పంచభుజి

పంచభుజి
ఒక చక్రీయ పంచభుజి
అంచులు, శీర్షాలు	5

పంచభుజి ( గ్రీకు πέντε (పెంటే) ' ఐదు ' , γωνία ( గోనియా) ' కోణం '  నుండి ) జ్యామితిలో ఏదైనా ఐదు భుజాలు లేదా ఐదు కోణాలు కలిగిన బహుభుజి . ఒక సాధారణ పెంటగాన్‌లో అంతర కోణాల మొత్తం 540°.    

ఒక పంచభుజి సరళంగా లేదా స్వీయ-ఖండనగా ఉండవచ్చు . స్వీయ-ఖండనగా ఉండే సాధారణ పంచభుజిని (లేదా నక్షత్ర పంచభుజి ) పెంటాగ్రామ్ అంటారు.

క్రమ పంచభుజి

ఒక క్రమ పంచభుజి ఐదు సమాన భుజాలను కలిగి ఉంటుంది. అవి పరావర్తన సౌష్టవం, భ్రమణ సౌష్టవాన్ని క్రమం 5 ( 72°, 144°, 216° and 288° ద్వారా) ను కలిగి ఉంటుంది. ఒక కుంభాకార క్రమ పంచభుజి కర్ణాలు, వాటి భుజాలకు స్వర్ణ నిష్పత్తి కలిగి ఉంటుంది. ఒక క్రమ పంచభుజిలో ఒక భుజం పొడవు $t,$ దాని ఎత్తు $H$ (ఒక భుజం నుండి దాని ఎదురుగా ఉన్న శీర్షం వరకు దూరం), వెడల్పు $W$ (దూరంగా ఉన్న రెండు శీర్షాల మధ్య దూరం, ఇది కర్ణం పొడవుకు సమానంగా ఉంటుంది), పరి వృత్త వ్యాసార్థం $R$ అయితే,

Regular pentagon
ఒక క్రమ pentagon
రకం	క్రమ బహుభుజి
అంచులు, శీర్షములు	5
షలాఫ్లి గుర్తు	{5}
కాక్సెటర్ చిత్రం
సౌష్టవ వర్గం	Dihedral (D5), order 2×5
అంతర కోణం (డిగ్రీలలో)	108°
ద్వంద్వ బహుభుజి	Self
ధర్మాలు	కుంభాకార, చక్రీయ, సమబాహు, ఐసోగోనల్, ఐసోటోక్సల్

${\begin{aligned}H&={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}~t\approx 1.539~t,\\W=D&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~t\approx 1.618~t,\\W&={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot H\approx 1.051~H,\\R&={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}t\approx 0.8507~t,\\D&=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902~R.\end{aligned}}$

ఒక భుజం పొడవు $t$ గా ఉన్న ఒక క్రమ పంచభుజి వైశాల్యం:

${\begin{aligned}A&={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\;t^{2}}{4}}={\frac {t^{2}{\sqrt {4\varphi ^{5}+3}}}{4}}\approx 1.720~t^{2}\end{aligned}}$

ఒక భుజం పొడవు $t$ గా ఉన్న ఒక క్రమ పంచభుజి పరి వృత్త వ్యాసార్థం $R$ అయితే,

$t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176~R,$

దాని వైశాల్యం,

$A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};$

పరివృత్త వైశాల్యం $\pi R^{2},$ అయినందున, క్రమ పంచభుజి వైశాల్యం సుమారు దాని పరివృత్తంలో 0.7568 ప్రాంతం మాత్రమే నిండుతుంది.

Side ($t$), circumradius ($R$), inscribed circle radius ($r$), height ($R+r$), width/diagonal ($\varphi t$)

వైశాల్యం కనుగొనుటకు సూత్రం

క్రమ బహుభుజి యొక్క వైశాల్యం, :

$A={\frac {1}{2}}Pr$

ఇందులో బహుభుజి యొక్క చుట్టుకొలత P, దాని అంతర వృత్త వ్యాసార్థం r. పై సూత్రంలో క్రమ పంచభుజి యొక్క P మరియు r విలువలను ప్రతిక్షేపిస్తే, సూత్రం ఉత్పత్తి అవుతుంది.

$A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{2}}={\frac {5t^{2}\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{4}}$

దాని భుజం t.

అంతర వృత్త వ్యాసార్థం

ప్రతీ కుంభాకార బహుభుజి వలెనే, క్రమ పంచభుజి కి అంతర వృత్తం ఉంటుంది దాని వ్యాసార్థం r మరియు దాని భుజం t అయితే అంతర వ్యాసార్థం:

$r={\frac {t}{2\tan {\mathord {\left({\frac {\pi }{5}}\right)}}}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.$

పరివృత్తం నుండి శీర్షాల వరకు గల జ్యాలు

ప్రతి సాధారణ కుంభాకార బహుభుజి వలె, సాధారణ కుంభాకార పంచభుజి ఒక పరివృత్తాన్ని కలిగి ఉంటుంది. A, B, C, D, E శీర్షాలు వరుసగా ఉన్న ఒక సాధారణ పంచభుజికి, B మరియు C బిందువుల మధ్య ఉన్న వృత్తం మీద P ఏదైనా బిందువు అయితే, PA + PD = PB + PC + PE.

తలంలో బిందువు

For an arbitrary point in the plane of a regular pentagon with circumradius $R$, whose distances to the centroid of the regular pentagon and its five vertices are $L$ and $d_{i}$ respectively, we have

${\begin{aligned}\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}&=5\left(R^{2}+L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{6}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+6R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{8}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+12R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+6R^{4}L^{4}\right).\end{aligned}}$

If $d_{i}$ are the distances from the vertices of a regular pentagon to any point on its circumcircle, then

$3\left(\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}\right)^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}.$

ప్రకృతిలో పంచభుజులు

మొక్కలు

• 
• 
• 
• 
• 

జంతువులు

• 
• 
• 

ఖనిజాలు

• 
• 
• 

ఇతర ఉదాహరణలు

• 
• 

బాహ్య లంకెలు

• Weisstein, Eric W., "Pentagon", MathWorld.
• Animated demonstration constructing an inscribed pentagon with compass and straightedge.
• How to construct a regular pentagon with only a compass and straightedge.
• How to fold a regular pentagon using only a strip of paper
• Definition and properties of the pentagon, with interactive animation
• Renaissance artists' approximate constructions of regular pentagons Archived 2021-04-13 at the Wayback Machine
• Pentagon. How to calculate various dimensions of regular pentagons.