల కదా; ఆమె ధోరణే వేరు. కొడుకు “ఎడ్డెం” అంటే కోడలు “తెడ్డెం” అనేది. కనుక ఆ ముసలాడు కొడుకుకీ కోడలికీ మధ్య ఒక ఒప్పందం కుదిర్చేడు. ఇంట్లో ఏ నిర్ణయం చెయ్యవలసి వచ్చినా కొడుకు సత్యం సూచించిన దిశలో కాకుండా, కోడలు కల్పన సూచించిన దిశలో కాకుండా, ఇద్దరి మాటా చెల్లుతూన్నట్లు అనిపించేలా, మధ్యేమార్గం అవలంబించడం మొదలు పెట్టేరు. అంటే, ఇటుపైన ఏకాభిప్రాయానికి బదులు "జంటాభిప్రాయం" అమలులోకి వచ్చింది.

పైన చేసుకున్న ఒప్పందాన్ని ఒక బొమ్మ రూపంలో చిత్రించుకోవచ్చు. కొడుకు సత్యం ఇష్టాఇష్టాలన్నిటిని ఒక గీత మీద చుక్కలుగా ఊహించుకుందాం. ఇది "సత్య రేఖ" (real line). కోడలు ధోరణే వేరు కనుక ఆవిడ ఇష్టాఇష్టాలు ఈ సత్య రేఖ మీద ఇమడవు. అందుకని ఆమె కోసం మరొక గీత గీద్దాం. దానికి మరొక పేరు పెట్టాలి కదా? దానికి “కల్పన రేఖ” (imaginary line) అని పేరు పెడదాం. కొడుకు ఇష్టాఇష్టాలన్నిటిని సత్య రేఖ మీద చుక్కలుగా ఊహించుకున్నట్లే కోడలి ఇష్టాఇష్టాలన్నిటిని “కల్పన రేఖ” మీద చుక్కలుగా ఊహించుకుందాం. ఈ సత్య రేఖని పడమర నుండి తూర్పుకి గీద్దాం. కల్పన రేఖని దక్షిణం నుండి ఉత్తర దిశగా గీద్దాం. ఈ పరస్పర లంబ రేఖలు ఖండించుకునే బిందువు మన కొలతలకి మూల స్థానం (origin). ఇప్పుడు ఇంట్లో ఏ నిర్ణయం చెయ్యవలసి వచ్చినా కొడుకు, కోడలు అభిప్రాయాలు వెలిబుచ్చుతారు. కొడుకు అభిప్రాయాన్ని (a=3) అందాం. కోడలి అభిప్రాయాన్ని (b=4) అందాం. ఇప్పుడు "జంట అభిప్రాయం" కావాలంటే సత్య రేఖ మీద, కుడి వైపు a=3 అడుగులు వేసి, కల్పన రేఖ మీద b=4 అడుగులు ఎగువకి వెళ్లాలి. బొమ్మ 1 చూడండి. ఇదే విధంగా జంట అభిప్రాయం (-2, 5) అంటే సత్య రేఖ మీద వెనక్కి రెండడుగులు వేసి, కల్పన రేఖ మీద ఎగువకి 5 అడుగులు వెయ్యాలి. అదీ నియమం.

బొమ్మ 1: సత్య రేఖ (a=4 ), కల్పన రేఖ (b=4), జంట అభిప్రాయాలు (a, b)

చూసేరా! "నిజ రేఖ” మీద కుడి వైపు, ఎడమ వైపు మాత్రమే ప్రయాణం సాధ్యం. "కల్పన రేఖ" మీద కిందికి, మీదికి మాత్రమే ప్రయాణం సాధ్యం. కాని ఇప్పుడు మనం సృష్టించిన కల్పన “తలం” మీద తూర్పు, పడమర, ఉత్తర, దక్షిణ దిశలలోనే కాకుండా లెక్క పెట్టలేనన్ని దిశలలో ప్రయాణం చెయ్యవచ్చు. ఏకాకిగా బతికిన రోజుల్లో సత్యానికి రెండే రెండు దిశలు శరణ్యం అయితే ఏకాకిగా బతికిన రోజుల్లో కల్పనకి కూడా రెండే దిశలు శరణ్యం అయాయి. ఇప్పుడో? పెళ్లయిన తరువాత వారికి దొరికిన జంట అవకాశాలు అనంతం. కనుక వారిరువురు కలసి నిర్మించుకున్న ఈ జంట తలం, ఈ కల్పన తలం, వారి ఊహా స్వర్గమే. తన ఊహకి మించిన స్వర్గాన్ని చవి చూస్తోంది కనుక కల్పన తన పేరు మీదుగా ఉన్న కల్పన రేఖని "ఊహా రేఖ" (imaginary axis) అని కూడా పిలుస్తూ ఉంటుంది.

మన ఉపమానం పూర్తి అయింది. ఇప్పుడు నిజ రేఖ నిజ సంఖ్యలకి స్థావరాలుగా వాడదాం. నిజ రేఖ మీద ఇమడని √−1, √−2, √−3,... వంటి అసాధారణ సంఖ్యలకి ఊహా రేఖ మీద స్థావరాలు కల్పిద్దాం. రాత సౌలభ్యం కొరకు వీటిని i, 2i, 3i,... అనుకుంటూ కల్పన రేఖ మీద స్థావరాలని సూచిద్దాం. ఈ అసాధారణ సంఖ్యలని, కల్పన గౌరవార్థం, కల్పన సంఖ్యలు, లేదా ఊహా సంఖ్యలు (imaginary numbers) అని అందాం. ఈ రెండింటిని కలిపి "జంట సంఖ్యలు" లేదా సంకీర్ణ సంఖ్యలు (complex numbers) అందాం. ఈ జంట సంఖ్యలలో ఏవి సత్యానివో, ఏవి కల్పనవో అనుమానం లేకుండా చెప్పడానికి కల్పన రేఖ మీద సంఖ్యలన్నిటి ముందు $i$ అనే అక్షరం చేర్చుదాం. ఈ పద్ధతి ప్రకారం $(3,-4i)$ అంటే 3 అడుగులు నిజ రేఖ మీద కుడి వైపు వేసి, అక్కడ నుండి 4 అడుగులు కల్పన రేఖ మీద దిగువకి వెళ్లాలి అని అర్థం.

మన దురదృష్టం కొద్దీ ఇంగ్లీషులో "ఇమేజినరీ," "కాంప్లెక్స్" వల్ల ఇదేదో క్లిష్తమైన గణితం అనే అపార్థం, భయం పుట్టించేరు కాని "నిజ సంఖ్యలు"లో ఎంత వాస్తవం ఉందో "కల్పన సంఖ్యలు" లోనూ అంతే వాస్తవం ఉంది. సత్యం ఎంత వాస్తవమో, కల్పన అంతే వాస్తవం. ఇంగ్లీషులో ఉన్న complex numbers ని యథాతథంగా అనువదించి “సంకీర్ణ సంఖ్యలు” అంటున్నాము కాని వీటిలో సంకీర్ణత ఏముంది? నిజానికి నిజ (వాస్తవ) సంఖ్యలలో “వాస్తవత్వం” ఏమీ లేదు, కల్పన (imaginary) సంఖ్యలలో “కల్పన” ఏమీ లేదు. ఇంగ్లీషు వాడుకలో complex, real, imaginary అనేవి పాతుకుపోయాయి. వీటికి సమానార్థకమైన తెలుగు మాటలు తయారు చేసుకునేటప్పుడు వాటి స్వరూప, స్వభావాలకి అనుగుణంగా పేర్లు పెట్టుకుందాం. ఇదీ జంట బీజగణితానికి నాంది.

ఇప్పుడు మనం నిర్మించిన జంట తలం (complex plane) ఎలా ఉంటుందో చూద్దాం. (బొమ్మ 2 చూడండి). ఎడమ నుండి కుడికి వెళ్లే గీతని నిజ అక్షం (real axis) అందాం. దీనికి లంబ దిశలో అడుగునుండి పైకి వెళ్లే గీతని కల్పన అక్షం (imaginary axis) అందాం. మనకి ఎదురయ్యే సంఖ్యలు నిష్ప సంఖ్యలు కాని, అనిష్ప సంఖ్యలు కాని అయితే వాటికి ఈ నిజ అక్షం మీద ఎక్కడో ఒక చోట స్థావరం దొరుకుతుంది. మనకి ఎదురయ్యే “జంట సంఖ్య” (complex number) z అయితే దాని స్థావరం “జంట తలం”లో ఎక్కడో ఒక చోట ఉంటుంది. అది ఎక్కడ ఉంటుంది? జంట సంఖ్య z లో సత్యం పాలు x, కల్పన పాలు y అయినప్పుడు $z=(x,y)$ లేదా $z=(x,iy)$ లేదా $z=(x+iy)$ అని రాస్తారు. ఇక్కడ $i^{2}=-1$

బొమ్మ 2: జంట తలంలో ఒక జంట సంఖ్య z ని సూచించడం

ఈ సంకీర్ణ సంఖ్యలో x ని వాస్తవ భాగం (real part) అనీ, i ని ఊహాజనిత అంశం అనీ, y ని కల్పన భాగం (imaginary part) అనీ అంటాము. ఇదే సంకీర్ణ సంఖ్యను (x, y) అనే క్రమ యుగ్మం (ordered pair) తో కూడా సూచిస్తాము కనుక సంకీర్ణ సంఖ్యలని జంట సంఖ్యలు అనడం తర్క బద్దమే కాకుండా స్వయంబోధకం కూడా!

జంట (సంకీర్ణ) తలంలో అంకగణిత పరికర్మలు

ఇక్కడ $y=0$ తీసుకొంటే ఈ సంకీర్ణ సంఖ్య $z=(x,iy)$ లేదా జంట సంఖ్య $(x,y)$ వాస్తవ సంఖ్య $x$ అవుతుంది. ఆ రకంగా వాస్తవ సంఖ్యల సమితిని జంట సంఖ్యల సమితిలో శుద్ధ ఉపసమితి ( i వాస్తవ సంఖ్య కాదు కనుక) గా భావించవచ్చును. వాస్తవ సంఖ్యా సమితిని R తోను, జంట సంఖ్యా సమితిని C తోను సూచిస్తాము. వాస్తవ సంఖ్యా సమితి మీద ముఖ్యమైన నాలుగు పరికర్మలు + (సంకలనము), - (వ్యవకలనము), * (గుణకారము), / (భాగహారము) ఉన్నాయని మనకు తెలుసును. ఇప్పుడు జంట సంఖ్యా సమితిలో ఆ నాలుగు పరికర్మలను దిగువవిధంగా నిర్వచిద్దాం.
a, b, c, d లు వాస్తవ సంఖ్యలు అనుకొందాము. అప్పుడు (a, b), (c, d) లు సంకీర్ణ సంఖ్యలు.
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) అని సంకలనాన్ని,
(a, b) - (c, d) = (a-c, b-d) అని వ్యవకలనాన్ని,
(a, b) * (c, d) = (ac-bd, ad+bc) అని గుణకారాన్ని
(a, b) / (c, d) = ( ($ac+bd$) /$(c^{2}+d^{2})$\, ($bc-ad$) /$(c^{2}+d^{2})$) అని (c, d లు రెండూ సున్న కానప్పుడు) భాగహారాన్ని
నిర్వచిద్దాం.
C మీద + పరికర్మ వినిమయ, సాహచర్య ధర్మాలు కలిగి ఉంటుంది. (0,0) ఏకకము (అంటే a, b లు వాస్తవ సంఖ్యలయితే, (a, b) + (0,0) = (a, b) అవడం) అని తేలిక గానేచూడవచ్చును. దీనిని బట్టి, (a, b) కి (-a, -b) సంకలన విలోమం అని తేలుతుంది. (అనగా (a, b) + (-a, -b) = (0,0) అవడం). కాబట్టి, సంకలన పరికర్మకు వ్యవకలన పరికర్మ విలోమ పరికర్మ అని తేలుతుంది. కనుక వ్యవకలన పరికర్మను విడిగా నిర్వచించవలసిన అవసరంలేదు.

కల్పిత సంఖ్యలకు జ్యామితియ వివరణ

• వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు, రామానుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ, కినిగే వారి ఉచిత ఇ-పుస్తకం, kinige.com (2016 లో విడుదల), http://kinige.com/kbook.php?id=6975